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解三角形问题是在学习了三角函数与平面向量的基础上，对任意三角形的边长和角度关系所作的进一步探索和研究，是高中数学中的传统内容，也是高考中的必考知识点.教材比较关注探索、推理的思维过程，教学重点放在了运算上，题目容易入手，但有时上手较难.如何有效、快速地解好三角形问题？笔者认为，我们应该掌握好以下几种常见的解题策略.
一、熟悉正弦定理、余弦定理的适用类型
1.正弦定理的适用类型
（1）已知一边和两角，可以求另一角和两边
例1在△ABC中，已知A=60°，B=45°，BC=32，解三角形.
分析：由三角形内角和为180°，得C=75°，再由正弦定理BC1sinA=AC1sinB=AB1sinC，求得AC=23，AB=3+3.
（2）已知两边和其中一边的对角，可先求另一边的对角，再求出其它边和角
例2在△ABC中，若a=3，b=3，A=π13，解三角形.
分析：先用正弦定理求出sinB=bsinA1a=3×31213=112，再根据大边对大角得：B=π16，最后由三角形内角和为π，得C=π12，从而c=a2+b2=23.
2.余弦定理的适用类型
（1）已知两边和它们的夹角，可以求第三边和其它两个角
例3设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=1，b=2，cosC=114，则sinB=.
分析：先由余弦定理求出边c=a2+b2-2abcosC=2，从而B=C，00，因此sinB=sinC=1514.
（2）已知三边，可以求三个内角
例4如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE=1，连接EC，ED，则sin∠CED的值为.
分析：此题其实是考查已知三边求角的问题，易知CE=5，DE=2，CD=1，则由余弦定理得：
cos∠CED=2+5-112×2×5=3110，
从而sin∠CED=10110.
二、熟练运用三角形中边、角互化的思想
由a1sinA=b1sinB=c1sinC=2R，得sinA=a12R，sinB=b12R，sinC=c12R称为角化边；a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC称为边化角.由余弦定理变形得：cosA=b2+c2-a212bc，cosB=a2+c2-b212ac，cosC=b2+a2-c212ab，从左到右称为角化边，反之称为边化角.
例5在△ABC中，已知sin2B-sin2C-sin2A=3sinAsinC，则角B的大小为.
分析：本题给出的是已知各角正弦的条件，因此应以正弦定理作为切入点进行边角转化.
解：由正弦定理得：sinA=a12R，sinB=b12R，sinC=c12R，代入得：b2-c2-a2=3ac，由余弦定理将边转化为角，得cosB=-312，B∈（0，π），所以B=516π.
例6在△ABC中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cosC1cosB=2a-c1b，则角B的大小为.
方法1：观察条件，等式左边为余弦而右边是边的条件，而此题是要求角，因此可尝试把边的条件转化为角的条件.
解：由正弦定理可得cosC1cosB=2sinA-sinC1sinB，cosCsinB=2sinAcosB-sinCcosB，
cosCsinB+sinCcosB=2sinAcosB，由两角和的正弦公式，得sin（B+C）=2sinAcosB，由三角形内角和为π，可得：sin（π-A）=2sinAcosB=sinA，00，所以得cosB=112，B∈（0，π），因而角B=π13.
方法2：也可以把左边的角化边作为切入点.
解：由余弦定理代入cosC和cosB，得a2+c2-b2=ac，又a2+c2-b2=2accosB，所以得cosB=112，B∈（0，π），因而角B=π13.
三、熟练进行三角函数恒等变形
例7在△ABC中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinB（tanA+tanC）=tanAtanC，
（1）求证：a，b，c成等比数列；（2）若a=1，c=2，求△ABC的面积S.
解：（1）由已知得：sinB（sinAcosC+cosAsinC）=sinAsinC，sinBsin（A+C）=sinAsinC，即sin2B=sinAsinC，再由正弦定理可得：b2=ac，所以a，b，c成等比数列.
（2）若a=1，c=2，则b2=ac=2，∴cosB=a2+c2-b212ac=314，sinB=714，故△ABC的面积S=112acsinB=112×1×2×714=714.
例8在△ABC中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，且8sin2B+C12-2cos2A=7，（1）求角A的大小；（2）若a=3，b+c=3，求△ABC的面积.
分析：与例7类似，（1）应该要涉及化简、变形及转化；（2）条件比较抽象，可数形结合.
