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【摘要】计算教学重要的是关注两个基本元素：算理和算法，做到“理清法明”。教学时，教师指导学生经历数学化的学习过程，这一学习过程体现在两个方面：一是建立数学和生活之间的横向联系，二是建立数学知识之间的纵向联系。
【关键词】计算教学；数学化；学习过程
计算教学重要的是帮助学生明晰“算理”和掌握“算法”，一是为什么这样算？二是应该怎样算？那么，教学时，如何帮助学生达到“理清法明”呢？笔者认为，关键是指导学生经历数学化的学习过程，优化学生的认知结构，促进学生对算法的深刻理解。何为数学化？数学化是学习数学重要的一种方式，是数学地组织现实世界的过程。如何理解这一学习方式的本质呢？可从三个维度去分析和把握：一是学生从哪里开始学习数学？是现实世界，是学生自己的现实世界；二是学生经历怎样的一种学习过程呢？是一种数学化的学习过程，这一过程有两个方面：横向的和纵向的。换言之，不仅要建立数学和生活之间的横向联系，也要建立数学知识之间的纵向联系；三是指导学生通过怎样的方式进行数学化学习？指导学生通过“再创造”的方式进行数学化，也就是说，在数学化的学习活动中，指导学生“再创造”算理和算法。下面以人教版三年级下册《两位数乘两位数（不进位）笔算乘法》为例谈谈有关计算教学的体会。
一、学习过程
（一）数学活动一：理解算理
谈话导入：同学们喜欢看书吗？老师为我们的图书角新添了一批书，大家看！（出示主题图和信息）你知道了哪些数学信息？
生：知道了每套书有14本；王老师买了12套。问题问一共买了多少本？
（出示14个点子图）问：老师用点子图表示这两个数学信息，这个点子图你知道是什么意思吗？
生：14个点子表示一套书有14本。
师：有几个14？（1个14），继续出示12条点子图，问：一共有多少套书？
生：一共有12套。
师：有几个几？怎样列式？
生：有12个14，列式是：14×12=
师：这是几位数乘几位数？（板书：两位数乘两位数）我们学过了吗？（没有）我们学过两位数乘一位数的口算和笔算；学过两位数乘整十数的口算。这个算式“14×12=”与之前所学的有什么不同？那你会计算吗？把你的方法试着用点子图表示出来。
学生的方法有：
学生汇报：
生1：12套分成2个6套，先算6套的本数是84本，再算2个6套的本数是168本。
师小结：12套书分成两部分（6套书和6套书），先算6套书的本数，再把2个6套的本数合起来；两位数乘一位数，学过了吗？
全班：我们已经学过了。
生2：12套分成3个4套，先算4套的本数是56本，再算3个4套的本数是168本。
师：12套书分成三部分（4套书、4套书和4套书），先算4套书的本数，再把3个4套的本数合起来；这也是两位数乘一位数，我们已经学过了。
生3：12套分成10套和2套，先算10套的本数是140本，再算2套的本数是28本，再把10套书的本数和2套书的本数合起来是168本。
师：12套书分成两部分（10套书和2套书），先算10套書的本数和2套书的本数，再把10套书的本数和2套书的本数合起来；这10套书的本数是两位数乘整十数，你是怎么口算的？
生：14乘1个十是14个十，就是140。
师：再算2套书的本数是28，这也是两位数乘一位数，最后把两个积相加。
师：12分成2个6，3个4，10和2，这3种方法有什么共同点？
生：3种方法最后算到的结果都是168，都是用了“先分后合”的方法。
师：如果有13套书，可以分成几个几吗？
生：不能，那就把13分成10和3进行口算。
师：所以14×12常用的口算方法是把12分成10和2，也就是把第二个乘数分成整十数和一位数，先算两位数乘整十数的积，再算两位数乘一位数的积，最后把两个积相加。
（二）数学活动二：掌握算法
师问：“14×12”怎样用竖式计算？
（学生尝试独立计算，一位学生到黑板板书竖式）
师问：你是怎么想的？
生：把12分成10和2，先算14×2的积，表示2套数的本数。
师：你是怎么乘到的？
生：用个位上的数（2）去乘14，所得的积的末位数（8）与个位上的数（2）对齐。
师：接下来再算什么？
生：再算14×10的积，表示10套数的本数。
师：笔算14×10的积时，你是怎么乘到的？
生：用1个十去乘14，1个十乘4是4个十，就是40，写在十位；1个十乘10是10个十，就是100，写在百位。
师：你的描述很清晰，用十位上的数（1个10）去乘时，所得的积的末位数（4）与十位上的数对齐。
完成下面三道计算：
