论文部分内容阅读
摘要：本文通过对一些质量问题的探讨，给出了两种质量计算方法，并着重讨论了自能及其一些相关的问题。
关键词：结合能；质量；自能；经验公式
学习过高中物理的人都知道，我们现在所熟知的物质都是由原子所构成的，原子则是由原子核及核外的电子所组成的，原子核中主要包含核子——质子和中子，核子的下一层次为夸克。到目前为止，电子和夸克在相关的物理理论中被视为点状粒子，而相关的物理实验也没有发现电子、夸克具有一定的结构。这些就是现在人类对于物质结构的基本认识。大家也都知道，质量是物质所具有的基本物理性质之一，原子、原子核、核子、夸克和电子都具有各不相同的质量。本文拟就这些不同的质量值及其一些相关问题进行简单的探讨。
一、氢原子及几个轻原子核和核子的质量
我们知道，自由质子和电子结合在一起形成氢原子，自由质子和中子结合在一起形成原子核以及较轻的原子核结合成较重的原子核时，都将释放一定的能量。而要将再基态氢原子分解成单个的自由质子和电子，将氘核分解成自由质子和中子及较重的原子核分解成较轻的原子核时，也需要提供同样的能量。这个能量就是相应的结合能。我们在高中物理中学习过的玻尔氢原子理论所给出的基态氢原子结合能为：
E1=-me422。
式中m为电子质量，e为电子电荷，为普朗克恒量=h2π，h为普朗克常数。
另外，利用早期的量子理论以及后来的量子力学中的薛定谔方程所给出的能量量子化公式，我们可以得到上述基态氢原子的结合能E1。而基态氢原子的质量就是自由质子和自由电子的质量之和减去结合能E1。
氘核、氚核和氦核这几个轻原子核的质量，除所包含的核子（质子和中子）的质量外，不同的结合能也同样与原子核的质量密切相关。因此，如果知道这样量值不同的结合能，也就可以知道原子核的质量了。而原子核的结合能ΔE可以由爱因斯坦质能方程ΔE=Δmc2来求出，方程中的c为真空中的光速，而Δm为“质量亏损”，即核反应前的反应物质量之和减去反应后的反应产物的质量。这也是大家在高中物理中已经学习过的。具体到氘核形成的核反应过程，“质量亏损”Δm就是自由质子与中子的质量之和减去氘核的质量（由此可见处于自由状态的质子和中子的质量要比处于束缚状态下的核子的质量略大）。除这样直接通过爱因斯坦质能方程外，也可以用上述不同于玻尔理论的求取基态氢原子结合能的方法，去计算氘核及氚核31H、氦核32He和氦核42He的结合能及核子的质量。由此得到的氘核、氚核31H、氦核32He和氦核42He的结合能计算值分别约2.21MeV、8.48MeV、7.75MeV和28.253MeV；质子和中子的质量计算值约为938.2161MeV及940.6012MeV；而相应的实验值分别约为2.22MeV、8.48MeV、7.72MeV和28.295MeV，质子和中子质量的实验值约为938.2789MeV及939.5731MeV，可见彼此都符合得很好。
二、带电轻子、夸克及希格斯粒子的质量
在给出相关的质量计算公式之前，我们主要以电子为例来先对所谓自能及其他一些相关问题进行简单的讨论。
（一）从上面对氢原子、氘核、氚核、氦核和核子质量的计算可以知道，尽管粒子质量与结合能密切相关，但结合能相对于粒子质量的比重还是不同的。不难看出，原子的结合能只占到整个原子质量极小的一部分，但原子核的结合能已占到原子核质量的百分之几，而核子的结合能则占到了核子质量的绝大部分。物理学标准模型将轻子和夸克视为点状粒子。从现有的物理实验结果来看，也的确没有发现轻子和夸克还有下一层次的结构。如果假定轻子和夸克还可以继续分下去，即轻子和夸克还具有下一层次的结构，那么轻子和夸克的质量如同核子的质量一样，也似乎应该主要来自结合能。然而由公式E=28mL2可知，不论m取值比现在已知的轻子和夸克的质量小多少，由于L值很小（比如已知电子的直径小于10-19m），所以其结合能值必定是很大的。另外，由本文前面的讨论还可以知道，在氢原子这一层次，估算公式中的所谓修正因子k值为0.25；在轻原子核这一层次，k≈1；而在核子这一层次k大约为3.1～5.5。不可能到了轻子和夸克的下一层次k值突然变得非常大。因此，即使我们考虑到公式中的修正因子k这一因素，轻子和夸克的结合能也仍然是非常大的，而且可能会远大于现在实验所确认的轻子和夸克的质量值——如果轻子和夸克还有下一层次结构的话。这显然和现在大家所看到的实际情形是不相符的。也许正好可以由此来说明，轻子和夸克的确有可能就是真实的点状粒子。既然带电轻子和夸克被视为点状粒子，不存在亚结构，所以也就不存在所谓结合能，其质量的计算或估算也就不能采用上面所给出的类似求取核子质量的计算方法——如上所述，结合能的求取是这个计算方法中的关键。
