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在一次以计算为主题的教研活动中，教师刚上完“两位数乘两位数——笔算乘法”，为检测效果，当场发下A、B两份测试卷各52份，共收回104份。（A、B测试卷见图1和图2）A问卷学生答题正确率约96%;而问卷B正确率却只有47%。
从问卷的结果可了解学生的学情盲区。其一，不知“算理”为何物。在计算过程中，学生只知道怎样将算式算对，而对于算理的理解却少人能清楚知道。调查问卷B中的第①题为例，学生知道如何列出竖式计算（过程），却不知道每一个步骤背后的含义。41的1是进位的1，这个1应该表示10，而不是简单的“1”，学生只看表面，却不知内含的算理为何物。其二，不懂“算理”有何用。（见图3）多数学生（甚至部分教师）都认为计算只要会算就行了，算理根本用不上，故此不用理会。殊不知这种没有算理只有算法的计算往往只是停留于表面，只知其一，不知其二，使得计算的学习变得肤浅。当遇到真正要用到算理去解决问题时，比如，B问卷中的第③题，很多学生便难以将题目情景与式子每一步有效结合。
到底师生的“病根”何在？笔者认为，从数据中至少暴露出以下三大“病因”：第一，教学理念没及时更新。因只关注算法和题量的训练，却忽视算理的理解与理法的结合。而中段小学生由于理解和认知能力有限，最终导致“知其然而不知其所以然”的现象屡见不鲜。第二，急功近利，忽略算理。学生到了中段，随着计算步骤增加，往往只重视算法的掌握，然后机械重复地训练，忽视了每步计算步骤背后的含义和对算理的深入理解，从而造成对知识一知半解。第三，形式单一，思维狭窄。平时计算练习往往是以“口算 笔算”的形式来检测学生计算能力，导致计算教学只注重计算技能形成，而不关注计算素养的提高，久而久之造成学生思维狭窄，学生运算思维降低。
笔者针对上述问题，借助“几何直观”为药引，以“理根络”“定起点”“凸本质”为三贴“处方诊治”，效果明显，仅供一线教师商榷。
一、对比教材，理清“根络”
（一）对比教学内容，寻找两位数乘两位数的“络”
在实验版教材一般按“口算——估算——笔算”的顺序编排，把解决问题与计算整合在一起，目的是培养学生能运用所学知识解决生活中的问题，但在实施过程中教师却很难把握结合的“度”，容易忽略算理的教学，反而造成学生运算能力降低。而新教材则调整为“口算——笔算——解决问题”，把估算穿插在解决问题中。计算和解决问题分开，教师在教学中容易找到侧重点。同时，将实验版“口算乘法”换成“两位数、几百几十乘一位数”和“两位数乘整十数”，这样编排更利于学生在探究笔算乘法时想到“拆分法”。
（二）对比呈现方式，突显两位数乘两位数的“根”
“两位数乘两位数”这一单元，无论是实验教材还是新教材都非常注重让学生经历知识的形成过程，掌握计算的方法。但同时新教材在教学目标上增加了“借助几何直观理解算理”。而在教学内容的呈现方式上，更注重利用圖形表征、实物表征来帮助学生理解算理。显然，编者用意是想突出几何直观的作用。在“两位数乘两位数”这节课中借助点子图与算式一一对应，放手让学生去探究算法，引导学生亲历乘法竖式的建模过程，这样给抽象的算理赋予了形象，有利于学生理解算理，也使学生逐步学会借助几何直观解决问题、表达交流，提升数学思维水平。而实验版教材虽有“拆分法”的呈现，却少了“点子图”的辅助，造成算理教学的缺失。
二、透析学情，定准“起点”
“新课标”明确指出，“数学活动必须建立在学生认知发展水平和已有知识经验基础上。”为了进一步分析几何直观在“两位数乘两位数”中发挥的作用，充分了解学生学情和教材实际，笔者对三年级某班（50名学生）进行前测。题目如下：14×12，请用你喜欢的方法进行计算。调查结果如（表1）。通过前测结果的统计发现学生的主要问题：有12名学生用竖式计算，其中有5位学生出现以下错误（图4）。
