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一、小学数学中的估算问题
小学数学中加、减、乘、除的估算主要包括估值和区间估计两种形式。区间估计又包括估上限和估下限两种不同的形式。
1.估值。估值是指估计和、差、积、商大约是多少。
如课程标准实验教材人教版数学三年级上册第18页例2：
这道题是估计“和”大约是多少。主要解法有：
解法一：把376看成300，把284看成200，300+200=500。学生回答为爬行类和两栖类大约有500种或回答为爬行类和两栖类合起来肯定比500种多。
解法二：把376看成350，把284看成300，350+300=650。学生回答为爬行类和两栖类大约有650种。
解法三：把376看成400，把284看成300，400+300=700。学生回答为爬行类和两栖类大约有700种或回答为爬行类和两栖类合起来比700种少一些。
这样该道题对和的估计大约在500~700之间。
由此，我们可以看出：
（1）在计算教学中引入估算，符合《数学课程标准（实验稿）》提倡的“算法多样化”的要求，可以有效地引导学生独立思考，发扬各自的聪明才智，提出不同的解题思路。
（2）在小学“估值”教学中，由于没有精确度的要求，主要看估值的方法是否正确。因此，上题在方法正确的前提下，学生对376加284的和估值在500~700之间，可以认为估算正确。
（3）由于学生认识水平的限制，在估算中有较大的差异是正常现象。但教师要引导学生逐步缩小“估值”与“精确值”之间的差距，即由相差较多向相差较少转变。在上题中，可以让学生通过笔算精确地计算出376+284=660，再比一比谁的“估值”与“精确值”相差比较少，说一说是怎样估算的？
（4）估算通常是把需要笔算的数学问题通过取整（也可能是特殊值的计算）转化为口算来解答，而学生口算的能力有强有弱，有的学生直接口算出准确值，还能叫估算吗？这也是教学中应注意的问题。
通常，估算的结果只能与精确值相近似。对于估算问题不能单纯看结果，还要看过程。只要估算的方法合理，得出的结果是精确值也应给予肯定。
（5）在估值时，有的学生也可能体现出“区间套”思想，直接说出比谁大，比谁小，这是正确的。但这种区间估计的思想对小学生来说比较困难，不要硬性要求。
（6）对于估算问题，各套教材选用的数值通常是接近整十、整百的数，以降低估算的难度。但不能说只有接近整十、整百的数才能估算，应该说在小学阶段，凡不能直接口算的四则式题都可以估算。
在“估值”教学中，教师还可以适当引入一些超出小学笔算要求，但可以进行估算的问题，以提高学生对估算的认识。如：
下面长方形的面积大约是多少平方米？
这是一道用小数乘法，求长方形面积的计算题。12.58乘9.45相当于求四位数乘三位数的积，这已经超过了小学数学笔算的要求，但可以引导学生采用估算的方法求出积的近似值，解决一些没有学过的计算问题。
解法一：把12.58米看成是12米，9.45米看成是10米，12×10=120（平方米）。长方形的面积大约是120平方米。
解法二：把12.58米看成是13米，9.45米看成是9米，13×9=117（平方米）。长方形的面积大约是117平方米。
在加法和乘法的估值中，有时需要采用一大一小的方法，即一个加数（或因数）往大估，另一个加数（或因数）就要往小估，这样和（或积）的估值与精确值比较接近。而在减法和除法的估算中，有时需要采用同大、同小的方法，即被减数（或被除数）往大估，减数（或除数）也同时往大估，这样差（或商）的估值与精确值比较接近。
2.区间估计。数值的区间估计包括估上限和估下限两种不同的情况。估上限指估算的结果比给定的数值要小，或者等于给定的值。估下限指估算的结果比给定的数值要大，或者等于给定的值。
加法或乘法估上限的问题，通常把给定的数据往上估一估，口算出和或积。如果这个和或积比给定的数值小，或者等于给定的数值，则说明原来的和或积也比给定的数值小，或等于给定的数值。用数学方法表示是：