（二）另外一方面，如果将电子、夸克这一类粒子视为点状粒子，将导致无穷大的自能出现，也就是说点状带电粒子具有无穷大的能量（或质量）。这从经典电子质量公式m≈e2Rc2可以看到，当电子半径R趋于零时，质量m会趋于无穷大。很显然，这也和现在大家所看到的实际情形不相符。不但如此，将电子、夸克这类粒子视为没有大小和结构的点状粒子，同时却还要其承载质量、弱荷、电荷、甚至色荷这些基本的物质属性，这种情形也是很让人感到困惑和费解的。有一个可能的情形，即轻子和夸克这类粒子并不是严格意义下的点状粒子，仍然具有一定的大小，但同时却并不具有一定的亚结构，也即这类粒子并不是由更小的亚结构粒子所构成的。因此，结合能的概念对这类粒子也就同样不适用了，其质量的求取也必须用别的方法。这时，类似如无穷大自能的问题可能依旧存在，仅仅只是不为无穷大而已，这同样和大家所看到的实际情形不相符。
（三）量子场论告诉我们，一个真实的“物理”粒子是由“裸露”的中心粒子和包裹着它的虚光子云组成的。量子场论中著名的重整化方法在多年以前就已经指出，对于电子而言，物理实验所观测到的电子质量，是“裸电子”的质量与电子本身的电磁场作用所产生的“自能”之和。只有这两项之和才能被物理实验观测到。电子的自能也即在点电子的近似下的电磁质量，从相关理论中计算出来是无穷大。至于“裸电子”的质量是什么并不知道，所以规定它为负无穷大，结果是两个无穷大相互抵消，就得到了现在物理实验上所观测到的电子的有限静质量me。但这样一来，由于有了这样两个无穷大，将电子的质量计算出来的可能性似乎就不存在了，而且人为硬性地将“裸电子”的质量规定为负无穷大显得很牵强。这样做的根据是什么？仅仅是为了抵消无穷大的自能吗？无穷大、无穷小还比较好理解，但所谓负无穷大的确切含义究竟又是什么呢？ （四）大家是否也可以这样去考虑：虽然能够被相应的物理实验观测到的必须是包裹有虚光子云外衣的电子，即使是自由电子，也不能没有那层虚光子云外衣，单独的“裸电子”是不能被物理实验所观测到的，但这似乎并不能说明“裸电子”本身的质量就一定不可以被计算出来——既然点电荷可以产生无穷大的自能，那么点质量（将质量看作是近似集中在一点上）、甚至点“弱荷”（产生弱相互作用的荷）是否也都可以产生相应的无穷大的质量或能量呢？类似于经典电子理论中的质量公式，我们可以写出质量为m的物理实体所产生的质量为m′≈GNm2Rc2，GN为牛顿万有引力常数，这其实也就是质量m产生的引力势能：
ε=m′c2=GNm2R。
因此，一个质量为m、物理半径为R的实体除了具有能量E=mc2外，还同时具有上述能量ε。当R趋于零时，ε也会趋于无穷大。另外，大家可能都会注意到，电荷必须有不为零的质量作为其“载体”和“同伴”，电荷不能脱离质量而存在，带电轻子和夸克都是如此，电子就是目前所观测到的质量最小的带电粒子。还有，大家都知道牛顿万有引力定律和表示两静止电荷间相互作用的库仑定律很相似，都是平方反比例。人们直到现在都还不能说明为什么这两个定律如此相似。但所有这些都说明了电荷与质量的关系应该是非常密切的。因此，我们是否可以期望这个由点质量所产生无穷大势能去和点电子模型产生的无穷大自能相互抵消掉呢？！这样，不但电子的有限静质量可以被物理实验观测到，而且这个静质量和居于电子中心的“裸电子”本身的质量一样，也都有了被计算出来的可能性。很显然，以上的考虑和重整化方法有类似之处——都是以无穷大去抵消无穷大。
（五）认真和仔细考察经典电子理论中的质量公式m=e2Rc2和点质量的计算公式m′=GNm2Rc2，我们可以对这两个公式进行一个类似的修正，也就是通过引入一个特定的基本长度LA给这两个公式乘以一个修正因子R2R2+L2A。至于LA，我们期望其值非常小，这里给出一个可能的取值形式为：
