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函数是高中数学的重要内容之一.函数的基础知识在现实生活、社会、经济及其他学科中有着广泛的应用.函数概念及其反映出的数学思想、方法已经广泛渗透到数学的各个领域，是进一步学习的重要基础.但是学生在求解函数问题时往往会出错，下面结合几个例题对函数问题中的几个常见错误进行剖析.
1. 错误理解对应关系
例1已知函数f（x）的定义域为［－1，5］，在同一坐标系下，函数y＝f（x）的图象与直线x＝1的交点个数为（）
A. 0个B. 1个
C. 0个或1个D.不确定
错解：因为函数f（x）的解析式不确定，所以直线x＝1与其图象的交点个数也不确定.故选D.
剖析：虽然函数f（x）的解析式不确定，但是由函数概念中的“对定义域中的每一个x，在集合B中都有唯一确定的函数值f（x）与之对应”可知函数f（x）的图象与直线x＝1的交点个数最多有1个.
正解：因为1∈［－1，5］,所以函数f（x）的图象与直线x＝1有交点，假设函数f（x）的图象与直线x＝1有两个交点，则当x＝1时，有两个y的值与之对应，这与函数概念中的“对定义域中的每一个x，在集合B中都有唯一确定的函数值f（x）与之对应”矛盾，所以函数f（x）的图象与直线x＝1有一个交点.
点评：函数的对应关系最大的特点是具有“唯一”性，即当自变量x取定义域内的实数m，则y仅有一个数f(m)与之对应，则横坐标等于m的点仅有一个为(m,f(m)).则垂直于x轴的直线与函数f(x)的图象至多有一个交点，当m是定义域内的一个实数时，仅有一个交点，否则，没有交点.本题错解没有准确理解函数三要素中的对应关系，导致出现错误.
2. 函数的定义域出错.
例2求函数y=x2-x-2x2+x-6的定义域.
错解：∵ y=(x-2)(x+1)(x-2)(x+3)=x+1x+3，∴ x≠-3.
故所求函数的定义域为{x|x≠-3}.
剖析:约分扩大了自变量的取值范围.由于同时约去了函数中分子、分母的公因式“x-2”，使原函数变形为y=x+1x+3，从而改变了原函数的自变量x的取值范围.
正解:因为x2+x-6≠0，所以x≠-3且x≠2，所以函数的定义域为{x|x≠-3，且x≠2}
点评：错解警示我们要密切注意函数定义域问题，因为它制约与影响着函数的性质（如最值、值域、单调性等），特别是换元时一定要注意对新元的范围进行考查，以确保换元的等价性.
3. 函数的单调性出错
例3已知函数f(x)=2x，若f（a－2）＞f（3a）,求a的取值范围.
错解：任取x1＜x2，则f(x1)-f(x2)=2x1-2x2=2(x2-x1)x1x2.
∵ x1＜x2∴ x2-x1＞0，
∴ 当x1＜x2＜0时，x1x2＞0，即f(x1)-f(x2)＞0，函数单调递减；
当0＜x1＜x2时，x1x2＞0，即f(x1)-f(x2)＞0，函数单调递减.
综合得函数在（-∞，0）∪（0，+∞）上单调递减.
∵ f（a－2）＞f（3a），∴ a－2<3a，即a＞－1.
剖析：函数在（－∞，0）和（0，＋∞）上都是单调递减的，但是在（－∞，0）∪（0，＋∞）上并不是单调递减的.例如，－2＜2,而f(-2)＜f(2).
正解：任取x1＜x2，则f(x1)-f(x2)=2x1-2x2=2(x2-x1)x1x2.
∵ x1＜x2∴ x2-x1＞0，
∴ 当x1＜x2＜0时，x1x2＞0，即f(x1)-f(x2)＞0，函数单调递减；
当0＜x1＜x2时，x1x2＞0，即f(x1)-f(x2)＞0，函数单调递减.
综合得函数f(x)在（-∞，0）和（0，+∞）上都是单调递减的.
讨论：（1） 当3a＜0时，∵ 函数在（－∞，0）上单调递减，∴ a－2＜3a，即a＞－1. ∴ －1＜a＜0.