如果a≤b,c≤d，并且b+d≤N，那么a+c≤N。
如果a≤b,c≤d，并且b×d≤N，那么a×c≤N。
加法或乘法估下限的问题，通常把给定的数据往下估一估，口算出和或积。如果这个和或积比给定的数值大，或者等于给定的数值，则说明原来的和或积也比给定的数值大，或等于给定的数值。用数学方法表示是：
如果a≥b,c≥d，并且b+d≥N，那么a+c≥N。
如果a≥b,c≥d，并且b×d≥N，那么a×c≥N。
如，估计一下带800元钱买一套桌椅够不够。
如果采用估上限的方法：
（1）把478看成500元，把259元看成300元，500+300=800（元），因此，带800元够用。
（2）把478元看成500元，800-500=300（元）。这样剩下的300元比259元多，所以带800元够用。
用估下限的方法：
（1）把478元看成450元，把259元看成250元，450+250=700（元），因此带800元够用。
（2）把478元看成450元，800-450=350（元）。这样剩下的350元比259元多，所以带800元够用。
这两种估算方法，如果不继续做进一步说明的话，虽然结论是正确的，但估算的方法是错误的。当估上限时，可能是本来800元够买一套桌椅，现在便宜了当然还够（这种估算没有实际意义）。当估下限时可能是原来钱不够买一套桌椅（假如只带700元钱），但把桌子和椅子的价钱看得少一些就够了，这并不能说明原来带的钱也够（估算误差过大造成错误）。因此，一般来说教师可引导学生先想一想，478加上259的和比谁多，比谁少，再回答是否够用。即400元加上200元是600元；78元加上59元比200元少，比100元多。所以478加上259比700元多，比800元少，由此得到带800元够用。
小学生由于受生活经验不足的限制，四则运算的区间估计要比单纯的估值困难得多。在成人看起来很简单的问题，对小学生却很困难，并且区间估计所涉及的逻辑关系也是小学生不容易掌握的，学生很难区分什么是正确的估算，什么是错误的估算。因此，教学时要注意以下几点。
（1）要把估算作为解决此类问题的方法之一。解决此类问题可以估算，也可以采用口算和笔算的方法。
如，课程标准实验教材北师大版数学二年级下册第76页第4题：
这道题采用口算、估算和笔算都可以解决，就不必限用估算的方法。
（2）当出现估算错误时，教师只要通过实际例子让学生认识到这样估算是错误的，就可以了。
如下题：云岭小学组织学生97人看电影，请你算一算带800元钱买电影票够不够。
在实际教学时，虽然三年级上学期学生没有学过两位数乘法，但有学生却这样估算：把电影票8元一张，看成10元一张。97人看电影就需要970元。所以带800元不够。
碰到这种情况，教师首先要让学生充分发表意见，展开讨论，然后教师可以指出：把8元一张的电影票看成10元，每张票多算了2元，97张就多算了将近200元，所以带800就不够了。教师要明确告诉学生：在一位数乘法的估算中，通常是一位数不变，多位数取整，再口算。
（3）是否估算正确，既要考虑估算的过程，也要考虑估算的结果，还要注意减少估算可能造成的误差，也可以引导学生通过笔算来检验估算结果的正确性。
二、估算与口算、笔算有机结合
《数学课程标准（实验稿）》指出：“应重视口算，加强估算，鼓励算法多样化。”同时要求学生“能结合具体情境进行估算，并解释估算的过程”以及“在解决具体问题的过程中，能选择合适的估算方法，养成估算的习惯。”在第一学段“数与代数”的八个案例中，与估算有关的案例就有六个。在第二学段“数与代数”的十个案例中，与估算有关的案例就有五个。这些案例涉及对大数和时间的估计，还涉及对整数、小数和分数加、减、乘、除的估算。另外，在“空间与图形”、“统计与概率”中也有一些估算的要求。
估算是思维价值比较高、学生掌握起来有一定困难、在实际生活中应用十分广泛的一种计算形式。要使学生养成良好的估算习惯，就必须把估算思想融汇到小学数学教育的全过程之中。