LA=2ααSmplmFc212。（1）
式中mpl=cGN12为普朗克质量，mF=3GFc12，我们称之为费米质量，GF为描述弱相互作用的费米常数，α为表征电磁相互作用的精细结构常数，αS为强相互作用耦合常数。当然，LA也可能为另外的取值形式。
1.对上面两个公式引入修正因子的实际效果为：
1R·R2R2+L2A=RR2+L2A=1R1+L2AR2。
这样，如果R=0，修正因子为零，点状带电粒子的自能也随之为零，质点产生的质量或势能同样也将为零。
2.如果像我们前面所讨论过的那样，电子和夸克这类粒子可能仍具有一定的大小，但同时却没有亚结构。不难看出，只要R足够小（但仍然大于零），或者说R远小于LA，则依然可能由修正因子R2R2+L2A将与R和LA密切相关的自能降低到足够小的水平，从而不和相应的实验结果发生矛盾。如果R和普朗克长度lpl处于同一数量级，则LA的取值必须远小于电子所谓的经典半径（r0=e2mec2≈2.818×10-15m，与核力的力程及核子半径在同一数量级）而又同时远大于普朗克长度lpl，正如上面所给出的LA取值，这样也才能保证不和相应的实验结果发生矛盾。
（六）我们大家还可以问这样的一个问题：我们所熟知的物质世界为什么不像古人所认为的那样——原子是不可再分割的最小粒子呢？！原子为什么可以再往下细分直到夸克呢？也许实际情形是，时空在宏观世界里呈现连续性，而在微观领域里时空是不连续的，或者说是离散的。在微观领域里说R无限趋近于零是无意义的，因为R是不连续的、离散的。微观领域里时空的不连续性就具体表现为原子、原子核、核子各具有大小不同的质量及空间体积，直到被视为是点状或者说可能是仍有一定空间大小但却没有亚结构的电子、夸克。在可能不具有一定的亚结构这个意义上，轻子和夸克也许可以真正被称之为基本粒子。
（七）上面我们讨论了带电轻子和夸克，其质量不能采用以上求取氢原子、轻原子核及核子质量的计算方法。因为其不存在更小的亚结构，也就不存在与之相应的结合能。同时也讨论了如何去面对所谓无穷大的自能问题。究竟如何从理论上将带电轻子和夸克的质量计算出来，长久以来是人们一直在努力寻求解决的物理学诸多基本问题之一。多年以前，作者曾通过数值计算给出了一些与质量密切相关的所谓经验公式，我们暂且不妨将这种质量求取方法称之为经验公式法。
1.电子的质量公式
m3e′=6G2Fmplc2·2πδα1-δα。（2）
或m3e″=m4Fmpl·2πδα1-δα。（3）
式中me′为第一代带电轻子——电子的质量计算值，δ为混沌理论中的菲根鲍母常数。由此我们可以进一步去求取第二代及第三代带电轻子μ子与τ子的质量计算值，所得到的计算值和目前三代带电轻子质量的实验测量值彼此都符合得很好。我们知道，带电轻子参与电磁相互作用、弱相互作用和万有引力相互作用，α、GF和GN这些反映和表征这三种相互作用的物理学基本常数恰好也都出现在上述质量计算公式中。这也许反映了三代带电轻子作为一类基本费米子，其质量值有可能就是由其所参与的三种相互作用来决定的。而用六味夸克和三代带电轻子在质量数值上可能存在的关系式，我们也可以来计算夸克的质量Mni，所得到的结果也和相应的实验值基本相符。
2.希格斯粒子的质量
本文以上所列出的公式都和质量密切相关。根据粒子物理学的标准模型，希格斯粒子是质量之源，它使传递弱相互作用的规范玻色子W和Z获得质量；通过与轻子和夸克的相互作用，也使轻子和夸克获得质量。2013年3月和6月相关的物理实验所给出的证据表明，2012年所发现的大质量粒子就是标准模型中早就预言了的希格斯粒子，其质量大约在125GeV～126GeV。在这之后，作者同样通过数值计算给出了如下的与希格斯粒子质量mH相关的公式： mHmF=2δ。（4）
这里，mH约为125.421GeV。如果我们将公式（3）中含有的因子2πδα1-δα换成πδ2α1-δα，则公式（3）又可以改写成：
me′mF3=mHmpl·πδ2α1-δα。（5）