从能正确列出竖式的学生访问中得知，他们是通过预习或父母教而能正确列出的。学生对笔算方法只知道如何书写，但问及每一步是怎么算出来，学生们不会表达。特别是对如何书写第二步乘积的结果感到困惑，他们的方法只是停留在机械记忆层面上。另外，36名学生用了拆分法，其中“把一个乘数拆分成整十数与一位数”的人数居多。这显然是受到上节课“口算乘法”知识迁移的影响，而恰恰这种方法与竖式计算有着密切联系。学生掌握了这种拆分法能很好贯穿前后知识的内在联系，帮助学生更好地理解笔算乘法的算理。另外也有个别学生出现以下错误（图5）。
通过以上的调查与分析，发现学生对两位数乘两位数的知识并非一片空白，大部分学生能利用已有的知识及经验解决，只是在拆分的过程与竖式计算联系较困难。因此，本课的关键应在于教师根据学生的已有知识与经验，借助有效的直观手段，帮助学生经历算法的抽象建构过程，充分理解算理，进而有效掌握算法，为运算能力的提高奠定扎实的基础。而几何直观就是学生从具体向抽象过渡的重要“脚手架”。故此，要给学生搭建充分的动手操作、合作交流的平台，提高学生的运算能力和思维深度。
三、践行研究，凸显“本质”
笔者将教学拟定为体现学生思维所要经历形成的四步曲：“以形想式”——“以形明理”——“以形懂法”——“用形转化”。巧用几何直观，让学生经历计算过程，揭示算理的本质，感悟算法的实质。
（一）以形想式，初感竖式模型
创设教学情境，激发学生强烈的探索欲望，为进一步理解算理。
层次一：
（出示问题（图6））
师：谁能解决这个问题？
追问：这个算式表示什么意思？
生：表示12个14的和是多少。
师：结果是几？（学生表示不知道）
师：看来口算有点难度，我们还可以用什么方法？（生一下就想到用竖式计算） 师：请同学们试着用竖式算一算？展示学生的作品。（图7）
师：到底谁对呢？（学生各有各的想法）今天让我们一起来研究“两位数乘两位数”。
“新课标”指出：教师应以学生的认知发展水平和已有经验为基础，面向全体，实行启发式教学，而学生获得知识，必须建立在自己思考的基础上。学生在原有知识起点上自主探索，有助于运算能力、推理能力、抽象能力的发展，这些均是极重要的数学素养。笔者对教材作了二度开发：创设在方格纸上写字的情境，这样学生更易找到乘法几何模型的支撑，有利于情境与点子图保持一致，促使学生在问题驱动下搭建用点子图寻找结果的思维平台。紧接着，教师大胆放手，让学生独立尝试，即使有个别表征是错的，但其思维活动已是有价值了。这样在对比、辩析、交流中，学生对笔算乘法有更深刻的理解，也有助于获得学生真实反馈，增进对学情的把握。
（二）以形明理，揭示算理本质
基于对“运算能力”核心概念的理解和对新课标的解读，在数的运算教学中，应当做到“法理平衡”，教学中可运用直观的表征引起学生对算理的关注与探究。特别是中低年段，更要依据学生认知水平和生活经验，借助一些直观的素材，把数的运算过程直观呈现出来，这为学生理解算理、掌握算法提供感性基础，教师更清晰学生的思维过程。
层次二：
师（故意）：老师有个方法一定能知道答案，就是抄一行14个字，一行一行地抄，抄完12行再数一数一共有几个字，你认为这种方法怎么样？
生：太麻烦了！
师：有什么好方法能代替这个笨方法？
生：可以用磁铁代表一个字，一行一行地贴，再数一数。
师：有智慧！老师准备了一条有14个点，代表14个字（课件出示一行点子图），你们要几行？（12行），不喜欢老师准备的也可以自己画图。
小组活动，汇报交流。（学生作品如图8）
师：把新知识转化成我们学过的知识，是个不错的方法。在你的方法上，我看懂了第二种，第二位同学把12平均分成了2份进行计算。那第三种怎么不平均分了？
小结：刚才这些方法有哪些相同的地方？对，都是把“新问题”转化成“旧知识”来解决，这种思想方法在数学上叫做转化思想。
笔者在这节课上没有将“会写竖式”作为终极目标，而是在学生初步掌握竖式计算的基础上，及时提供点子图作为研究素材，有意让学生的思维在点子图上留下深刻足迹，使学生丰富的探索成果得以证实。在这过程中，教师给学生创设机会，让学生自动想到借点子图探索计算方法。学生经历用图示表征解释算法这一过程，有效沟通图形表征、算式表征与计算方法三者之间的内在联系，有效培养学生的发散思维，同时形成乘法竖式算法背后的算理所在。
（三）以形懂法，感悟算法實质
算理算法的相互融合，丰富算理和算法之间的联系，促进计算能力的提升。