1.估算与口算相结合。把估算与口算相结合，就要在口算的基础上，适时地进行估算的基础训练。
如课程标准实验教材人教版数学四年级上册第78~79页。
在口算的基础上安排估算训练，还可以扩展到整数、小数或分数的口算教学中，这样做有利于分散估算教学难点，增强学生估算的意识，养成良好的估算习惯，为解决具体问题，选择合适的估算方法做好准备。
在口算的基础上安排估算训练，还要在一定量练习的基础上，引导学生概括出估算的一些基本方法。
如三位数加、减三位数的估算，通常要把两个三位数转化为可以口算的整十数或整百数；一位数乘三位数的估算，通常一位数不变，把三位数转化为整十数或整百数，然后再口算；一位数除三位数的估算，通常除数不变，把被除数转化为能被除数整除的整十数或整百数，然后再口算……
2.估算与笔算相结合。把估算与笔算相结合，已经成为各套课标教材普通采用的编写形式。
如下题：
在教学实践中，这种编排形式已经为一线教师所接受，收到良好的教学效果。主要体现在：
（1）估算渗透了“区间套”思想。在这道题中，指出了商所在的区间，明确了商是几位数，得出商的首位数字是几。
（2）四则式题的估算还可以作为笔算的一种检验方法。例如估算是正确的，但笔算的结果在估算的区间之外，那么笔算一定是错误的；如果笔算的结果在估算的区间之内，则说明笔算可能是正确的。反过来，正确的笔算结果也可以作为检验估算合理性和近似程度的重要方法。
（3）把估算与笔算相结合，有利于活跃课堂教学气氛，激发学生学习的积极性。个性化的教育，使我们的学生能够虚心学习、认真思考，提出独到的见解。
在估算教学中，应尊重每一个学生，允许不同的学生从不同的角度理解估算问题，鼓励解决问题策略的多样化。同时引导学生交流讨论，增强学生的估算意识，不断提高学生的估算能力。
作者单位 北京教育学院丰台学院
◇责任编辑：曹文◇
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小学数学中加、减、乘、除的估算主要包括估值和区间估计两种形式。区间估计又包括估上限和估下限两种不同的形式。
1.估值。估值是指估计和、差、积、商大约是多少。
如课程标准实验教材人教版数学三年级上册第18页例2：
这道题是估计“和”大约是多少。主要解法有：
解法一：把376看成300，把284看成200，300+200=500。学生回答为爬行类和两栖类大约有500种或回答为爬行类和两栖类合起来肯定比500种多。
解法二：把376看成350，把284看成300，350+300=650。学生回答为爬行类和两栖类大约有650种。
解法三：把376看成400，把284看成300，400+300=700。学生回答为爬行类和两栖类大约有700种或回答为爬行类和两栖类合起来比700种少一些。
这样该道题对和的估计大约在500~700之间。
由此，我们可以看出：
（1）在计算教学中引入估算，符合《数学课程标准（实验稿）》提倡的“算法多样化”的要求，可以有效地引导学生独立思考，发扬各自的聪明才智，提出不同的解题思路。
（2）在小学“估值”教学中，由于没有精确度的要求，主要看估值的方法是否正确。因此，上题在方法正确的前提下，学生对376加284的和估值在500~700之间，可以认为估算正确。
（3）由于学生认识水平的限制，在估算中有较大的差异是正常现象。但教师要引导学生逐步缩小“估值”与“精确值”之间的差距，即由相差较多向相差较少转变。在上题中，可以让学生通过笔算精确地计算出376+284=660，再比一比谁的“估值”与“精确值”相差比较少，说一说是怎样估算的？
（4）估算通常是把需要笔算的数学问题通过取整（也可能是特殊值的计算）转化为口算来解答，而学生口算的能力有强有弱，有的学生直接口算出准确值，还能叫估算吗？这也是教学中应注意的问题。
