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苏科版《数学》教材九年级下册第21、22页有三个例题：
已知二次函数y=ax2的图像经过点（-2，8），求a的值。
已知二次函数y=ax2+c的图像经过点（-2，8）和（-1，5），求a、c的值。
已知二次函数y=ax2+bx+c的图像经过点（-3，6）、（-2，-1）和（0，-3），求这个二次函数的表达式。
【解析】上面三题把函数与方程相结合，通过把点的坐标代入表达式，建立方程或方程组，从而求出二次函数的表达式。这三个例题的解法类似，在课本中都有，这里就不再列解。表达式是函数的根本所在，所以很多函数问题都是从求表达式开始的。那么如何快速准确地求出二次函数的表达式呢？下面通过这样几类情况进行简述。
一、观察题目特征，巧设函数表达式
例1 已知一个二次函数的图像经过点（-3，0）、（1，0）和（0，-3），求这个二次函数的表达式。
【解析】解法一：可设二次函数表达式为y=ax2+bx+c，由图像经过点（-3，0）、（1，0）和（0，-3）列方程组求解。显然此方法较复杂，计算繁琐。解法二：根据图像经过点（-3，0）、（1，0）可以看出二次函数的对称轴是直线x=-1，所以可设二次函数表达式为y=a（x+1）2+k，再把点（1，0）和（0，-3）代入计算。解法三：根据图像经过点（-3，0）、（1，0）不难看出，这两个点是二次函数的图像与x轴的交点，所以可设表达式为y=a（x+3）（x-1），再把点（0，-3）代入可得a=1，所以这个二次函数的表达式为y=（x+3）（x-1）=x2+2x-3。
【总结】二次函数的表达式通常有一般式、顶点式和交点式三种。已知图像上三个点的坐标或三组对应值时，通常选择一般式;已知图像的顶点坐标或对称轴和最值时，通常选择顶点式;已知图像与x轴的两个交点坐标时，通常选择交点式。三种表达式并没有哪个特别重要，但是在不同的条件下，如果能合理选择，便可使问题的解决变得更为方便。
二、利用几何变换，巧定函数表达式
例2 （2019·徐州）已知二次函数的图像经过点P（2，2），顶点为O（0，0），将该图像向右平移，当它再次经过点P时，所得抛物线的函数表达式为 。
【解析】本题考查了二次函数图像的平移。由图像的顶点为O（0，0），可设表达式为y=ax2，把点（2，2）代入，得2=4a，所以a=[12]，得原二次函数的表达式为y=[12x2]。设将该图像向右平移m个单位，则表达式为y=[12]（x-m）2，代入（2，2），解得m1=0（舍去），m2=4，所以所得拋物线的函数表达式为y=[12]（x-4）2=[12]x2-4x+8。
例3 已知二次函数的图像在x轴上截得的线段AB长为4，函数图像的顶点坐标为P（3，-2）。
（1）求这个二次函数的表达式;
（2）一个新的二次函数的图像与（1）中抛物线关于y轴对称，求新的二次函数表达式;
（3）二次函数y=ax2+bx+c的图像与（1）中抛物线关于原点对称，求a，b，c的值。
【解析】（1）由抛物线的顶点坐标可得抛物线的对称轴为直线x=3，利用抛物线的对称性可得A点和B点坐标分别为（1，0），（5，0），则可设交点式y=a（x-1）（x-5），然后把P点坐标代入求出a=[12]，从而得到抛物线解析式为y=[12]（x-1）（x-5）=[12]x2-3x+[52]。
（2）图像关于y轴对称，也就是图像上的点关于y轴对称，并且开口方向和大小都一样，所以a相同，利用关于y轴对称的点的坐标特征，求出点P（3，-2）关于y轴对称的点的坐标为（-3，-2），利用顶点式确定新的二次函数表达式为y=[12]（x+3）2-2=[12]x2+3x+[52]。
（3）利用关于原点对称的坐标特征，求出点P（3，-2）关于原点对称的点的坐标为（-3，2），然后利用顶点式写出新抛物线解析式为y=[-12]（x+3）2+2，再化为一般式y=[-12]x2-3x-[52]，则可得到a=[-12]，b=-3，c=[-52]。
三、给定关系式，再求函数表达式
例4 （2019·安徽）一次函数y=kx+4与二次函数y=ax2+c的图像的一个交点坐标为（1，2），另一个交点是该二次函数图像的顶点。
（1）求k，a，c的值;
（2）过点A（0，m）（0 【解析】（1）由交点为（1，2），代入y=kx+4，可求得k，由y=ax2+c可知，二次函数的顶点在y轴上，即x=0，则可求得顶点的坐标，从而可求c值，最后可求a的值。
（2）由（1）得二次函数解析式为y=-2x2+4，由直线BC经过点A（0，m）且垂直于y轴，所以B、C两点的纵坐标均为m，令y=m，得2x2+m-4=0，可求x的值，即可得BC的长，从而列出W关于m的关系式，进而利用二次函数的性质求出W的最小值。
解：（1）由题意得，k+4=2，解得k=-2，
又∵二次函数y=ax2+c的顶点坐标为（0，c），
∴当x=0时，y=4，
∴二次函数顶点坐标为（0，4），
∴c=4，把（1，2）代入二次函数表达式得a+c=2，解得a=-2。
（2）由（1）得二次函数解析式为y=-2x2+4，令y=m，得2x2+m-4=0，解得x=[±4-m2]，∴BC=[24-m2]。
∴W=OA2+BC2=m2+4×[4-m2]=m2-2m+8=（m-1）2+7。
∴当m=1时，W取得最小值7。