层次三：
出示竖式，28、14、168是怎么算出来的？每个数表示什么意思？请拿出学习单，在小组内研究，并在图上圈一圈，指一指。
（小组上台汇报）
师：28怎么算出来的？能圈起来吗？
（学生在点子图上圈了2个14，老师板书14×2=28）
师：表示的是几行的字？
师：那么28的“8”是点子图的哪一部分？28的”2”在哪里？表示几？
师：14是怎么算出来的？
生：……
师：也就是几个14？（根据学生的回答）板书14×10=140。
师：表示几行的字？（10行的字）
师：14是图里的哪一部分？把它圈起来。
师：14的“4”在哪里？14的“10”又在哪里？168怎么算出来的？请把它圈起来。（板书：28 140=168）
（汇报完）师请一生上台，完整板演竖式的计算过程，师在课件上再次对应圈画点子图（图9），而其他学生则跟着教师的圈画说乘法口诀。
在学生理解算理困难时，及时亮出直观“点子图”，使每一步计算的竖式表征与图形表征同步演绎，有效促进学生理解各部分积所表示的具体意义。接着结合课件动态点子图的演示，学生板演竖式，其他学生用乘法口诀表述一步步的结果。这样巧妙地让学生在点子图上寻找竖式计算的相联过程，深层次多维度帮助学生还原最直观、最简单的理理和方法，把算理与算法融为一体。
（四）用形转化，探析运算内涵
直观模型显然对学生理解算理有着不可估量的作用，通过语言表征与符号表征的有机融合，让学生真正明白“法中见理，理中得法”的内涵。
层次四：
师：如果现在不让你看点子图，你还能把竖式计算的过程完整表述一遍吗？
学生根据计算过程一步步说乘法口诀，老师根据学生回答动态演示结果。（图10）
图10
师：现在老师再换其它的题，你还会算吗？（出示题目）
师：请同桌先互相说说运算的顺序，再动笔算。
教师有意引导学生的思维从直观走向抽象，让学生进行抽象的符号操作，在学生头脑里建立起乘法竖式的模型后，再用数学语言表征出来，教师打铁趁热地通过两道题进行抽象符号操作。至此，学生思维抽象之旅达到颠峰。
总之，在如何帮助学生利用几何更直观地理解数学算理上，让学生的抽象思维逐步从“以图形的直观”过渡到“抽象的符号”，逐步促使几何直观内化为学生学习数学的一种思考和学习方式，更好地拓展学生思维。
从问卷的结果可了解学生的学情盲区。其一，不知“算理”为何物。在计算过程中，学生只知道怎样将算式算对，而对于算理的理解却少人能清楚知道。调查问卷B中的第①题为例，学生知道如何列出竖式计算（过程），却不知道每一个步骤背后的含义。41的1是进位的1，这个1应该表示10，而不是简单的“1”，学生只看表面，却不知内含的算理为何物。其二，不懂“算理”有何用。（见图3）多数学生（甚至部分教师）都认为计算只要会算就行了，算理根本用不上，故此不用理会。殊不知这种没有算理只有算法的计算往往只是停留于表面，只知其一，不知其二，使得计算的学习变得肤浅。当遇到真正要用到算理去解决问题时，比如，B问卷中的第③题，很多学生便难以将题目情景与式子每一步有效结合。
到底师生的“病根”何在？笔者认为，从数据中至少暴露出以下三大“病因”：第一，教学理念没及时更新。因只关注算法和题量的训练，却忽视算理的理解与理法的结合。而中段小学生由于理解和认知能力有限，最终导致“知其然而不知其所以然”的现象屡见不鲜。第二，急功近利，忽略算理。学生到了中段，随着计算步骤增加，往往只重视算法的掌握，然后机械重复地训练，忽视了每步计算步骤背后的含义和对算理的深入理解，从而造成对知识一知半解。第三，形式单一，思维狭窄。平时计算练习往往是以“口算 笔算”的形式来检测学生计算能力，导致计算教学只注重计算技能形成，而不关注计算素养的提高，久而久之造成学生思维狭窄，学生运算思维降低。
笔者针对上述问题，借助“几何直观”为药引，以“理根络”“定起点”“凸本质”为三贴“处方诊治”，效果明显，仅供一线教师商榷。
一、对比教材，理清“根络”
（一）对比教学内容，寻找两位数乘两位数的“络”