通常，估算的结果只能与精确值相近似。对于估算问题不能单纯看结果，还要看过程。只要估算的方法合理，得出的结果是精确值也应给予肯定。
（5）在估值时，有的学生也可能体现出“区间套”思想，直接说出比谁大，比谁小，这是正确的。但这种区间估计的思想对小学生来说比较困难，不要硬性要求。
（6）对于估算问题，各套教材选用的数值通常是接近整十、整百的数，以降低估算的难度。但不能说只有接近整十、整百的数才能估算，应该说在小学阶段，凡不能直接口算的四则式题都可以估算。
在“估值”教学中，教师还可以适当引入一些超出小学笔算要求，但可以进行估算的问题，以提高学生对估算的认识。如：
下面长方形的面积大约是多少平方米？
这是一道用小数乘法，求长方形面积的计算题。12.58乘9.45相当于求四位数乘三位数的积，这已经超过了小学数学笔算的要求，但可以引导学生采用估算的方法求出积的近似值，解决一些没有学过的计算问题。
解法一：把12.58米看成是12米，9.45米看成是10米，12×10=120（平方米）。长方形的面积大约是120平方米。
解法二：把12.58米看成是13米，9.45米看成是9米，13×9=117（平方米）。长方形的面积大约是117平方米。
在加法和乘法的估值中，有时需要采用一大一小的方法，即一个加数（或因数）往大估，另一个加数（或因数）就要往小估，这样和（或积）的估值与精确值比较接近。而在减法和除法的估算中，有时需要采用同大、同小的方法，即被减数（或被除数）往大估，减数（或除数）也同时往大估，这样差（或商）的估值与精确值比较接近。
2.区间估计。数值的区间估计包括估上限和估下限两种不同的情况。估上限指估算的结果比给定的数值要小，或者等于给定的值。估下限指估算的结果比给定的数值要大，或者等于给定的值。
加法或乘法估上限的问题，通常把给定的数据往上估一估，口算出和或积。如果这个和或积比给定的数值小，或者等于给定的数值，则说明原来的和或积也比给定的数值小，或等于给定的数值。用数学方法表示是：
如果a≤b,c≤d，并且b+d≤N，那么a+c≤N。
如果a≤b,c≤d，并且b×d≤N，那么a×c≤N。
加法或乘法估下限的问题，通常把给定的数据往下估一估，口算出和或积。如果这个和或积比给定的数值大，或者等于给定的数值，则说明原来的和或积也比给定的数值大，或等于给定的数值。用数学方法表示是：
如果a≥b,c≥d，并且b+d≥N，那么a+c≥N。
如果a≥b,c≥d，并且b×d≥N，那么a×c≥N。
如，估计一下带800元钱买一套桌椅够不够。
如果采用估上限的方法：
（1）把478看成500元，把259元看成300元，500+300=800（元），因此，带800元够用。
（2）把478元看成500元，800-500=300（元）。这样剩下的300元比259元多，所以带800元够用。
用估下限的方法：
（1）把478元看成450元，把259元看成250元，450+250=700（元），因此带800元够用。
（2）把478元看成450元，800-450=350（元）。这样剩下的350元比259元多，所以带800元够用。
这两种估算方法，如果不继续做进一步说明的话，虽然结论是正确的，但估算的方法是错误的。当估上限时，可能是本来800元够买一套桌椅，现在便宜了当然还够（这种估算没有实际意义）。当估下限时可能是原来钱不够买一套桌椅（假如只带700元钱），但把桌子和椅子的价钱看得少一些就够了，这并不能说明原来带的钱也够（估算误差过大造成错误）。因此，一般来说教师可引导学生先想一想，478加上259的和比谁多，比谁少，再回答是否够用。即400元加上200元是600元；78元加上59元比200元少，比100元多。所以478加上259比700元多，比800元少，由此得到带800元够用。
小学生由于受生活经验不足的限制，四则运算的区间估计要比单纯的估值困难得多。在成人看起来很简单的问题，对小学生却很困难，并且区间估计所涉及的逻辑关系也是小学生不容易掌握的，学生很难区分什么是正确的估算，什么是错误的估算。因此，教学时要注意以下几点。