解：（1）由已知得：8sin2π-A12-2cos2A=7，
8cos2A12-2cos2A=7，
即4（1+cosA）-2（2cos2A-1）=7，整理得：4cos2A-4cosA+1=0，解得：cosA=112，故A的大小为π13.
（2）cosA=b2+c2-a212bc=（b+c）2-2bc-312bc=6-2bc12bc=112，解得：bc=2，
∴S△ABC=112bcsinA=112×2×312=312.
四、充分利用三角形内角和定理
例9在△ABC中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，且角A，B，C成等差数列，
（1）求sinB的值；（2）若cosC=415，求sinA的值.
解：（1）由角A，B，C成等差数列，即2B=A+C，又A+B+C=π，所以B=π13，故sinB=312.
（2）由A+B+C=π，得：sinA=sin[π-（B+C）]=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC
=312×415+112×315=43+3110.
结论：由内角和定理可得：sinA=sin（B+C），cosA=-cos（B+C），tanA=-tan（B+C）等等，很多解三角形问题需要用到这些结论.
从以上解法中我们看出，要能够有效的解决三角形问题，一定要熟悉正弦定理、余弦定理及其适用类型；能够熟练应用边、角互化的思想；还要熟悉内角和定理，面积公式（S=112cbsinA），三角形的边边、边角之间的关系（如两边之和大于第三边，大边对大角等等）；能够灵活进行三角函数化简、恒等变形；还要有用数形结合的思想来解决问题的意识.如果能够很好地把握以上几点，相信同学们在解三角形问题时一定会事半功倍.
（作者：丁称兴，江苏省溧水高级中学）
（上接第16页）
美好，就像那一碗菜粥一样，永远营养着多情的灵魂。
这是一篇非常典型的考场作文。第一，化大为小，紧扣材料意旨围绕“生态自然”以“珍藏美好”为题给我们写了一个小家的一碗菜粥的故事。却又借小寓大，一碗菜粥表现的是人间至纯至真的亲情乡情和生活的美好。第二，细节传神，写人写狗都活灵活现。父亲吃粥的模样，冒着热气的小狗，惟妙惟肖，那“三人呼出的气便悠悠地飘着，飘到一起合成一个大大的圆圈”特别有蕴味，写出人物的精气神，文章的主旨得以有力张显。第三，巧妙点题。开头的“美好的梦”中间的“这确是我的童年最美好的记忆了。”结尾的“才发现珍藏的美好就是家的温暖”，表现作者非同一般的思维穿插力和纯熟的文字功力。
一、熟悉正弦定理、余弦定理的适用类型
1.正弦定理的适用类型
（1）已知一边和两角，可以求另一角和两边
例1在△ABC中，已知A=60°，B=45°，BC=32，解三角形.
分析：由三角形内角和为180°，得C=75°，再由正弦定理BC1sinA=AC1sinB=AB1sinC，求得AC=23，AB=3+3.
（2）已知两边和其中一边的对角，可先求另一边的对角，再求出其它边和角
例2在△ABC中，若a=3，b=3，A=π13，解三角形.
分析：先用正弦定理求出sinB=bsinA1a=3×31213=112，再根据大边对大角得：B=π16，最后由三角形内角和为π，得C=π12，从而c=a2+b2=23.
2.余弦定理的适用类型
（1）已知两边和它们的夹角，可以求第三边和其它两个角
例3设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=1，b=2，cosC=114，则sinB=.
分析：先由余弦定理求出边c=a2+b2-2abcosC=2，从而B=C，0
（2）已知三边，可以求三个内角
例4如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE=1，连接EC，ED，则sin∠CED的值为.
分析：此题其实是考查已知三边求角的问题，易知CE=5，DE=2，CD=1，则由余弦定理得：
cos∠CED=2+5-112×2×5=3110，
从而sin∠CED=10110.
二、熟练运用三角形中边、角互化的思想
由a1sinA=b1sinB=c1sinC=2R，得sinA=a12R，sinB=b12R，sinC=c12R称为角化边；a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC称为边化角.由余弦定理变形得：cosA=b2+c2-a212bc，cosB=a2+c2-b212ac，cosC=b2+a2-c212ab，从左到右称为角化边，反之称为边化角.
例5在△ABC中，已知sin2B-sin2C-sin2A=3sinAsinC，则角B的大小为.
分析：本题给出的是已知各角正弦的条件，因此应以正弦定理作为切入点进行边角转化.