由此可以看出，正是因为希格斯粒子的质量mH和普朗克质量mpl、费米质量mF以及精细结构常数α这些物理量或常数纠缠、结合在一起，才使得电子质量的计算值me′不为零。而正是由于me′不为零，才同样使得第二代、第三代带电轻子的质量不为零。而三代带电轻子的质量不为零也就同样保证了六味夸克的质量不为零。很显然，如果mH为零，则me′也将为零，带电轻子的质量mn和夸克的Mni也都将随之为零。也许正是在这个意义上，在标准模型的框架内可以将希格斯粒子的质量mH视为所有的基本费米子（轻子和夸克）以及规范玻色子的质量之源。
三、中微子的静质量
这里，我们之所以强调静质量这个概念并和中微子联系起来讨论，是因为作为与三代带电轻子密切相关的基本费米子——中微子，以往一直被认为是静质量等于零的基本粒子。如果中微子静质量为零，则必定和静质量为零的光子一样以光速运动。但自上世纪末开始，已经陆续有确凿的实验证据表明中微子的静质量不为零。根据本文第三部分对于三代带电轻子和六味夸克及希格斯粒子的质量所进行的简单探讨与分析去推测，只参与弱作用和引力作用的中微子，其静质量应该只和mH、mF和mpl这样几个分别与弱作用及引力作用密切相关的物理量，或许还有代量子数n有关。前面的计算已经表明，由公式（5）所得到的me′和相应的实验测量值符合得非常好。而每一代带电轻子都伴随有相应的中微子，电子就伴随有电子型中微子。这里我们要问的是，电子质量的计算公式和电子型中微子静质量的计算公式会有某种关联吗？公式（5）中的mF、mH和弱作用密切相关，mpl包含了牛顿引力常数，而表征电磁相互作用的精细结构常数α以因子πδ2α1-δα的形式出现在公式中。中微子不参与电磁相互作用，按照上面的分析：像中微子这样的基本费米子的质量有可能是由其所参与的相互作用来决定的。这样，我们将这个包含α的计算因子去掉，而将和弱作用、引力作用有关的因子mHmpl引入到公式中，再考虑到众多的宇宙学观测的结果表明，三种中微子的静质量加起来不能超过0.3电子伏特（eV），最轻的中微子的静质量大约在0.05eV，还可能存在一种甚至几种质量大概为1eV的惰性中微子。综合以上情况，作者给出如下可能的中微子静质量的计算结果：
mvmF3=mHmpl·mHmpl。（6）
mv·δ2π≈1.028eV。
mv·12πδ≈0.04716eV。
这里，我们暂且假定以上的计算值分别可能对应目前实验上相关的惰性中微子和最轻中微子的静质量，且将后者看作是电子型中微子的静质量mv′e。在这样的电子型中微子静质量计算值的基础上，也可以去建立μ子型中微子与τ子型中微子的静质量计算公式：
mνl′mν′e=δn-12n2。（7）
（7）式中l′=e′、μ′、τ′，n=1、2、3为代量子数，mν′μ≈0.0551eV、mν′τ≈0.1143eV。
显而易见，这样的三代中微子的质量排序为mν′τ>mν′μ>mν′e，与三代带电轻子的质量排序mτ>mμ>me相类似。
四、结束语
这里应该强调的是，尽管本文前面一些质量公式的计算结果和相应的实验测量结果都相符，但由于这些公式都是通过数值计算得到的，并没有相应的理论依据，所以也不能排除这样的相符都只是因为偶然的巧合所致，就如同下面这六个数学常数在数值上所构成的近似关系式：
2eδ232=22Y32ψ2π4。（8）
式中为π圆周率，e为自然对数的底，为黄金比例，ψ为超黄金比例，Y为欧拉数，δ为混沌理论中的费根鲍姆常数。这里π的取值为3.141592659，与实际值相比已精确到了小数点后第9位。但即使是这样，我们就能说这几个数学常数之间真的一定存在必然的相互联系吗？显然不能。人们最多也只能由此去对这些常数之间可能隐含有某种特殊关系产生一些联想或者说幻想。总之，自然界中有太多的谜，物理学中也留有不少久未解决的基本问题。
本文希望通过对其中个别问题的简单探讨，能有助于提高广大青少年朋友们对物理学的学习兴趣，增加对自然科学的关注和爱好。
参考文献：
1.倪光炯，李洪芳.近代物理＼[M＼].上海科技出版社，1979.
2.烨玲.质能方程的推导与意义＼[J＼].中学生数理化（高中版），1984（5）.
3.易兆雄.关于三代夸克和轻子的质量关系的猜想＼[J＼].现代物理知识，2000.
4.卢昌海.质量起源＼[J＼].现代物理知识，2007（4）.