全班小结：两位数乘两位数的笔算方法是：用个位上的数去乘时，所得的积的末位数与个位上的数对齐；用十位上的数去乘时，所得的积的末位数与十位上的数对齐。
二、教学启示
（一）横向数学化：结合学生的现实理解算理
什么是横向数学化？荷兰数学教育家弗赖登塔尔认为，横向数学化是把生活的世界引向符号的世界，在横向数学化里经历的是现实。学生需要经历一个怎样的现实呢？这可从两个维度进行理解：一是学生自己的现实，而不是成人的现实。弗赖登塔尔指出：数学的根源是普遍常识，也就是说，让学生结合自己的现实主动去学习数学。这样，教学《两位数乘两位数（不进位）笔算乘法》时，准确分析和把握的学生现实就显得尤为重要。此前，学生已经学习了两位数乘一位数的口算、笔算和两位数乘整十数的口算，这就是学生自己的“现实”，那么，这就应该成为学生学习数学的逻辑起点。如，在计算14×12时，结合具体的现实情景，指导学生把14×12转化成（1）14×6=84，84×2=168；（2）14×4=56，56×3=168；（3）14×10=140，14×2=28，140 28=168；二是指导学生如何结合现实理解算理。教学时，创设“购买新书”的现实情境，学生尝试列式计算，并把计算方法试着用点子图表示出来。指导学生结合“12行14列”点子图的数学模型，通过分一分、圈一圈等操作活动，把12套书分成若干部分：一是分成2个6套，先算6套的本书是84本，再算2个6套的本数是168本；二是分成3个4套，先算4套的本书是56本，再算3个4套的本数是168本；三是分成10套和2套，先算10套的本书是140本，2套的本数是28本，再把10套书的本数和2套书的本数合起来是168本。总之，采用了“先分后合”的方法，把“12”分成“2个6”“3个4”和“10和2”等若干部分，分别算出每一部分的积，再把若干个积合起来，得出了14×12的计算结果。 （二）纵向数学化：基于抽象的数学知识之间的联系概括算法
什么是纵向数学化？荷兰数学教育家弗赖登塔尔认为，纵向的数学化是在符号的世界里，符号生成、重塑和被使用，纵向数学化是关于它的抽象化。那么，符号是怎样生成？怎样重塑？教学时，指导学生结合点子图的数学模型，把12套书分成10套和2套，14×2算出是两套书的本数是28本，这一步的计算，生成了竖式计算的第一步，用个位上的数2去乘14，所得的积的末位数8与个位上的数2对齐；接下来算14×10，算出是10套数的本数，这第二步的计算，和竖式的第二步（用十位上的数1个10去乘时，所得的积的末位数4与十位上的数对齐）互相呼应。这样就把横式和竖式联系起来，进而概括出两位数乘两位数（不进位）笔算乘法的算法是：用个位上的数去乘时，所得的积的末位数与个位上的数对齐；用十位上的数去乘时，所得的积的末位数与十位上的数对齐。教学时，指导学生联系两位数乘一位数笔算的算法：用个位上的数去乘时，所得的积的末位数与个位上的数对齐，在经历纵向数学化的学习过程中，生成了两位数乘两位数（不进位）笔算的算法：用十位上的数去乘时，所得的积的末位数与十位上的数对齐。这一纵向数学化的学习过程，建立了数学知识之间纵向的联结，构建了学生的认知结构，形成了数学逻辑认知体系。
（三）有指导的“再创造”：指导学生“再创造”算理和算法
弗赖登塔尔认为，数学的根源是常识，人们通过自己的实践，把这些常识通过反思，组织起来，不断地进行系统化（横向的和纵向的）。因此，他认为数学学习主要是进行“再创造”，或者是他经常提到的“数学化”。按照他的观点，这个“化”的过程必须是由学习者自己主动去完成的，而不是任何外界所强加的。教学中，教师如何指导学生“再创造”算理和算法呢？一是结合学生的生活经验“再创造”算理。利用点子图，设计分一分、圈一圈和说一说等数学学习活动，指导学生结合生活经验理解“先分后合”的道理。如，12套分成2个6套，先算6套的本数是84本；再把2个6套合起来的本数是168本；二是结合学生的数学知识“再创造”算法。此前，学生已经掌握了两位数乘一位数的算法：如，14×2，用2个一去乘4，是4个一，写在个位上，用2个一去乘10是2个十，写在十位上；据此，指导学生进行算法的迁移，用语言描述这一思考过程：14×10，用1个十去乘14，1个十乘4是4个十，就是40，寫在十位；1个十乘10是10个十，就是100，写在百位。在此基础上，再进一步指导学生抽象算法：用十位上的数去乘时，所得的积的末位数与十位上的数对齐。
参考文献：
[1][荷]弗赖登塔尔著，刘意竹，杨刚等译.数学教育再探—在中国的讲学[M].上海：上海教育出版社，1998.
