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摘要：数学习题课如何选题是关键，而变式的成功更能扩大题目的功能，使学生更能积极地参与课堂；本文尝试从六个方面就如何变式作了一点研究，也是实际教学过程中的一点反思。
关键词：高效课堂；习题课；变式；反思；参与
中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2016）10-0113
问题的提出：近日笔者参加一次教学视导，听了几节数学课，其中一节课为文科班习题课；先看一段课堂部分实录：
学案中有一道题：
例题：定义两种运算a b=■，a b=■，则f（x）=■的图像关于 对称。
教师：（课前用手机将学生预习的学案拍成照片，制作成PPT）投影了学生答案——空白；
教师：为什么不做？（请未做的同学回答）
学生：不会；
教师：直接写出函数解析式f（x）=■；
教师：为什么不用特值法进行尝试？
板书：f（1）=■=-■，f（-1）=■=■，∴f（-1）=-f（1），f（x）为奇函数，故图像关于原点对称。
教师：这样不就做好了吗！我们再看函数的定义域是什么？
学生回答教师板书：4-x2≥0x-2-2≠0得x∈[-2，0）∪（0，2]，
教师：下面应该干什么？
学生：化简解析式；
教师板书：f（x）=■=-■，f（-x）=-f（x），故图像关于原点对称。
最后，教师总结：
教师：“学生要养成一种先求定义域的习惯”“学生要养成一种化简函数解析式再判断奇偶性的习惯”；并作了一道变式题进行当堂巩固：
变式：已知函数f（x）=lnx-2kx（k常数）
（1）求函数的单调区间；
（2）若f（x） 学生当堂练习，并请一位女生进行板演，做完第1问后先订正该问，接着再做第2问，共用时近25分钟；一节课很快结束。
从这一案例中，教师也让学生参与到课堂中了，笔者认为还有诸多方面问题：
（一）例题中的主要问题是很多学生其实卡在第一步，即学生不会将新问题——未见过的抽象符号，转化为熟悉的数学符号——函数解析式；学生普遍对新定义有一种陌生及恐惧心理，不敢进行尝试，并没有作出理性的分析，而该教师对这一点严重疏忽。
（二）用特值法是否恰当：比如出现f（x0）=f（-x0）=0怎么办？取的值在不在定义域怎么办？由f（-1）=-f（1）一定能得到函数是奇函数吗？等等。
（三）变式与例题关联不大，尤其是第2問，如果说两者有关的话，只有第1问要先研究定义域，所以此变式并未起到训练巩固的效果。
其实可作如下变式：
变式：定义新运算 ，当a≥b时，a b=a，当a 这样的例子很多，目的在于仍从新定义出发，题型类似，使学生少陌生感，能积极参与，达到巩固的目的。
（四）如何通过变式使学生积极主动参与课堂教学。这道变式更是冲淡了本节课的主题，偏离了教学目标。
从上述案例中，我们看到，数学习题课作为解题教学是中学数学教学的重要组成部分，其主要目的是教会学生如何分析问题，如何运用所学知识寻找相应对策，解决未知问题，提高学生的解题能力，而变式更是体现学生对该题涉及的知识掌握的程度与灵活运用的程度。经常听到教师抱怨学生：“讲了几遍学生还不会！”其实教师更要从自身找原因：是题目难了？还是方法繁了？是讲解缺乏条理性，还是就题讲题难点未能突破……，结合上述实例，以及自己的教学体会，笔者认为习题课应从如下几个方面来进行变式，以提高学生的课堂参与度：
1. 对比题组变式，帮助学生认真审题
通过题组的对比、辨析，使学生分清题目中的相关概念、条件的区别，重点字词可用圈、点、勾、划来做标记，从而达到审题清楚的目的。
例1. 如果函数f（x）=ax2 2x-3在区间（-∞，4）是单调递增函数，则实数a的取值范围是 。
变式：如果函数f（x）=ax2 2x-3的单调递增区间为（-∞，4），则实数a的值是 。
变式的目的在于使学生区别条件中语句的关键词“在区间上（-∞，4）是单调递增”与“单调递增区间为（-∞，4）”是否相同，提醒学生注意。
例2. 已知曲线y=■x3 ■，求曲线在点P（2，4）处的切线方程；
变式：求曲线过点P（2，4）的切线方程
此变式的目的是帮助学生理解题设中的“在”与“过”的区别。
2. 类似题组变式，帮助学生总结规律
通过题组的练习，能使学生掌握对这一类求解的通法，以及要注意的问题，从而达到掌握方法与技能的目的。
例1. 若函数f（x）=■在（-∞，-1）上是减函数，求a的取值范围。
此题为一题多解，定义法、导数法、复合函数法。
变式1：设函数f（x）=■在区间（-2，-∞）上是增函数，求a的取值范围。