作者单位：陕西省汉中市3201功能科坚持题后深思多想，切实提高解题能力
关键词：结合能；质量；自能；经验公式
学习过高中物理的人都知道，我们现在所熟知的物质都是由原子所构成的，原子则是由原子核及核外的电子所组成的，原子核中主要包含核子——质子和中子，核子的下一层次为夸克。到目前为止，电子和夸克在相关的物理理论中被视为点状粒子，而相关的物理实验也没有发现电子、夸克具有一定的结构。这些就是现在人类对于物质结构的基本认识。大家也都知道，质量是物质所具有的基本物理性质之一，原子、原子核、核子、夸克和电子都具有各不相同的质量。本文拟就这些不同的质量值及其一些相关问题进行简单的探讨。
一、氢原子及几个轻原子核和核子的质量
我们知道，自由质子和电子结合在一起形成氢原子，自由质子和中子结合在一起形成原子核以及较轻的原子核结合成较重的原子核时，都将释放一定的能量。而要将再基态氢原子分解成单个的自由质子和电子，将氘核分解成自由质子和中子及较重的原子核分解成较轻的原子核时，也需要提供同样的能量。这个能量就是相应的结合能。我们在高中物理中学习过的玻尔氢原子理论所给出的基态氢原子结合能为：
E1=-me422。
式中m为电子质量，e为电子电荷，为普朗克恒量=h2π，h为普朗克常数。
另外，利用早期的量子理论以及后来的量子力学中的薛定谔方程所给出的能量量子化公式，我们可以得到上述基态氢原子的结合能E1。而基态氢原子的质量就是自由质子和自由电子的质量之和减去结合能E1。
氘核、氚核和氦核这几个轻原子核的质量，除所包含的核子（质子和中子）的质量外，不同的结合能也同样与原子核的质量密切相关。因此，如果知道这样量值不同的结合能，也就可以知道原子核的质量了。而原子核的结合能ΔE可以由爱因斯坦质能方程ΔE=Δmc2来求出，方程中的c为真空中的光速，而Δm为“质量亏损”，即核反应前的反应物质量之和减去反应后的反应产物的质量。这也是大家在高中物理中已经学习过的。具体到氘核形成的核反应过程，“质量亏损”Δm就是自由质子与中子的质量之和减去氘核的质量（由此可见处于自由状态的质子和中子的质量要比处于束缚状态下的核子的质量略大）。除这样直接通过爱因斯坦质能方程外，也可以用上述不同于玻尔理论的求取基态氢原子结合能的方法，去计算氘核及氚核31H、氦核32He和氦核42He的结合能及核子的质量。由此得到的氘核、氚核31H、氦核32He和氦核42He的结合能计算值分别约2.21MeV、8.48MeV、7.75MeV和28.253MeV；质子和中子的质量计算值约为938.2161MeV及940.6012MeV；而相应的实验值分别约为2.22MeV、8.48MeV、7.72MeV和28.295MeV，质子和中子质量的实验值约为938.2789MeV及939.5731MeV，可见彼此都符合得很好。
二、带电轻子、夸克及希格斯粒子的质量
在给出相关的质量计算公式之前，我们主要以电子为例来先对所谓自能及其他一些相关问题进行简单的讨论。
（一）从上面对氢原子、氘核、氚核、氦核和核子质量的计算可以知道，尽管粒子质量与结合能密切相关，但结合能相对于粒子质量的比重还是不同的。不难看出，原子的结合能只占到整个原子质量极小的一部分，但原子核的结合能已占到原子核质量的百分之几，而核子的结合能则占到了核子质量的绝大部分。物理学标准模型将轻子和夸克视为点状粒子。从现有的物理实验结果来看，也的确没有发现轻子和夸克还有下一层次的结构。如果假定轻子和夸克还可以继续分下去，即轻子和夸克还具有下一层次的结构，那么轻子和夸克的质量如同核子的质量一样，也似乎应该主要来自结合能。然而由公式E=28mL2可知，不论m取值比现在已知的轻子和夸克的质量小多少，由于L值很小（比如已知电子的直径小于10-19m），所以其结合能值必定是很大的。另外，由本文前面的讨论还可以知道，在氢原子这一层次，估算公式中的所谓修正因子k值为0.25；在轻原子核这一层次，k≈1；而在核子这一层次k大约为3.1～5.5。不可能到了轻子和夸克的下一层次k值突然变得非常大。因此，即使我们考虑到公式中的修正因子k这一因素，轻子和夸克的结合能也仍然是非常大的，而且可能会远大于现在实验所确认的轻子和夸克的质量值——如果轻子和夸克还有下一层次结构的话。这显然和现在大家所看到的实际情形是不相符的。也许正好可以由此来说明，轻子和夸克的确有可能就是真实的点状粒子。既然带电轻子和夸克被视为点状粒子，不存在亚结构，所以也就不存在所谓结合能，其质量的计算或估算也就不能采用上面所给出的类似求取核子质量的计算方法——如上所述，结合能的求取是这个计算方法中的关键。