[2][荷]弗赖登塔尔著，陈昌平，唐瑞芬等译.作为教育任务的数学[M].上海：上海教育出版社，1995.
【关键词】计算教学；数学化；学习过程
计算教学重要的是帮助学生明晰“算理”和掌握“算法”，一是为什么这样算？二是应该怎样算？那么，教学时，如何帮助学生达到“理清法明”呢？笔者认为，关键是指导学生经历数学化的学习过程，优化学生的认知结构，促进学生对算法的深刻理解。何为数学化？数学化是学习数学重要的一种方式，是数学地组织现实世界的过程。如何理解这一学习方式的本质呢？可从三个维度去分析和把握：一是学生从哪里开始学习数学？是现实世界，是学生自己的现实世界；二是学生经历怎样的一种学习过程呢？是一种数学化的学习过程，这一过程有两个方面：横向的和纵向的。换言之，不仅要建立数学和生活之间的横向联系，也要建立数学知识之间的纵向联系；三是指导学生通过怎样的方式进行数学化学习？指导学生通过“再创造”的方式进行数学化，也就是说，在数学化的学习活动中，指导学生“再创造”算理和算法。下面以人教版三年级下册《两位数乘两位数（不进位）笔算乘法》为例谈谈有关计算教学的体会。
一、学习过程
（一）数学活动一：理解算理
谈话导入：同学们喜欢看书吗？老师为我们的图书角新添了一批书，大家看！（出示主题图和信息）你知道了哪些数学信息？
生：知道了每套书有14本；王老师买了12套。问题问一共买了多少本？
（出示14个点子图）问：老师用点子图表示这两个数学信息，这个点子图你知道是什么意思吗？
生：14个点子表示一套书有14本。
师：有几个14？（1个14），继续出示12条点子图，问：一共有多少套书？
生：一共有12套。
师：有几个几？怎样列式？
生：有12个14，列式是：14×12=
师：这是几位数乘几位数？（板书：两位数乘两位数）我们学过了吗？（没有）我们学过两位数乘一位数的口算和笔算；学过两位数乘整十数的口算。这个算式“14×12=”与之前所学的有什么不同？那你会计算吗？把你的方法试着用点子图表示出来。
学生的方法有：
学生汇报：
生1：12套分成2个6套，先算6套的本数是84本，再算2个6套的本数是168本。
师小结：12套书分成两部分（6套书和6套书），先算6套书的本数，再把2个6套的本数合起来；两位数乘一位数，学过了吗？
全班：我们已经学过了。
生2：12套分成3个4套，先算4套的本数是56本，再算3个4套的本数是168本。
师：12套书分成三部分（4套书、4套书和4套书），先算4套书的本数，再把3个4套的本数合起来；这也是两位数乘一位数，我们已经学过了。
生3：12套分成10套和2套，先算10套的本数是140本，再算2套的本数是28本，再把10套书的本数和2套书的本数合起来是168本。
师：12套书分成两部分（10套书和2套书），先算10套書的本数和2套书的本数，再把10套书的本数和2套书的本数合起来；这10套书的本数是两位数乘整十数，你是怎么口算的？
生：14乘1个十是14个十，就是140。
师：再算2套书的本数是28，这也是两位数乘一位数，最后把两个积相加。
师：12分成2个6，3个4，10和2，这3种方法有什么共同点？
生：3种方法最后算到的结果都是168，都是用了“先分后合”的方法。
师：如果有13套书，可以分成几个几吗？
生：不能，那就把13分成10和3进行口算。
师：所以14×12常用的口算方法是把12分成10和2，也就是把第二个乘数分成整十数和一位数，先算两位数乘整十数的积，再算两位数乘一位数的积，最后把两个积相加。
（二）数学活动二：掌握算法
师问：“14×12”怎样用竖式计算？
（学生尝试独立计算，一位学生到黑板板书竖式）
师问：你是怎么想的？
生：把12分成10和2，先算14×2的积，表示2套数的本数。
师：你是怎么乘到的？
生：用个位上的数（2）去乘14，所得的积的末位数（8）与个位上的数（2）对齐。
师：接下来再算什么？
生：再算14×10的积，表示10套数的本数。
师：笔算14×10的积时，你是怎么乘到的？
生：用1个十去乘14，1个十乘4是4个十，就是40，写在十位；1个十乘10是10个十，就是100，写在百位。
师：你的描述很清晰，用十位上的数（1个10）去乘时，所得的积的末位数（4）与十位上的数对齐。
完成下面三道计算：
全班小结：两位数乘两位数的笔算方法是：用个位上的数去乘时，所得的积的末位数与个位上的数对齐；用十位上的数去乘时，所得的积的末位数与十位上的数对齐。
二、教学启示
