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【摘要】条件概率是数学选修2—3第二章2.2节内容，课本在给出两个定义的过程中，由于未对条件概率的两种情形进行说明，致使学生难于理解.本文尝试给出条件概率的另一种定义，帮助大家分清条件概率的两种情形，加深对条件概率内涵的理解.
【关键词】条件概率；概率；随机试验；事件；抽签
一、课本上思考问题的另一种解法
思考问题（见数学选修2—3第二章2.2节）：3张奖券中只有1张能中奖，现分别由3名同学无放回地抽取，如果已经知道第一名同学没有抽到中奖奖券，那么最后一名同学抽到中奖奖券的概率是多少？
课本解法：用A表示第一名同学没有抽到中奖奖券的事件，B表示最后一名同学抽到中奖奖券的事件，Y表示抽到中奖奖券，N表示没抽到中奖奖券，则B={NNY}，A={N NY，N Y N}，由古典概型可知，最后一名同学抽到中奖奖券的概率是n（B）[]n（A）=1[]2，由此引出条件概率定义：P（B|A）=n（AB）[]n（A）
另一解法：用A表示第一名同学没有抽到中奖奖券的事件，B表示最后一名同学抽到中奖奖券的事件，所有的基本事件为两张不中奖奖券和1张能中奖奖券，一名同学抽奖后，剩余的基本事件全体为Ω={1张中奖奖券，1张不能中奖奖券}，含B的基本事件是{1张中奖奖券}，由古典概型可知，最后一名同学抽到中奖奖券的概率是1[]2，由此启发我们给出条件概率的另一定义：P（B|A）=A发生后剩余的含B的基本事件个数/A发生后剩余的基本事件总数.
本文称之为条件概率的第三定义.本定义较之课本给出的条件概率定义，学生比较容易理解和掌握.
二、条件概率第三定义应用举例
例1 （见数学选修2—3第二章2.2节P60页）在5道题中有3道理科题和2道文科题，如果不放回地依次抽取2道题，求在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率.
解 设第1次抽到理科题为事件A，第2次抽到理科题为事件B，第1次抽到理科题后剩余的题数是4道，其中2道理科题，
由条件概率第三定义可知，
P（B|A）=2[]4，即P（B|A）=1[]2.
例2 （见数学选修2—3第二章2.2节P61页）从一副不含大小王的52张扑克牌中不放回地抽取2次，每次抽1张，已知第1次抽到A，求第2次也抽到A的概率.
解 设第1次抽到A为事件B，第2次也抽到A为事件C，第1次抽到A后剩余的基本事件总数是51，第1次抽到A后剩余的A扑克牌有3张，
所以，依据条件概率第三定义得，P（C|B）=3[]51
例3 （见数学选修2—3第二章2.2节P61页）100件产品中有5件次品，不放回地抽取2次，每次抽1件，已知第1件抽出的是次品，求第2次抽出正品的概率.
解 设第1件抽出的是次品为事件A，第2次抽出正品为事件B，第1件抽出次品后剩余的基本事件总数是99，第1件抽出次品后剩余的含正品的基本事件个数为95，
所以，依据条件概率第三定义得，P（B|A）=95[]99.
例4 （见数学选修2—3第二章2.2节P63页）一个口袋内装有2个白球和2个黑球，那么（1）先摸出1个白球不放回，再摸出1个白球的概率是多少？
（2）先摸出1個白球放回，再摸出1个白球的概率是多少？
解 记先摸出1个白球为事件A，再摸出1个白球为事件B，
（1）先摸出1个白球后剩余的基本事件总数为3，先摸出1个白球后剩余的白球个数是1，故依据条件概率第三定义得，P（B|A）=1[]3.
（2）先摸出1个白球后剩余的基本事件总数为4，先摸出1个白球后剩余的白球个数是2，
故，依据条件概率第三定义得，P（B|A）=2/4，即P（B|A）=1[]2.
运用条件概率第三定义解决以上例题，较之课本给出的定义，更简捷、更能抓住题目的本质.
三、条件概率的两种情形
条件概率P（B|A）为在事件A发生的条件下，事件B发生的概率.在事件A发生的条件下，事件B发生包括两种情形.第一种情形：事件A发生后，事件B才发生；第二种情形：事件A发生的同时，事件B也可能发生.这两种情形的共同点是事件A、B都发生.本文给出的条件概率第三定义适用范围是第一种情形.如果是第二种情形，必须运用课本的条件概率定义.
例如，一个箱子中装有4个白球和3个黑球，一次摸出2个球，在已知它们的颜色相同的情况下，求该颜色是白色的概率？
解 记摸出的2个球颜色相同为事件A，摸出的2个球是白球为事件B，由于事件A发生的同时，事件B也可能发生，故用课本给出的条件概率定义解决，
n（AB）=n（B）=C24，n（A）=C24 C23，
所以，P（B|A）=C24/（C24 C23）.
本文对条件概率的两种分类，以及据此给出的条件概率第三定义，可以较好地帮助学生认清条件概率的本质
【参考文献】
[1]杨义群.初等概率教学中定义条件概率的两个问题探讨[J].教学与研究（中学数学），1984，（4）：3.
[2]谢国瑞.概率论与数理统计[M].北京：高等教育出版社，2002.