在实验版教材一般按“口算——估算——笔算”的顺序编排，把解决问题与计算整合在一起，目的是培养学生能运用所学知识解决生活中的问题，但在实施过程中教师却很难把握结合的“度”，容易忽略算理的教学，反而造成学生运算能力降低。而新教材则调整为“口算——笔算——解决问题”，把估算穿插在解决问题中。计算和解决问题分开，教师在教学中容易找到侧重点。同时，将实验版“口算乘法”换成“两位数、几百几十乘一位数”和“两位数乘整十数”，这样编排更利于学生在探究笔算乘法时想到“拆分法”。
（二）对比呈现方式，突显两位数乘两位数的“根”
“两位数乘两位数”这一单元，无论是实验教材还是新教材都非常注重让学生经历知识的形成过程，掌握计算的方法。但同时新教材在教学目标上增加了“借助几何直观理解算理”。而在教学内容的呈现方式上，更注重利用圖形表征、实物表征来帮助学生理解算理。显然，编者用意是想突出几何直观的作用。在“两位数乘两位数”这节课中借助点子图与算式一一对应，放手让学生去探究算法，引导学生亲历乘法竖式的建模过程，这样给抽象的算理赋予了形象，有利于学生理解算理，也使学生逐步学会借助几何直观解决问题、表达交流，提升数学思维水平。而实验版教材虽有“拆分法”的呈现，却少了“点子图”的辅助，造成算理教学的缺失。
二、透析学情，定准“起点”
“新课标”明确指出，“数学活动必须建立在学生认知发展水平和已有知识经验基础上。”为了进一步分析几何直观在“两位数乘两位数”中发挥的作用，充分了解学生学情和教材实际，笔者对三年级某班（50名学生）进行前测。题目如下：14×12，请用你喜欢的方法进行计算。调查结果如（表1）。通过前测结果的统计发现学生的主要问题：有12名学生用竖式计算，其中有5位学生出现以下错误（图4）。
从能正确列出竖式的学生访问中得知，他们是通过预习或父母教而能正确列出的。学生对笔算方法只知道如何书写，但问及每一步是怎么算出来，学生们不会表达。特别是对如何书写第二步乘积的结果感到困惑，他们的方法只是停留在机械记忆层面上。另外，36名学生用了拆分法，其中“把一个乘数拆分成整十数与一位数”的人数居多。这显然是受到上节课“口算乘法”知识迁移的影响，而恰恰这种方法与竖式计算有着密切联系。学生掌握了这种拆分法能很好贯穿前后知识的内在联系，帮助学生更好地理解笔算乘法的算理。另外也有个别学生出现以下错误（图5）。
通过以上的调查与分析，发现学生对两位数乘两位数的知识并非一片空白，大部分学生能利用已有的知识及经验解决，只是在拆分的过程与竖式计算联系较困难。因此，本课的关键应在于教师根据学生的已有知识与经验，借助有效的直观手段，帮助学生经历算法的抽象建构过程，充分理解算理，进而有效掌握算法，为运算能力的提高奠定扎实的基础。而几何直观就是学生从具体向抽象过渡的重要“脚手架”。故此，要给学生搭建充分的动手操作、合作交流的平台，提高学生的运算能力和思维深度。
三、践行研究，凸显“本质”
笔者将教学拟定为体现学生思维所要经历形成的四步曲：“以形想式”——“以形明理”——“以形懂法”——“用形转化”。巧用几何直观，让学生经历计算过程，揭示算理的本质，感悟算法的实质。
（一）以形想式，初感竖式模型
创设教学情境，激发学生强烈的探索欲望，为进一步理解算理。
层次一：
（出示问题（图6））
师：谁能解决这个问题？
追问：这个算式表示什么意思？
生：表示12个14的和是多少。
师：结果是几？（学生表示不知道）
师：看来口算有点难度，我们还可以用什么方法？（生一下就想到用竖式计算） 师：请同学们试着用竖式算一算？展示学生的作品。（图7）
师：到底谁对呢？（学生各有各的想法）今天让我们一起来研究“两位数乘两位数”。
“新课标”指出：教师应以学生的认知发展水平和已有经验为基础，面向全体，实行启发式教学，而学生获得知识，必须建立在自己思考的基础上。学生在原有知识起点上自主探索，有助于运算能力、推理能力、抽象能力的发展，这些均是极重要的数学素养。笔者对教材作了二度开发：创设在方格纸上写字的情境，这样学生更易找到乘法几何模型的支撑，有利于情境与点子图保持一致，促使学生在问题驱动下搭建用点子图寻找结果的思维平台。紧接着，教师大胆放手，让学生独立尝试，即使有个别表征是错的，但其思维活动已是有价值了。这样在对比、辩析、交流中，学生对笔算乘法有更深刻的理解，也有助于获得学生真实反馈，增进对学情的把握。