解：由正弦定理得：sinA=a12R，sinB=b12R，sinC=c12R，代入得：b2-c2-a2=3ac，由余弦定理将边转化为角，得cosB=-312，B∈（0，π），所以B=516π.
例6在△ABC中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cosC1cosB=2a-c1b，则角B的大小为.
方法1：观察条件，等式左边为余弦而右边是边的条件，而此题是要求角，因此可尝试把边的条件转化为角的条件.
解：由正弦定理可得cosC1cosB=2sinA-sinC1sinB，cosCsinB=2sinAcosB-sinCcosB，
cosCsinB+sinCcosB=2sinAcosB，由两角和的正弦公式，得sin（B+C）=2sinAcosB，由三角形内角和为π，可得：sin（π-A）=2sinAcosB=sinA，0
方法2：也可以把左边的角化边作为切入点.
解：由余弦定理代入cosC和cosB，得a2+c2-b2=ac，又a2+c2-b2=2accosB，所以得cosB=112，B∈（0，π），因而角B=π13.
三、熟练进行三角函数恒等变形
例7在△ABC中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinB（tanA+tanC）=tanAtanC，
（1）求证：a，b，c成等比数列；（2）若a=1，c=2，求△ABC的面积S.
解：（1）由已知得：sinB（sinAcosC+cosAsinC）=sinAsinC，sinBsin（A+C）=sinAsinC，即sin2B=sinAsinC，再由正弦定理可得：b2=ac，所以a，b，c成等比数列.
（2）若a=1，c=2，则b2=ac=2，∴cosB=a2+c2-b212ac=314，sinB=714，故△ABC的面积S=112acsinB=112×1×2×714=714.
例8在△ABC中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，且8sin2B+C12-2cos2A=7，（1）求角A的大小；（2）若a=3，b+c=3，求△ABC的面积.
分析：与例7类似，（1）应该要涉及化简、变形及转化；（2）条件比较抽象，可数形结合.
解：（1）由已知得：8sin2π-A12-2cos2A=7，
8cos2A12-2cos2A=7，
即4（1+cosA）-2（2cos2A-1）=7，整理得：4cos2A-4cosA+1=0，解得：cosA=112，故A的大小为π13.
（2）cosA=b2+c2-a212bc=（b+c）2-2bc-312bc=6-2bc12bc=112，解得：bc=2，
∴S△ABC=112bcsinA=112×2×312=312.
四、充分利用三角形内角和定理
例9在△ABC中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，且角A，B，C成等差数列，
（1）求sinB的值；（2）若cosC=415，求sinA的值.
解：（1）由角A，B，C成等差数列，即2B=A+C，又A+B+C=π，所以B=π13，故sinB=312.
（2）由A+B+C=π，得：sinA=sin[π-（B+C）]=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC
=312×415+112×315=43+3110.
结论：由内角和定理可得：sinA=sin（B+C），cosA=-cos（B+C），tanA=-tan（B+C）等等，很多解三角形问题需要用到这些结论.
从以上解法中我们看出，要能够有效的解决三角形问题，一定要熟悉正弦定理、余弦定理及其适用类型；能够熟练应用边、角互化的思想；还要熟悉内角和定理，面积公式（S=112cbsinA），三角形的边边、边角之间的关系（如两边之和大于第三边，大边对大角等等）；能够灵活进行三角函数化简、恒等变形；还要有用数形结合的思想来解决问题的意识.如果能够很好地把握以上几点，相信同学们在解三角形问题时一定会事半功倍.
（作者：丁称兴，江苏省溧水高级中学）
（上接第16页）
美好，就像那一碗菜粥一样，永远营养着多情的灵魂。
这是一篇非常典型的考场作文。第一，化大为小，紧扣材料意旨围绕“生态自然”以“珍藏美好”为题给我们写了一个小家的一碗菜粥的故事。却又借小寓大，一碗菜粥表现的是人间至纯至真的亲情乡情和生活的美好。第二，细节传神，写人写狗都活灵活现。父亲吃粥的模样，冒着热气的小狗，惟妙惟肖，那“三人呼出的气便悠悠地飘着，飘到一起合成一个大大的圆圈”特别有蕴味，写出人物的精气神，文章的主旨得以有力张显。第三，巧妙点题。开头的“美好的梦”中间的“这确是我的童年最美好的记忆了。”结尾的“才发现珍藏的美好就是家的温暖”，表现作者非同一般的思维穿插力和纯熟的文字功力。