梯形是只有一组对边平行的特殊四边形,其中,两腰相等的梯形叫做等腰梯形,一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形. 近年来的中考数学题中,经常遇到有关梯形的判断和说理问题,现举例介绍其解法,供同学们参考.
　　例1 (2009年江苏省苏州市中考题)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB∥DE,AF∥DC,E、F两点在边BC上,且四边形AEFD是平行四边形.
　　(1)AD与BC有何等量关系?请说明理由;
　　(2)当AB=DC时,四边形AEFD是矩形吗?请说明理由.
　　分析:(1)依题意,四边形ABED和四边形ADCF都是平行四边形,又四边形AEFD也是平行四边形,所以BC=3AD;(2)当AB=DC时,可得DE=AF,则四边形AEFD是矩形.
　　解:(1)BC=3AD,说理如下:
　　∵AD∥BC,AB∥DE,AF∥DC,
　　∴四边形ABED和四边形ADCF都是平行四边形.
　　∴BE=AD,CF=AD.
　　∵四边形AEFD是平行四边形,
　　∴EF=AD.
　　∴BC=BE+EF+CF=3AD.
　　(2)当AB=DC时,四边形AEFD是矩形,说理如下:
　　∵四边形ABED和四边形ADCF都是平行四边形,
　　∴AB=DE,DC=AF.
　　又,AB=DC,
　　∴DE=AF.
　　∴四边形AEFD是对角线相等的平行四边形.
　　∴四边形AEFD是矩形.
　　例2 (2008年广东省茂名市中考题)如图,在等腰梯形ABCD中,已知AD∥BC,AB=DC,AD=2,BC=4,延长BC到E,使CE=AD.
　　(1)写出图中所有与△DCE全等的三角形,并选择其中一对说明全等的理由.
　　(2)探究当等腰梯形ABCD的高DF是多少时,对角线AC与BD互相垂直?请回答并说明理由.
　　分析:(1)容易发现,四边形ACED是平行四边形,则△CDA≌△DCE.又四边形ABCD是等腰梯形,则△BAD≌△CDA.于是,与△DCE全等的三角形有两个;(2)如果AC⊥BD,那么△BDE是等腰直角三角形,且DF正好是该等腰直角三角形斜边上的中线,则DF=BE.
　　解:(1)图中与△DCE全等的三角形有两对,它们是△CDA≌△DCE,△BAD≌△DCE. 现选择前者说理如下:
　　∵AD∥BC,
　　∴∠CDA=∠DCE.
　　∵AD=CE,CD=DC,
　　∴△CDA≌△DCE(SAS).
　　(2)当等腰梯形ABCD的高DF=3时,对角线AC与BD互相垂直,说理如下:
　　∵AD∥BC,CE=AD,
　　∴四边形ACED是平行四边形.
　　∴AC=DE,AC∥DE.
　　∵AC=DB,
　　∴DE=DB.
　　∵DF⊥BC,
　　∴BF=EF=BE=(BC+CE)=3.
　　∵DF=3,
　　∴BF=DF,EF=DF.
　　∴△BDF、△EDF都是等腰直角三角形.
　　∴∠BDF=45°,∠EDF=45°.
　　∴∠BDE=90°,DE⊥BD.
　　∵AC∥DE,
　　∴AC⊥BD.
　　例3 (2009年山东省泰安市中考题)如图,在直角梯形ABCD中,∠ABC=90°,AD∥BC,AB=BC,E是AB的中点,CE⊥BD.
　　(1)求证:BE=AD;
　　(2)求证:AC是线段ED的垂直平分线;
　　(3)△DBC是等腰三角形吗?并说明理由.
　　分析:(1)只需证明△EBC≌△DAB;(2)先证明AC是等腰△ADE的顶角∠DAE的平分线;(3)可以推出CD=CE=BD,则△DBC是等腰三角形.
　　解:(1)证明BE=AD如下:
　　∵∠ABC=90°,AD∥BC,
　　∴∠DAB=90°=∠EBC.
　　∵CE⊥BD,
　　∴∠ECB=90°-∠DBC=∠DBA.
　　∵AB=BC,
　　∴△EBC≌△DAB(SAS).
　　∴BE=AD.
　　(2)由E是AB的中点,得AE=BE=AD.
　　∴△ADE是等腰三角形.
　　∵∠ABC=90°,AB=BC,
　　∴∠BAC=45°.
　　∵∠EAC=45°=∠BAD,
　　∴AC平分∠DAE.
　　∴AC是等腰△ADE的顶角∠DAE的平分线.
　　∴AC是线段ED的垂直平分线.
　　(3)△DBC是等腰三角形,说理如下:
　　∵△EBC≌△DAB,
　　∴CE=BD.
　　∵AC是线段ED的垂直平分线,
　　∴CE=CD.
　　∴BD=CD,∴△DBC是等腰三角形.