[3]王潘玲.应用高等数学[M].杭州：浙江科学技术出版社，2004.
[4]曹之江.现代数学优教原理探索[J].数学教育学报，2004（2）.
【关键词】条件概率；概率；随机试验；事件；抽签
一、课本上思考问题的另一种解法
思考问题（见数学选修2—3第二章2.2节）：3张奖券中只有1张能中奖，现分别由3名同学无放回地抽取，如果已经知道第一名同学没有抽到中奖奖券，那么最后一名同学抽到中奖奖券的概率是多少？
课本解法：用A表示第一名同学没有抽到中奖奖券的事件，B表示最后一名同学抽到中奖奖券的事件，Y表示抽到中奖奖券，N表示没抽到中奖奖券，则B={NNY}，A={N NY，N Y N}，由古典概型可知，最后一名同学抽到中奖奖券的概率是n（B）[]n（A）=1[]2，由此引出条件概率定义：P（B|A）=n（AB）[]n（A）
另一解法：用A表示第一名同学没有抽到中奖奖券的事件，B表示最后一名同学抽到中奖奖券的事件，所有的基本事件为两张不中奖奖券和1张能中奖奖券，一名同学抽奖后，剩余的基本事件全体为Ω={1张中奖奖券，1张不能中奖奖券}，含B的基本事件是{1张中奖奖券}，由古典概型可知，最后一名同学抽到中奖奖券的概率是1[]2，由此启发我们给出条件概率的另一定义：P（B|A）=A发生后剩余的含B的基本事件个数/A发生后剩余的基本事件总数.
本文称之为条件概率的第三定义.本定义较之课本给出的条件概率定义，学生比较容易理解和掌握.
二、条件概率第三定义应用举例
例1 （见数学选修2—3第二章2.2节P60页）在5道题中有3道理科题和2道文科题，如果不放回地依次抽取2道题，求在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率.
解 设第1次抽到理科题为事件A，第2次抽到理科题为事件B，第1次抽到理科题后剩余的题数是4道，其中2道理科题，
由条件概率第三定义可知，
P（B|A）=2[]4，即P（B|A）=1[]2.
例2 （见数学选修2—3第二章2.2节P61页）从一副不含大小王的52张扑克牌中不放回地抽取2次，每次抽1张，已知第1次抽到A，求第2次也抽到A的概率.
解 设第1次抽到A为事件B，第2次也抽到A为事件C，第1次抽到A后剩余的基本事件总数是51，第1次抽到A后剩余的A扑克牌有3张，
所以，依据条件概率第三定义得，P（C|B）=3[]51
例3 （见数学选修2—3第二章2.2节P61页）100件产品中有5件次品，不放回地抽取2次，每次抽1件，已知第1件抽出的是次品，求第2次抽出正品的概率.
解 设第1件抽出的是次品为事件A，第2次抽出正品为事件B，第1件抽出次品后剩余的基本事件总数是99，第1件抽出次品后剩余的含正品的基本事件个数为95，
所以，依据条件概率第三定义得，P（B|A）=95[]99.
例4 （见数学选修2—3第二章2.2节P63页）一个口袋内装有2个白球和2个黑球，那么（1）先摸出1个白球不放回，再摸出1个白球的概率是多少？
（2）先摸出1個白球放回，再摸出1个白球的概率是多少？
解 记先摸出1个白球为事件A，再摸出1个白球为事件B，
（1）先摸出1个白球后剩余的基本事件总数为3，先摸出1个白球后剩余的白球个数是1，故依据条件概率第三定义得，P（B|A）=1[]3.
（2）先摸出1个白球后剩余的基本事件总数为4，先摸出1个白球后剩余的白球个数是2，
故，依据条件概率第三定义得，P（B|A）=2/4，即P（B|A）=1[]2.
运用条件概率第三定义解决以上例题，较之课本给出的定义，更简捷、更能抓住题目的本质.
三、条件概率的两种情形
条件概率P（B|A）为在事件A发生的条件下，事件B发生的概率.在事件A发生的条件下，事件B发生包括两种情形.第一种情形：事件A发生后，事件B才发生；第二种情形：事件A发生的同时，事件B也可能发生.这两种情形的共同点是事件A、B都发生.本文给出的条件概率第三定义适用范围是第一种情形.如果是第二种情形，必须运用课本的条件概率定义.
例如，一个箱子中装有4个白球和3个黑球，一次摸出2个球，在已知它们的颜色相同的情况下，求该颜色是白色的概率？
解 记摸出的2个球颜色相同为事件A，摸出的2个球是白球为事件B，由于事件A发生的同时，事件B也可能发生，故用课本给出的条件概率定义解决，
n（AB）=n（B）=C24，n（A）=C24 C23，
所以，P（B|A）=C24/（C24 C23）.
本文对条件概率的两种分类，以及据此给出的条件概率第三定义，可以较好地帮助学生认清条件概率的本质
【参考文献】
[1]杨义群.初等概率教学中定义条件概率的两个问题探讨[J].教学与研究（中学数学），1984，（4）：3.
[2]谢国瑞.概率论与数理统计[M].北京：高等教育出版社，2002.
[3]王潘玲.应用高等数学[M].杭州：浙江科学技术出版社，2004.
[4]曹之江.现代数学优教原理探索[J].数学教育学报，2004（2）.