（二）以形明理，揭示算理本质
基于对“运算能力”核心概念的理解和对新课标的解读，在数的运算教学中，应当做到“法理平衡”，教学中可运用直观的表征引起学生对算理的关注与探究。特别是中低年段，更要依据学生认知水平和生活经验，借助一些直观的素材，把数的运算过程直观呈现出来，这为学生理解算理、掌握算法提供感性基础，教师更清晰学生的思维过程。
层次二：
师（故意）：老师有个方法一定能知道答案，就是抄一行14个字，一行一行地抄，抄完12行再数一数一共有几个字，你认为这种方法怎么样？
生：太麻烦了！
师：有什么好方法能代替这个笨方法？
生：可以用磁铁代表一个字，一行一行地贴，再数一数。
师：有智慧！老师准备了一条有14个点，代表14个字（课件出示一行点子图），你们要几行？（12行），不喜欢老师准备的也可以自己画图。
小组活动，汇报交流。（学生作品如图8）
师：把新知识转化成我们学过的知识，是个不错的方法。在你的方法上，我看懂了第二种，第二位同学把12平均分成了2份进行计算。那第三种怎么不平均分了？
小结：刚才这些方法有哪些相同的地方？对，都是把“新问题”转化成“旧知识”来解决，这种思想方法在数学上叫做转化思想。
笔者在这节课上没有将“会写竖式”作为终极目标，而是在学生初步掌握竖式计算的基础上，及时提供点子图作为研究素材，有意让学生的思维在点子图上留下深刻足迹，使学生丰富的探索成果得以证实。在这过程中，教师给学生创设机会，让学生自动想到借点子图探索计算方法。学生经历用图示表征解释算法这一过程，有效沟通图形表征、算式表征与计算方法三者之间的内在联系，有效培养学生的发散思维，同时形成乘法竖式算法背后的算理所在。
（三）以形懂法，感悟算法實质
算理算法的相互融合，丰富算理和算法之间的联系，促进计算能力的提升。
层次三：
出示竖式，28、14、168是怎么算出来的？每个数表示什么意思？请拿出学习单，在小组内研究，并在图上圈一圈，指一指。
（小组上台汇报）
师：28怎么算出来的？能圈起来吗？
（学生在点子图上圈了2个14，老师板书14×2=28）
师：表示的是几行的字？
师：那么28的“8”是点子图的哪一部分？28的”2”在哪里？表示几？
师：14是怎么算出来的？
生：……
师：也就是几个14？（根据学生的回答）板书14×10=140。
师：表示几行的字？（10行的字）
师：14是图里的哪一部分？把它圈起来。
师：14的“4”在哪里？14的“10”又在哪里？168怎么算出来的？请把它圈起来。（板书：28 140=168）
（汇报完）师请一生上台，完整板演竖式的计算过程，师在课件上再次对应圈画点子图（图9），而其他学生则跟着教师的圈画说乘法口诀。
在学生理解算理困难时，及时亮出直观“点子图”，使每一步计算的竖式表征与图形表征同步演绎，有效促进学生理解各部分积所表示的具体意义。接着结合课件动态点子图的演示，学生板演竖式，其他学生用乘法口诀表述一步步的结果。这样巧妙地让学生在点子图上寻找竖式计算的相联过程，深层次多维度帮助学生还原最直观、最简单的理理和方法，把算理与算法融为一体。
（四）用形转化，探析运算内涵
直观模型显然对学生理解算理有着不可估量的作用，通过语言表征与符号表征的有机融合，让学生真正明白“法中见理，理中得法”的内涵。
层次四：
师：如果现在不让你看点子图，你还能把竖式计算的过程完整表述一遍吗？
学生根据计算过程一步步说乘法口诀，老师根据学生回答动态演示结果。（图10）
图10
师：现在老师再换其它的题，你还会算吗？（出示题目）
师：请同桌先互相说说运算的顺序，再动笔算。
教师有意引导学生的思维从直观走向抽象，让学生进行抽象的符号操作，在学生头脑里建立起乘法竖式的模型后，再用数学语言表征出来，教师打铁趁热地通过两道题进行抽象符号操作。至此，学生思维抽象之旅达到颠峰。
总之，在如何帮助学生利用几何更直观地理解数学算理上，让学生的抽象思维逐步从“以图形的直观”过渡到“抽象的符号”，逐步促使几何直观内化为学生学习数学的一种思考和学习方式，更好地拓展学生思维。