（二）另外一方面，如果将电子、夸克这一类粒子视为点状粒子，将导致无穷大的自能出现，也就是说点状带电粒子具有无穷大的能量（或质量）。这从经典电子质量公式m≈e2Rc2可以看到，当电子半径R趋于零时，质量m会趋于无穷大。很显然，这也和现在大家所看到的实际情形不相符。不但如此，将电子、夸克这类粒子视为没有大小和结构的点状粒子，同时却还要其承载质量、弱荷、电荷、甚至色荷这些基本的物质属性，这种情形也是很让人感到困惑和费解的。有一个可能的情形，即轻子和夸克这类粒子并不是严格意义下的点状粒子，仍然具有一定的大小，但同时却并不具有一定的亚结构，也即这类粒子并不是由更小的亚结构粒子所构成的。因此，结合能的概念对这类粒子也就同样不适用了，其质量的求取也必须用别的方法。这时，类似如无穷大自能的问题可能依旧存在，仅仅只是不为无穷大而已，这同样和大家所看到的实际情形不相符。
（三）量子场论告诉我们，一个真实的“物理”粒子是由“裸露”的中心粒子和包裹着它的虚光子云组成的。量子场论中著名的重整化方法在多年以前就已经指出，对于电子而言，物理实验所观测到的电子质量，是“裸电子”的质量与电子本身的电磁场作用所产生的“自能”之和。只有这两项之和才能被物理实验观测到。电子的自能也即在点电子的近似下的电磁质量，从相关理论中计算出来是无穷大。至于“裸电子”的质量是什么并不知道，所以规定它为负无穷大，结果是两个无穷大相互抵消，就得到了现在物理实验上所观测到的电子的有限静质量me。但这样一来，由于有了这样两个无穷大，将电子的质量计算出来的可能性似乎就不存在了，而且人为硬性地将“裸电子”的质量规定为负无穷大显得很牵强。这样做的根据是什么？仅仅是为了抵消无穷大的自能吗？无穷大、无穷小还比较好理解，但所谓负无穷大的确切含义究竟又是什么呢？ （四）大家是否也可以这样去考虑：虽然能够被相应的物理实验观测到的必须是包裹有虚光子云外衣的电子，即使是自由电子，也不能没有那层虚光子云外衣，单独的“裸电子”是不能被物理实验所观测到的，但这似乎并不能说明“裸电子”本身的质量就一定不可以被计算出来——既然点电荷可以产生无穷大的自能，那么点质量（将质量看作是近似集中在一点上）、甚至点“弱荷”（产生弱相互作用的荷）是否也都可以产生相应的无穷大的质量或能量呢？类似于经典电子理论中的质量公式，我们可以写出质量为m的物理实体所产生的质量为m′≈GNm2Rc2，GN为牛顿万有引力常数，这其实也就是质量m产生的引力势能：
ε=m′c2=GNm2R。
因此，一个质量为m、物理半径为R的实体除了具有能量E=mc2外，还同时具有上述能量ε。当R趋于零时，ε也会趋于无穷大。另外，大家可能都会注意到，电荷必须有不为零的质量作为其“载体”和“同伴”，电荷不能脱离质量而存在，带电轻子和夸克都是如此，电子就是目前所观测到的质量最小的带电粒子。还有，大家都知道牛顿万有引力定律和表示两静止电荷间相互作用的库仑定律很相似，都是平方反比例。人们直到现在都还不能说明为什么这两个定律如此相似。但所有这些都说明了电荷与质量的关系应该是非常密切的。因此，我们是否可以期望这个由点质量所产生无穷大势能去和点电子模型产生的无穷大自能相互抵消掉呢？！这样，不但电子的有限静质量可以被物理实验观测到，而且这个静质量和居于电子中心的“裸电子”本身的质量一样，也都有了被计算出来的可能性。很显然，以上的考虑和重整化方法有类似之处——都是以无穷大去抵消无穷大。
（五）认真和仔细考察经典电子理论中的质量公式m=e2Rc2和点质量的计算公式m′=GNm2Rc2，我们可以对这两个公式进行一个类似的修正，也就是通过引入一个特定的基本长度LA给这两个公式乘以一个修正因子R2R2+L2A。至于LA，我们期望其值非常小，这里给出一个可能的取值形式为：