变式的目的使用学生注意分母含参而导致条件增加，用导数法容易错解——不检验，复合函数法易遗漏条件——定义域。
变式2：已知函数f（x）=■（a≠1），若f（x）在区间（0，1]上是减函数。求a的取值范围。
该变式作用在于加强学生分类讨论意识的培养。
通过这三道题，学生对于这类题求解方法有了深刻的理解，归纳应该注意到的问题：①要满足单调性；②要注意单调区间是定义域的子区间。 3. 类比题组变式，帮助学生触类旁通
通过类比的方法，使学生由此及彼，触类旁通，培养学生知识的迁移能力；这类题主要体现在由平面几何到立体几何，由等差数列到等比数列，由圆到椭圆、双曲线等。
例1. 对于函数f（x），若存在常数a≠0，使得x取定义域内的每一个值，都有f（x）=f（2a-x），则称f（x）为准偶函数。下列函数：①f（x）=■；②f（x）=x2；③f（x）=tan x；④f（x）=cos（x 1）。其中为准偶函数的是
（填序号）。
变式：仿此类比，可得准奇函数的一个正确命题：对于函数，若存在常数，使得取定义域中每一个值都有 ，则称为准奇函数。
例2. 某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：顾客购物总金额不超过800元，不享受任何折扣，如果顾客购物总金额超过800元，则超过800元部分享受一定的折扣优惠，按下表折扣分别累计计算。
某人在此商场购物总金额为x元，可以获得的折扣金额为y元，则y关于x的解析式为：
y=0，01300
若y=30元，则他购物实际所付金额为 元。
变式：《中华人民共和国个人所得税法》原来规定，公民全月工资、薪金所得不超过800元（人民币）的部分不必纳税，超过800元部分为全月应纳税所得额.此项税款按下表分段累进计算：
若某人1月份应缴纳此项税款115元，则他的当月工资、薪金为 元。
4. 变更条件变式，帮助学生举一反三
通过改变已知条件中的某些量，使学生弄清有哪些条件变化，避免似是而非的判断，从而做错题。
例1.“ x0∈R，使得x02 mx0 2m-3<0”为假命题，则实数的取值范围是 。
变式1：“ x∈R，使得x2 mx 2m-3<0”为假命题，则实数的取值范围是 。
变式2： ∈（-1，2），使得x2 mx 2m-3<0，则实数m的取值范围是 。
例2. 函数f（x）=3x-7 lnx的零点位于区间内（n，n 1）（n∈N），则n= 。
变式：方程2x x=4的根为x0，若x0∈（k-■，k ■），则整数k
。
5. 变更结论变式，帮助学生深化题意：
通过对结论的变式，来强化学生对条件的理解，乃至形成一些结论来解决问题。
例1. 与x，y轴相切，且过点P（3，4）的两个圆的半径分别为r1，r2，则r1r2 。
变式1. 求r1 r2，r1-r2的值。
变式2. 设两圆C1、C2、都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），则两圆心的距离C1C2= 。
这组题为利用韦达定理构造方程求解。
例2. 已知函数f（x）=log2x，正实数m，n满足m 变式1：已知函数f（x）=log2x，正实数m，n满足m 变式2：已知函数f（x）=logx，010，若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则abc的取值范围是 。
这组题中有一个中间结论mn=1（或ab=1）。
6. 交换条件结论，帮助学生提高能力
教师要编制一些新题，可作这方面的尝试；将题目中的部分条件改为未知，将对结论变为已知，从而编出一些新题，即可达到效果。
例1. 求过点（0，0）与曲线y=2ex相切的直线方程。
变式1：直线y=kx与曲线y=2ex相切，求实数k的值。
变式2：直线y=2ex与曲线y=aex相切，求实数a的值。
一个教师的成熟与否关键在于能就题发挥，通过变式关联，提高学生参与度，使学生能举一反三、触类旁通，因此我们教师一定要在练习、变式和评析中注意多角度分析问题，培养学生的比较、分析、综合、归纳能力，指导学生总结习题所涉及的知识点，并使之系统化，同时对題目类型、解题步骤进行归纳小结，总结解题常用方法、解题的一般规律、应注意的事项、容易出现的问题等，并在掌握常规思路和方法的基础上，启发新思路，探索巧解、速解、一题多解的新途径、新方法，不断丰富学生的解题经验，提高解题速度。
教师要经常对教育教学实践进行再认识、再思考，并以此来总结经验教训，进一步提高教育教学水平。能从自己的教育实践中来反观自己的得失，通过教育案例、教育故事、或教育心得等来提高教学反思的质量，提高个人业务水平。