（1）要把估算作为解决此类问题的方法之一。解决此类问题可以估算，也可以采用口算和笔算的方法。
如，课程标准实验教材北师大版数学二年级下册第76页第4题：
这道题采用口算、估算和笔算都可以解决，就不必限用估算的方法。
（2）当出现估算错误时，教师只要通过实际例子让学生认识到这样估算是错误的，就可以了。
如下题：云岭小学组织学生97人看电影，请你算一算带800元钱买电影票够不够。
在实际教学时，虽然三年级上学期学生没有学过两位数乘法，但有学生却这样估算：把电影票8元一张，看成10元一张。97人看电影就需要970元。所以带800元不够。
碰到这种情况，教师首先要让学生充分发表意见，展开讨论，然后教师可以指出：把8元一张的电影票看成10元，每张票多算了2元，97张就多算了将近200元，所以带800就不够了。教师要明确告诉学生：在一位数乘法的估算中，通常是一位数不变，多位数取整，再口算。
（3）是否估算正确，既要考虑估算的过程，也要考虑估算的结果，还要注意减少估算可能造成的误差，也可以引导学生通过笔算来检验估算结果的正确性。
二、估算与口算、笔算有机结合
《数学课程标准（实验稿）》指出：“应重视口算，加强估算，鼓励算法多样化。”同时要求学生“能结合具体情境进行估算，并解释估算的过程”以及“在解决具体问题的过程中，能选择合适的估算方法，养成估算的习惯。”在第一学段“数与代数”的八个案例中，与估算有关的案例就有六个。在第二学段“数与代数”的十个案例中，与估算有关的案例就有五个。这些案例涉及对大数和时间的估计，还涉及对整数、小数和分数加、减、乘、除的估算。另外，在“空间与图形”、“统计与概率”中也有一些估算的要求。
估算是思维价值比较高、学生掌握起来有一定困难、在实际生活中应用十分广泛的一种计算形式。要使学生养成良好的估算习惯，就必须把估算思想融汇到小学数学教育的全过程之中。
1.估算与口算相结合。把估算与口算相结合，就要在口算的基础上，适时地进行估算的基础训练。
如课程标准实验教材人教版数学四年级上册第78~79页。
在口算的基础上安排估算训练，还可以扩展到整数、小数或分数的口算教学中，这样做有利于分散估算教学难点，增强学生估算的意识，养成良好的估算习惯，为解决具体问题，选择合适的估算方法做好准备。
在口算的基础上安排估算训练，还要在一定量练习的基础上，引导学生概括出估算的一些基本方法。
如三位数加、减三位数的估算，通常要把两个三位数转化为可以口算的整十数或整百数；一位数乘三位数的估算，通常一位数不变，把三位数转化为整十数或整百数，然后再口算；一位数除三位数的估算，通常除数不变，把被除数转化为能被除数整除的整十数或整百数，然后再口算……
2.估算与笔算相结合。把估算与笔算相结合，已经成为各套课标教材普通采用的编写形式。
如下题：
在教学实践中，这种编排形式已经为一线教师所接受，收到良好的教学效果。主要体现在：
（1）估算渗透了“区间套”思想。在这道题中，指出了商所在的区间，明确了商是几位数，得出商的首位数字是几。
（2）四则式题的估算还可以作为笔算的一种检验方法。例如估算是正确的，但笔算的结果在估算的区间之外，那么笔算一定是错误的；如果笔算的结果在估算的区间之内，则说明笔算可能是正确的。反过来，正确的笔算结果也可以作为检验估算合理性和近似程度的重要方法。
（3）把估算与笔算相结合，有利于活跃课堂教学气氛，激发学生学习的积极性。个性化的教育，使我们的学生能够虚心学习、认真思考，提出独到的见解。
在估算教学中，应尊重每一个学生，允许不同的学生从不同的角度理解估算问题，鼓励解决问题策略的多样化。同时引导学生交流讨论，增强学生的估算意识，不断提高学生的估算能力。
作者单位 北京教育学院丰台学院
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