LA=2ααSmplmFc212。（1）
式中mpl=cGN12为普朗克质量，mF=3GFc12，我们称之为费米质量，GF为描述弱相互作用的费米常数，α为表征电磁相互作用的精细结构常数，αS为强相互作用耦合常数。当然，LA也可能为另外的取值形式。
1.对上面两个公式引入修正因子的实际效果为：
1R·R2R2+L2A=RR2+L2A=1R1+L2AR2。
这样，如果R=0，修正因子为零，点状带电粒子的自能也随之为零，质点产生的质量或势能同样也将为零。
2.如果像我们前面所讨论过的那样，电子和夸克这类粒子可能仍具有一定的大小，但同时却没有亚结构。不难看出，只要R足够小（但仍然大于零），或者说R远小于LA，则依然可能由修正因子R2R2+L2A将与R和LA密切相关的自能降低到足够小的水平，从而不和相应的实验结果发生矛盾。如果R和普朗克长度lpl处于同一数量级，则LA的取值必须远小于电子所谓的经典半径（r0=e2mec2≈2.818×10-15m，与核力的力程及核子半径在同一数量级）而又同时远大于普朗克长度lpl，正如上面所给出的LA取值，这样也才能保证不和相应的实验结果发生矛盾。
（六）我们大家还可以问这样的一个问题：我们所熟知的物质世界为什么不像古人所认为的那样——原子是不可再分割的最小粒子呢？！原子为什么可以再往下细分直到夸克呢？也许实际情形是，时空在宏观世界里呈现连续性，而在微观领域里时空是不连续的，或者说是离散的。在微观领域里说R无限趋近于零是无意义的，因为R是不连续的、离散的。微观领域里时空的不连续性就具体表现为原子、原子核、核子各具有大小不同的质量及空间体积，直到被视为是点状或者说可能是仍有一定空间大小但却没有亚结构的电子、夸克。在可能不具有一定的亚结构这个意义上，轻子和夸克也许可以真正被称之为基本粒子。
（七）上面我们讨论了带电轻子和夸克，其质量不能采用以上求取氢原子、轻原子核及核子质量的计算方法。因为其不存在更小的亚结构，也就不存在与之相应的结合能。同时也讨论了如何去面对所谓无穷大的自能问题。究竟如何从理论上将带电轻子和夸克的质量计算出来，长久以来是人们一直在努力寻求解决的物理学诸多基本问题之一。多年以前，作者曾通过数值计算给出了一些与质量密切相关的所谓经验公式，我们暂且不妨将这种质量求取方法称之为经验公式法。
1.电子的质量公式
m3e′=6G2Fmplc2·2πδα1-δα。（2）
或m3e″=m4Fmpl·2πδα1-δα。（3）
式中me′为第一代带电轻子——电子的质量计算值，δ为混沌理论中的菲根鲍母常数。由此我们可以进一步去求取第二代及第三代带电轻子μ子与τ子的质量计算值，所得到的计算值和目前三代带电轻子质量的实验测量值彼此都符合得很好。我们知道，带电轻子参与电磁相互作用、弱相互作用和万有引力相互作用，α、GF和GN这些反映和表征这三种相互作用的物理学基本常数恰好也都出现在上述质量计算公式中。这也许反映了三代带电轻子作为一类基本费米子，其质量值有可能就是由其所参与的三种相互作用来决定的。而用六味夸克和三代带电轻子在质量数值上可能存在的关系式，我们也可以来计算夸克的质量Mni，所得到的结果也和相应的实验值基本相符。
2.希格斯粒子的质量
本文以上所列出的公式都和质量密切相关。根据粒子物理学的标准模型，希格斯粒子是质量之源，它使传递弱相互作用的规范玻色子W和Z获得质量；通过与轻子和夸克的相互作用，也使轻子和夸克获得质量。2013年3月和6月相关的物理实验所给出的证据表明，2012年所发现的大质量粒子就是标准模型中早就预言了的希格斯粒子，其质量大约在125GeV～126GeV。在这之后，作者同样通过数值计算给出了如下的与希格斯粒子质量mH相关的公式： mHmF=2δ。（4）
这里，mH约为125.421GeV。如果我们将公式（3）中含有的因子2πδα1-δα换成πδ2α1-δα，则公式（3）又可以改写成：
me′mF3=mHmpl·πδ2α1-δα。（5）