这以上仅是笔者的一些粗浅想法，至于如何才能上好一堂习题课，还有待我们在今后的教育教学过程中不断积累、研究和探讨。总之，正确认识习题教学，运用科学的方法组织教学，不仅能提高学生学习数学的兴趣，还能巩固知识，培养解题技巧，提高思维能力。
（作者单位：江苏省高邮市第二中学 225600）
关键词：高效课堂；习题课；变式；反思；参与
中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2016）10-0113
问题的提出：近日笔者参加一次教学视导，听了几节数学课，其中一节课为文科班习题课；先看一段课堂部分实录：
学案中有一道题：
例题：定义两种运算a b=■，a b=■，则f（x）=■的图像关于 对称。
教师：（课前用手机将学生预习的学案拍成照片，制作成PPT）投影了学生答案——空白；
教师：为什么不做？（请未做的同学回答）
学生：不会；
教师：直接写出函数解析式f（x）=■；
教师：为什么不用特值法进行尝试？
板书：f（1）=■=-■，f（-1）=■=■，∴f（-1）=-f（1），f（x）为奇函数，故图像关于原点对称。
教师：这样不就做好了吗！我们再看函数的定义域是什么？
学生回答教师板书：4-x2≥0x-2-2≠0得x∈[-2，0）∪（0，2]，
教师：下面应该干什么？
学生：化简解析式；
教师板书：f（x）=■=-■，f（-x）=-f（x），故图像关于原点对称。
最后，教师总结：
教师：“学生要养成一种先求定义域的习惯”“学生要养成一种化简函数解析式再判断奇偶性的习惯”；并作了一道变式题进行当堂巩固：
变式：已知函数f（x）=lnx-2kx（k常数）
（1）求函数的单调区间；
（2）若f（x）
从这一案例中，教师也让学生参与到课堂中了，笔者认为还有诸多方面问题：
（一）例题中的主要问题是很多学生其实卡在第一步，即学生不会将新问题——未见过的抽象符号，转化为熟悉的数学符号——函数解析式；学生普遍对新定义有一种陌生及恐惧心理，不敢进行尝试，并没有作出理性的分析，而该教师对这一点严重疏忽。
（二）用特值法是否恰当：比如出现f（x0）=f（-x0）=0怎么办？取的值在不在定义域怎么办？由f（-1）=-f（1）一定能得到函数是奇函数吗？等等。
（三）变式与例题关联不大，尤其是第2問，如果说两者有关的话，只有第1问要先研究定义域，所以此变式并未起到训练巩固的效果。
其实可作如下变式：
变式：定义新运算 ，当a≥b时，a b=a，当a
（四）如何通过变式使学生积极主动参与课堂教学。这道变式更是冲淡了本节课的主题，偏离了教学目标。
从上述案例中，我们看到，数学习题课作为解题教学是中学数学教学的重要组成部分，其主要目的是教会学生如何分析问题，如何运用所学知识寻找相应对策，解决未知问题，提高学生的解题能力，而变式更是体现学生对该题涉及的知识掌握的程度与灵活运用的程度。经常听到教师抱怨学生：“讲了几遍学生还不会！”其实教师更要从自身找原因：是题目难了？还是方法繁了？是讲解缺乏条理性，还是就题讲题难点未能突破……，结合上述实例，以及自己的教学体会，笔者认为习题课应从如下几个方面来进行变式，以提高学生的课堂参与度：
1. 对比题组变式，帮助学生认真审题
通过题组的对比、辨析，使学生分清题目中的相关概念、条件的区别，重点字词可用圈、点、勾、划来做标记，从而达到审题清楚的目的。
例1. 如果函数f（x）=ax2 2x-3在区间（-∞，4）是单调递增函数，则实数a的取值范围是 。
变式：如果函数f（x）=ax2 2x-3的单调递增区间为（-∞，4），则实数a的值是 。
变式的目的在于使学生区别条件中语句的关键词“在区间上（-∞，4）是单调递增”与“单调递增区间为（-∞，4）”是否相同，提醒学生注意。
例2. 已知曲线y=■x3 ■，求曲线在点P（2，4）处的切线方程；
变式：求曲线过点P（2，4）的切线方程
此变式的目的是帮助学生理解题设中的“在”与“过”的区别。
2. 类似题组变式，帮助学生总结规律
通过题组的练习，能使学生掌握对这一类求解的通法，以及要注意的问题，从而达到掌握方法与技能的目的。
例1. 若函数f（x）=■在（-∞，-1）上是减函数，求a的取值范围。
此题为一题多解，定义法、导数法、复合函数法。
变式1：设函数f（x）=■在区间（-2，-∞）上是增函数，求a的取值范围。
变式的目的使用学生注意分母含参而导致条件增加，用导数法容易错解——不检验，复合函数法易遗漏条件——定义域。