我们如果要确定二次函数的表达式，应先根据题目所给条件，灵活选用二次函数表达式的不同形式，再抓住表达式与图像之间的内在联系，数形结合，最终运用二次函数的性质解决问题。
（作者单位：江苏省南京市六合区励志学校）
已知二次函数y=ax2的图像经过点（-2，8），求a的值。
已知二次函数y=ax2+c的图像经过点（-2，8）和（-1，5），求a、c的值。
已知二次函数y=ax2+bx+c的图像经过点（-3，6）、（-2，-1）和（0，-3），求这个二次函数的表达式。
【解析】上面三题把函数与方程相结合，通过把点的坐标代入表达式，建立方程或方程组，从而求出二次函数的表达式。这三个例题的解法类似，在课本中都有，这里就不再列解。表达式是函数的根本所在，所以很多函数问题都是从求表达式开始的。那么如何快速准确地求出二次函数的表达式呢？下面通过这样几类情况进行简述。
一、观察题目特征，巧设函数表达式
例1 已知一个二次函数的图像经过点（-3，0）、（1，0）和（0，-3），求这个二次函数的表达式。
【解析】解法一：可设二次函数表达式为y=ax2+bx+c，由图像经过点（-3，0）、（1，0）和（0，-3）列方程组求解。显然此方法较复杂，计算繁琐。解法二：根据图像经过点（-3，0）、（1，0）可以看出二次函数的对称轴是直线x=-1，所以可设二次函数表达式为y=a（x+1）2+k，再把点（1，0）和（0，-3）代入计算。解法三：根据图像经过点（-3，0）、（1，0）不难看出，这两个点是二次函数的图像与x轴的交点，所以可设表达式为y=a（x+3）（x-1），再把点（0，-3）代入可得a=1，所以这个二次函数的表达式为y=（x+3）（x-1）=x2+2x-3。
【总结】二次函数的表达式通常有一般式、顶点式和交点式三种。已知图像上三个点的坐标或三组对应值时，通常选择一般式;已知图像的顶点坐标或对称轴和最值时，通常选择顶点式;已知图像与x轴的两个交点坐标时，通常选择交点式。三种表达式并没有哪个特别重要，但是在不同的条件下，如果能合理选择，便可使问题的解决变得更为方便。
二、利用几何变换，巧定函数表达式
例2 （2019·徐州）已知二次函数的图像经过点P（2，2），顶点为O（0，0），将该图像向右平移，当它再次经过点P时，所得抛物线的函数表达式为 。
【解析】本题考查了二次函数图像的平移。由图像的顶点为O（0，0），可设表达式为y=ax2，把点（2，2）代入，得2=4a，所以a=[12]，得原二次函数的表达式为y=[12x2]。设将该图像向右平移m个单位，则表达式为y=[12]（x-m）2，代入（2，2），解得m1=0（舍去），m2=4，所以所得拋物线的函数表达式为y=[12]（x-4）2=[12]x2-4x+8。
例3 已知二次函数的图像在x轴上截得的线段AB长为4，函数图像的顶点坐标为P（3，-2）。
（1）求这个二次函数的表达式;
（2）一个新的二次函数的图像与（1）中抛物线关于y轴对称，求新的二次函数表达式;
（3）二次函数y=ax2+bx+c的图像与（1）中抛物线关于原点对称，求a，b，c的值。
【解析】（1）由抛物线的顶点坐标可得抛物线的对称轴为直线x=3，利用抛物线的对称性可得A点和B点坐标分别为（1，0），（5，0），则可设交点式y=a（x-1）（x-5），然后把P点坐标代入求出a=[12]，从而得到抛物线解析式为y=[12]（x-1）（x-5）=[12]x2-3x+[52]。
（2）图像关于y轴对称，也就是图像上的点关于y轴对称，并且开口方向和大小都一样，所以a相同，利用关于y轴对称的点的坐标特征，求出点P（3，-2）关于y轴对称的点的坐标为（-3，-2），利用顶点式确定新的二次函数表达式为y=[12]（x+3）2-2=[12]x2+3x+[52]。
（3）利用关于原点对称的坐标特征，求出点P（3，-2）关于原点对称的点的坐标为（-3，2），然后利用顶点式写出新抛物线解析式为y=[-12]（x+3）2+2，再化为一般式y=[-12]x2-3x-[52]，则可得到a=[-12]，b=-3，c=[-52]。
三、给定关系式，再求函数表达式
例4 （2019·安徽）一次函数y=kx+4与二次函数y=ax2+c的图像的一个交点坐标为（1，2），另一个交点是该二次函数图像的顶点。
（1）求k，a，c的值;
（2）过点A（0，m）（0
（2）由（1）得二次函数解析式为y=-2x2+4，由直线BC经过点A（0，m）且垂直于y轴，所以B、C两点的纵坐标均为m，令y=m，得2x2+m-4=0，可求x的值，即可得BC的长，从而列出W关于m的关系式，进而利用二次函数的性质求出W的最小值。
解：（1）由题意得，k+4=2，解得k=-2，
又∵二次函数y=ax2+c的顶点坐标为（0，c），
∴当x=0时，y=4，
∴二次函数顶点坐标为（0，4），
∴c=4，把（1，2）代入二次函数表达式得a+c=2，解得a=-2。
（2）由（1）得二次函数解析式为y=-2x2+4，令y=m，得2x2+m-4=0，解得x=[±4-m2]，∴BC=[24-m2]。
∴W=OA2+BC2=m2+4×[4-m2]=m2-2m+8=（m-1）2+7。
∴当m=1时，W取得最小值7。
我们如果要确定二次函数的表达式，应先根据题目所给条件，灵活选用二次函数表达式的不同形式，再抓住表达式与图像之间的内在联系，数形结合，最终运用二次函数的性质解决问题。
（作者单位：江苏省南京市六合区励志学校）