（一）横向数学化：结合学生的现实理解算理
什么是横向数学化？荷兰数学教育家弗赖登塔尔认为，横向数学化是把生活的世界引向符号的世界，在横向数学化里经历的是现实。学生需要经历一个怎样的现实呢？这可从两个维度进行理解：一是学生自己的现实，而不是成人的现实。弗赖登塔尔指出：数学的根源是普遍常识，也就是说，让学生结合自己的现实主动去学习数学。这样，教学《两位数乘两位数（不进位）笔算乘法》时，准确分析和把握的学生现实就显得尤为重要。此前，学生已经学习了两位数乘一位数的口算、笔算和两位数乘整十数的口算，这就是学生自己的“现实”，那么，这就应该成为学生学习数学的逻辑起点。如，在计算14×12时，结合具体的现实情景，指导学生把14×12转化成（1）14×6=84，84×2=168；（2）14×4=56，56×3=168；（3）14×10=140，14×2=28，140 28=168；二是指导学生如何结合现实理解算理。教学时，创设“购买新书”的现实情境，学生尝试列式计算，并把计算方法试着用点子图表示出来。指导学生结合“12行14列”点子图的数学模型，通过分一分、圈一圈等操作活动，把12套书分成若干部分：一是分成2个6套，先算6套的本书是84本，再算2个6套的本数是168本；二是分成3个4套，先算4套的本书是56本，再算3个4套的本数是168本；三是分成10套和2套，先算10套的本书是140本，2套的本数是28本，再把10套书的本数和2套书的本数合起来是168本。总之，采用了“先分后合”的方法，把“12”分成“2个6”“3个4”和“10和2”等若干部分，分别算出每一部分的积，再把若干个积合起来，得出了14×12的计算结果。 （二）纵向数学化：基于抽象的数学知识之间的联系概括算法
什么是纵向数学化？荷兰数学教育家弗赖登塔尔认为，纵向的数学化是在符号的世界里，符号生成、重塑和被使用，纵向数学化是关于它的抽象化。那么，符号是怎样生成？怎样重塑？教学时，指导学生结合点子图的数学模型，把12套书分成10套和2套，14×2算出是两套书的本数是28本，这一步的计算，生成了竖式计算的第一步，用个位上的数2去乘14，所得的积的末位数8与个位上的数2对齐；接下来算14×10，算出是10套数的本数，这第二步的计算，和竖式的第二步（用十位上的数1个10去乘时，所得的积的末位数4与十位上的数对齐）互相呼应。这样就把横式和竖式联系起来，进而概括出两位数乘两位数（不进位）笔算乘法的算法是：用个位上的数去乘时，所得的积的末位数与个位上的数对齐；用十位上的数去乘时，所得的积的末位数与十位上的数对齐。教学时，指导学生联系两位数乘一位数笔算的算法：用个位上的数去乘时，所得的积的末位数与个位上的数对齐，在经历纵向数学化的学习过程中，生成了两位数乘两位数（不进位）笔算的算法：用十位上的数去乘时，所得的积的末位数与十位上的数对齐。这一纵向数学化的学习过程，建立了数学知识之间纵向的联结，构建了学生的认知结构，形成了数学逻辑认知体系。
（三）有指导的“再创造”：指导学生“再创造”算理和算法
弗赖登塔尔认为，数学的根源是常识，人们通过自己的实践，把这些常识通过反思，组织起来，不断地进行系统化（横向的和纵向的）。因此，他认为数学学习主要是进行“再创造”，或者是他经常提到的“数学化”。按照他的观点，这个“化”的过程必须是由学习者自己主动去完成的，而不是任何外界所强加的。教学中，教师如何指导学生“再创造”算理和算法呢？一是结合学生的生活经验“再创造”算理。利用点子图，设计分一分、圈一圈和说一说等数学学习活动，指导学生结合生活经验理解“先分后合”的道理。如，12套分成2个6套，先算6套的本数是84本；再把2个6套合起来的本数是168本；二是结合学生的数学知识“再创造”算法。此前，学生已经掌握了两位数乘一位数的算法：如，14×2，用2个一去乘4，是4个一，写在个位上，用2个一去乘10是2个十，写在十位上；据此，指导学生进行算法的迁移，用语言描述这一思考过程：14×10，用1个十去乘14，1个十乘4是4个十，就是40，寫在十位；1个十乘10是10个十，就是100，写在百位。在此基础上，再进一步指导学生抽象算法：用十位上的数去乘时，所得的积的末位数与十位上的数对齐。
参考文献：
[1][荷]弗赖登塔尔著，刘意竹，杨刚等译.数学教育再探—在中国的讲学[M].上海：上海教育出版社，1998.
[2][荷]弗赖登塔尔著，陈昌平，唐瑞芬等译.作为教育任务的数学[M].上海：上海教育出版社，1995.