变式2：已知函数f（x）=■（a≠1），若f（x）在区间（0，1]上是减函数。求a的取值范围。
该变式作用在于加强学生分类讨论意识的培养。
通过这三道题，学生对于这类题求解方法有了深刻的理解，归纳应该注意到的问题：①要满足单调性；②要注意单调区间是定义域的子区间。 3. 类比题组变式，帮助学生触类旁通
通过类比的方法，使学生由此及彼，触类旁通，培养学生知识的迁移能力；这类题主要体现在由平面几何到立体几何，由等差数列到等比数列，由圆到椭圆、双曲线等。
例1. 对于函数f（x），若存在常数a≠0，使得x取定义域内的每一个值，都有f（x）=f（2a-x），则称f（x）为准偶函数。下列函数：①f（x）=■；②f（x）=x2；③f（x）=tan x；④f（x）=cos（x 1）。其中为准偶函数的是
（填序号）。
变式：仿此类比，可得准奇函数的一个正确命题：对于函数，若存在常数，使得取定义域中每一个值都有 ，则称为准奇函数。
例2. 某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：顾客购物总金额不超过800元，不享受任何折扣，如果顾客购物总金额超过800元，则超过800元部分享受一定的折扣优惠，按下表折扣分别累计计算。
某人在此商场购物总金额为x元，可以获得的折扣金额为y元，则y关于x的解析式为：
y=0，0
若y=30元，则他购物实际所付金额为 元。
变式：《中华人民共和国个人所得税法》原来规定，公民全月工资、薪金所得不超过800元（人民币）的部分不必纳税，超过800元部分为全月应纳税所得额.此项税款按下表分段累进计算：
若某人1月份应缴纳此项税款115元，则他的当月工资、薪金为 元。
4. 变更条件变式，帮助学生举一反三
通过改变已知条件中的某些量，使学生弄清有哪些条件变化，避免似是而非的判断，从而做错题。
例1.“ x0∈R，使得x02 mx0 2m-3<0”为假命题，则实数的取值范围是 。
变式1：“ x∈R，使得x2 mx 2m-3<0”为假命题，则实数的取值范围是 。
变式2： ∈（-1，2），使得x2 mx 2m-3<0，则实数m的取值范围是 。
例2. 函数f（x）=3x-7 lnx的零点位于区间内（n，n 1）（n∈N），则n= 。
变式：方程2x x=4的根为x0，若x0∈（k-■，k ■），则整数k
。
5. 变更结论变式，帮助学生深化题意：
通过对结论的变式，来强化学生对条件的理解，乃至形成一些结论来解决问题。
例1. 与x，y轴相切，且过点P（3，4）的两个圆的半径分别为r1，r2，则r1r2 。
变式1. 求r1 r2，r1-r2的值。
变式2. 设两圆C1、C2、都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），则两圆心的距离C1C2= 。
这组题为利用韦达定理构造方程求解。
例2. 已知函数f（x）=log2x，正实数m，n满足m
这组题中有一个中间结论mn=1（或ab=1）。
6. 交换条件结论，帮助学生提高能力
教师要编制一些新题，可作这方面的尝试；将题目中的部分条件改为未知，将对结论变为已知，从而编出一些新题，即可达到效果。
例1. 求过点（0，0）与曲线y=2ex相切的直线方程。
变式1：直线y=kx与曲线y=2ex相切，求实数k的值。
变式2：直线y=2ex与曲线y=aex相切，求实数a的值。
一个教师的成熟与否关键在于能就题发挥，通过变式关联，提高学生参与度，使学生能举一反三、触类旁通，因此我们教师一定要在练习、变式和评析中注意多角度分析问题，培养学生的比较、分析、综合、归纳能力，指导学生总结习题所涉及的知识点，并使之系统化，同时对題目类型、解题步骤进行归纳小结，总结解题常用方法、解题的一般规律、应注意的事项、容易出现的问题等，并在掌握常规思路和方法的基础上，启发新思路，探索巧解、速解、一题多解的新途径、新方法，不断丰富学生的解题经验，提高解题速度。
教师要经常对教育教学实践进行再认识、再思考，并以此来总结经验教训，进一步提高教育教学水平。能从自己的教育实践中来反观自己的得失，通过教育案例、教育故事、或教育心得等来提高教学反思的质量，提高个人业务水平。
这以上仅是笔者的一些粗浅想法，至于如何才能上好一堂习题课，还有待我们在今后的教育教学过程中不断积累、研究和探讨。总之，正确认识习题教学，运用科学的方法组织教学，不仅能提高学生学习数学的兴趣，还能巩固知识，培养解题技巧，提高思维能力。
（作者单位：江苏省高邮市第二中学 225600）