由此可以看出，正是因为希格斯粒子的质量mH和普朗克质量mpl、费米质量mF以及精细结构常数α这些物理量或常数纠缠、结合在一起，才使得电子质量的计算值me′不为零。而正是由于me′不为零，才同样使得第二代、第三代带电轻子的质量不为零。而三代带电轻子的质量不为零也就同样保证了六味夸克的质量不为零。很显然，如果mH为零，则me′也将为零，带电轻子的质量mn和夸克的Mni也都将随之为零。也许正是在这个意义上，在标准模型的框架内可以将希格斯粒子的质量mH视为所有的基本费米子（轻子和夸克）以及规范玻色子的质量之源。
三、中微子的静质量
这里，我们之所以强调静质量这个概念并和中微子联系起来讨论，是因为作为与三代带电轻子密切相关的基本费米子——中微子，以往一直被认为是静质量等于零的基本粒子。如果中微子静质量为零，则必定和静质量为零的光子一样以光速运动。但自上世纪末开始，已经陆续有确凿的实验证据表明中微子的静质量不为零。根据本文第三部分对于三代带电轻子和六味夸克及希格斯粒子的质量所进行的简单探讨与分析去推测，只参与弱作用和引力作用的中微子，其静质量应该只和mH、mF和mpl这样几个分别与弱作用及引力作用密切相关的物理量，或许还有代量子数n有关。前面的计算已经表明，由公式（5）所得到的me′和相应的实验测量值符合得非常好。而每一代带电轻子都伴随有相应的中微子，电子就伴随有电子型中微子。这里我们要问的是，电子质量的计算公式和电子型中微子静质量的计算公式会有某种关联吗？公式（5）中的mF、mH和弱作用密切相关，mpl包含了牛顿引力常数，而表征电磁相互作用的精细结构常数α以因子πδ2α1-δα的形式出现在公式中。中微子不参与电磁相互作用，按照上面的分析：像中微子这样的基本费米子的质量有可能是由其所参与的相互作用来决定的。这样，我们将这个包含α的计算因子去掉，而将和弱作用、引力作用有关的因子mHmpl引入到公式中，再考虑到众多的宇宙学观测的结果表明，三种中微子的静质量加起来不能超过0.3电子伏特（eV），最轻的中微子的静质量大约在0.05eV，还可能存在一种甚至几种质量大概为1eV的惰性中微子。综合以上情况，作者给出如下可能的中微子静质量的计算结果：
mvmF3=mHmpl·mHmpl。（6）
mv·δ2π≈1.028eV。
mv·12πδ≈0.04716eV。
这里，我们暂且假定以上的计算值分别可能对应目前实验上相关的惰性中微子和最轻中微子的静质量，且将后者看作是电子型中微子的静质量mv′e。在这样的电子型中微子静质量计算值的基础上，也可以去建立μ子型中微子与τ子型中微子的静质量计算公式：
mνl′mν′e=δn-12n2。（7）
（7）式中l′=e′、μ′、τ′，n=1、2、3为代量子数，mν′μ≈0.0551eV、mν′τ≈0.1143eV。
显而易见，这样的三代中微子的质量排序为mν′τ>mν′μ>mν′e，与三代带电轻子的质量排序mτ>mμ>me相类似。
四、结束语
这里应该强调的是，尽管本文前面一些质量公式的计算结果和相应的实验测量结果都相符，但由于这些公式都是通过数值计算得到的，并没有相应的理论依据，所以也不能排除这样的相符都只是因为偶然的巧合所致，就如同下面这六个数学常数在数值上所构成的近似关系式：
2eδ232=22Y32ψ2π4。（8）
式中为π圆周率，e为自然对数的底，为黄金比例，ψ为超黄金比例，Y为欧拉数，δ为混沌理论中的费根鲍姆常数。这里π的取值为3.141592659，与实际值相比已精确到了小数点后第9位。但即使是这样，我们就能说这几个数学常数之间真的一定存在必然的相互联系吗？显然不能。人们最多也只能由此去对这些常数之间可能隐含有某种特殊关系产生一些联想或者说幻想。总之，自然界中有太多的谜，物理学中也留有不少久未解决的基本问题。
本文希望通过对其中个别问题的简单探讨，能有助于提高广大青少年朋友们对物理学的学习兴趣，增加对自然科学的关注和爱好。
参考文献：
1.倪光炯，李洪芳.近代物理＼[M＼].上海科技出版社，1979.
2.烨玲.质能方程的推导与意义＼[J＼].中学生数理化（高中版），1984（5）.
3.易兆雄.关于三代夸克和轻子的质量关系的猜想＼[J＼].现代物理知识，2000.
4.卢昌海.质量起源＼[J＼].现代物理知识，2007（4）.
作者单位：陕西省汉中市3201功能科坚持题后深思多想，切实提高解题能力