（2） 当a－2＞0，即a＞2时，∵ 函数在（0，＋∞）上单调递减，∴ a－2＜3a，即a＞－1，∴ a＞2
（3） 当a－2＞0，且3a＜0时，无解.
综合得：－1＜a＜0，或a＞2.
点评：错解警示我们注意函数的单调性是对定义域内的某个区间而言，有的函数在整个定义域内具有单调性，如一次函数y＝2x＋6等，有的函数在定义域内的某些区间上都是单调的，但在整个定义域上却不单调，比如本题.所以函数f（x）在给定区间上的单调性，反映了函数f（x）在区间上函数值的变化趋势，是函数在本区间上的整体性质.
4. 理解函数的奇偶性不全面
例4设函数f(x)=ax2+bx+3a+b的图象关于y轴对称，它的定义域是［a－1，2a］(a,b∈R)，求f(x)的值域.
错解：由已知条件可知函数是偶函数，
∴f（－x）＝f（x），又∵ f（－x）＝ax2－bx＋3a+b,∴b＝0，
∴f（x）＝ax2＋3a
由a－1＜2a得a＞－1.
讨论：（1） 当2a＜0，即a＜0时，f（x）开口向下，在［a－1，2a］上单调递增，
∴ 其值域为［f（a－1），f（2a）］,即 ［a3－2a2＋4a，4a3＋3a］.
（2） 当a－1＞0，即a＞1时，f（x）开口向上，在［a－1，2a］上单调递增，
∴ 其值域为［f（a－1），f（2a）］,即［a3－2a2＋4a，4a3＋3a］.
（3） 当a-1＜0
2a＞0
|a-1|＜2a,即13＜a＜1时，f(x)的值域为［f(0)，f(2a)］，即［3a,4a3+3a］.
当a-1＜0
2a＞0
|a-1|＞2a,0＜a＜13时，f(x)的值域为［f(0)，f(a-1)］，即［3a,a3－2a2+4a］.
剖析：该解法错在对函数奇偶性的理解不透彻，只知道偶函数的图象关于y轴对称，而忽视其定义域一定关于坐标原点对称.
正解：由已知条件可知函数是偶函数，∴ f（－x）＝f（x），
∴ f（－x）＝ax2－bx＋3a+b＝ax2＋bx＋3a＋b,∴b＝0，∴f（x）＝ax2＋3a，
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
1. 错误理解对应关系
例1已知函数f（x）的定义域为［－1，5］，在同一坐标系下，函数y＝f（x）的图象与直线x＝1的交点个数为（）
A. 0个B. 1个
C. 0个或1个D.不确定
错解：因为函数f（x）的解析式不确定，所以直线x＝1与其图象的交点个数也不确定.故选D.
剖析：虽然函数f（x）的解析式不确定，但是由函数概念中的“对定义域中的每一个x，在集合B中都有唯一确定的函数值f（x）与之对应”可知函数f（x）的图象与直线x＝1的交点个数最多有1个.
正解：因为1∈［－1，5］,所以函数f（x）的图象与直线x＝1有交点，假设函数f（x）的图象与直线x＝1有两个交点，则当x＝1时，有两个y的值与之对应，这与函数概念中的“对定义域中的每一个x，在集合B中都有唯一确定的函数值f（x）与之对应”矛盾，所以函数f（x）的图象与直线x＝1有一个交点.
点评：函数的对应关系最大的特点是具有“唯一”性，即当自变量x取定义域内的实数m，则y仅有一个数f(m)与之对应，则横坐标等于m的点仅有一个为(m,f(m)).则垂直于x轴的直线与函数f(x)的图象至多有一个交点，当m是定义域内的一个实数时，仅有一个交点，否则，没有交点.本题错解没有准确理解函数三要素中的对应关系，导致出现错误.
2. 函数的定义域出错.
例2求函数y=x2-x-2x2+x-6的定义域.
错解：∵ y=(x-2)(x+1)(x-2)(x+3)=x+1x+3，∴ x≠-3.
故所求函数的定义域为{x|x≠-3}.
剖析:约分扩大了自变量的取值范围.由于同时约去了函数中分子、分母的公因式“x-2”，使原函数变形为y=x+1x+3，从而改变了原函数的自变量x的取值范围.
正解:因为x2+x-6≠0，所以x≠-3且x≠2，所以函数的定义域为{x|x≠-3，且x≠2}
点评：错解警示我们要密切注意函数定义域问题，因为它制约与影响着函数的性质（如最值、值域、单调性等），特别是换元时一定要注意对新元的范围进行考查，以确保换元的等价性.
3. 函数的单调性出错
例3已知函数f(x)=2x，若f（a－2）＞f（3a）,求a的取值范围.
错解：任取x1＜x2，则f(x1)-f(x2)=2x1-2x2=2(x2-x1)x1x2.
∵ x1＜x2∴ x2-x1＞0，
∴ 当x1＜x2＜0时，x1x2＞0，即f(x1)-f(x2)＞0，函数单调递减；
当0＜x1＜x2时，x1x2＞0，即f(x1)-f(x2)＞0，函数单调递减.
综合得函数在（-∞，0）∪（0，+∞）上单调递减.
∵ f（a－2）＞f（3a），∴ a－2<3a，即a＞－1.
剖析：函数在（－∞，0）和（0，＋∞）上都是单调递减的，但是在（－∞，0）∪（0，＋∞）上并不是单调递减的.例如，－2＜2,而f(-2)＜f(2).
正解：任取x1＜x2，则f(x1)-f(x2)=2x1-2x2=2(x2-x1)x1x2.
∵ x1＜x2∴ x2-x1＞0，
∴ 当x1＜x2＜0时，x1x2＞0，即f(x1)-f(x2)＞0，函数单调递减；
当0＜x1＜x2时，x1x2＞0，即f(x1)-f(x2)＞0，函数单调递减.
综合得函数f(x)在（-∞，0）和（0，+∞）上都是单调递减的.
讨论：（1） 当3a＜0时，∵ 函数在（－∞，0）上单调递减，∴ a－2＜3a，即a＞－1. ∴ －1＜a＜0.
（2） 当a－2＞0，即a＞2时，∵ 函数在（0，＋∞）上单调递减，∴ a－2＜3a，即a＞－1，∴ a＞2
（3） 当a－2＞0，且3a＜0时，无解.
综合得：－1＜a＜0，或a＞2.
点评：错解警示我们注意函数的单调性是对定义域内的某个区间而言，有的函数在整个定义域内具有单调性，如一次函数y＝2x＋6等，有的函数在定义域内的某些区间上都是单调的，但在整个定义域上却不单调，比如本题.所以函数f（x）在给定区间上的单调性，反映了函数f（x）在区间上函数值的变化趋势，是函数在本区间上的整体性质.
4. 理解函数的奇偶性不全面
例4设函数f(x)=ax2+bx+3a+b的图象关于y轴对称，它的定义域是［a－1，2a］(a,b∈R)，求f(x)的值域.
错解：由已知条件可知函数是偶函数，
∴f（－x）＝f（x），又∵ f（－x）＝ax2－bx＋3a+b,∴b＝0，
∴f（x）＝ax2＋3a
由a－1＜2a得a＞－1.
讨论：（1） 当2a＜0，即a＜0时，f（x）开口向下，在［a－1，2a］上单调递增，
∴ 其值域为［f（a－1），f（2a）］,即 ［a3－2a2＋4a，4a3＋3a］.
（2） 当a－1＞0，即a＞1时，f（x）开口向上，在［a－1，2a］上单调递增，
∴ 其值域为［f（a－1），f（2a）］,即［a3－2a2＋4a，4a3＋3a］.
（3） 当a-1＜0
2a＞0
|a-1|＜2a,即13＜a＜1时，f(x)的值域为［f(0)，f(2a)］，即［3a,4a3+3a］.
当a-1＜0
2a＞0
|a-1|＞2a,0＜a＜13时，f(x)的值域为［f(0)，f(a-1)］，即［3a,a3－2a2+4a］.
剖析：该解法错在对函数奇偶性的理解不透彻，只知道偶函数的图象关于y轴对称，而忽视其定义域一定关于坐标原点对称.
正解：由已知条件可知函数是偶函数，∴ f（－x）＝f（x），
∴ f（－x）＝ax2－bx＋3a+b＝ax2＋bx＋3a＋b,∴b＝0，∴f（x）＝ax2＋3a，
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文