论文部分内容阅读
摘要本文研究了通过靶标与像的几何关系标定出相机的相对位置的问题。本文模型通过假设一条直线透过相机镜头成的像仍然是一条直线，交点的像仍然是交点，用切线法得到了精确确定靶标上圆的圆心在相机像平面上的像坐标的方法；并对上述算法进行了误差的理论分析，得到结论：当切点求取有误差 时，待确定中心点的横向和纵向误差 。
关键字 系统标定； 切线法； Surfer软件； 误差分析
一、问题的重述
数码相机定位可以确定物体表面某些特殊点的位置，常用方法是双目定位，而该方法的关键是如何确定两部数码相机的相对位置，这一过程被称为系统标定。标定的方法有很多，原题中给出了一种标定方法，即在一块靶标上画若干个点， 同时用这两部相机照相，分别得到这些点在它们像平面上的像点，利用这两组像点的几何关系就可以得到这两部相机的相对位置。实际的做法是在物平面上画若干个圆（成为靶标），它们的圆心即为几何中心的点了，而它们的像一般会变形，所以要实现标定，就必须把靶标上的圆心的像精确的找到。为了方便实现标定，题目中给出了一种靶标的设计方法，并给出了用一部固定的数码相机拍摄的像。题目要求设计数学模型和算法确定靶标上的圆心在相机的像平面上的像坐标，同时还要讨论方法对模型的精度和和稳定性的影响。
因为靶标上圆的几何关系已知，通过靶标与像的几何关系可以计算出相机的相对位置，需要我们建立模型和方法来求解。
二、模型的假设
1、通过靶标上的光线经过数码相机时符合光学规律，通过光学中心的光线不发生折射现象。
2、一条直线透过相机镜头成的像仍然是一条直线。
3、四边形的对角线的交点透过相机镜头后仍在其所成的四边形的像的对角线的交点上。
4、一个圆和它的切线透过相机镜头后所成的像仍然相切。
5、透过相机镜头得靶标在照相机中所成的像是由小孔成像原理通过光学中心在像平面所形成的倒立的，缩小的实像。
6、所给的靶标的像的图片与像平面上原像中的比例关系一致。
7、数码相机照相时不出现人为误差，数码相机功能完好。
三、模型的符号说明
1、特征点：靶标图中五个圆A、B、C、D、E的圆心也用A、B、C、D、E表示，这5个特征点在像平面中对应的点分别为 ，正方形ACDE的中心M在像平面上对应的点为 ，所以共有6个特征点。
2、像圆：靶标图中圆在像平面上的像。
3、像切线：两个像圆之间的公切线。
四、模型（切线法）的建立
由上述假设和靶标上圆的设计可得：对每个像圆，一定能找到至少有四条像切线，它们会组成像圆的外切四边形，连接四边形的对角线，则交点即为原来靶标中的圆的圆心在像图中对应的交点。
由上面的论述，我们可以得到确定靶标上圆的圆心在相机像平面上的像坐标的模型及方法：
首先把像图读入Surfer软件中，然后用软件绘出所有的切线，用软件求出切点坐标和切线方程，继而求出每个像圆的外切四边形的四个顶点坐标，外切四边形的对角线的交点即为所求的靶标上圆的圆心在相机像平面上的像点。
下图1所示为像图读入软件后，绘切线和求像点的外切四边形的演示，切线交点坐标和题目中要求的靶标上的圆的圆心在像平面的像坐标用软件可以得出。
五、模型的求解
利用上述模型可确定靶标上6个特征点在相机像平面上的像坐标，但是由于坐标轴单位的不同，结果也不同：
1、坐标轴以像素为单位时，以光心为原点，只考虑x—y面上的情况，求得的结果为：
（189.642699 ，-192.246746） （89.543173 ，-184.749520 )
（-126.815701 ， -168.092863）（-69.167264 ，119.450612）
（227.403335 ， 118.282347）（50.312828 ， -24.464175）
2、坐标轴以毫米为单位时，把像素换算成毫米，考虑空间坐标以光心为原点，求得的结果为：
（50.170026-50.858928-417.195767） （23.688670-48.875534-417.195767）
（-33.54912-44.469012-417.195767） （-18.29821831.600691-417.195767）
（60.15961231.291626-417.195767） （13.310272 -6.472004-417.195767）
六、模型的灵敏度和稳定性分析
为了对模型的灵敏度和稳定性进行分析，我们不妨假设某个像圆的外切四边形（由4条像切线组成）是正方形ABCD，如下图所示。其中,四边形A'B'C'D'是测量值，测量时由于取切点产生的误差，然后得到四边形A'B'C'D'.
设正方形的中心点设为原点。A，B，C，D四点坐标分别为（-a, -a）, (-a,a),(a,a),(a,-a), 我们在做像切线的过程中难免存在对切点的确认时 存在漂移现象（即误差），设设各点漂移分别为
（dx1,dy1）,(dx2,dy2),(dx3,dy3),（dx4,dy4), 则各点的测量值为
A'（-a+dx1, -a+dy1）, B'( a+dx2,- a+dy2),C'(a+dx3,a+dy3),D'( -a+dx4, a+dy4) 其中 是所求切线A'B'的误差角度，dx 为AD边上所求切点的横向向位移误差，dx' 为BC边上所求切点的横向向位移误差。
将上述结果代入公式（1）得到待确定中心点O(0,0)的横向误差：
假设求取切点时的（横向或垂向）误差为 个像素点，两个切点间距离为H， 是所求切线的误差角度则有：
就本问题而言，我们近似的可以认为，切点间距离H与圆的半径之比为：
从而得到：
从而由公式（2）得到待确定中心点的横向误差：
（3）
同理可以得到待确定中心点的纵向误差：
当对图像数字化的时候，由于阈值的不同选取，会导致边界扩张和缩小，此时 dx与dx'反方向同步变化，此时可以看出（3）式待确定中心点的误差不会变大。这说明该方法对阈值的选取不敏感。
在实际操作中 对于图（1）中的E点的像E'，由于和A，B，D点的像都存在切线相交确定四个相交点的情况 因此可以得到E点不同的坐标值，在实际操作得到E'点两个不同的坐标值（像平面上）
E’(501.7823465,284.0966655)
E' (501.7127825,284.5651995)
这两个点非常接近，在肉眼是无法分别开来的，即使在放大一定的倍数下也无法分开。A,B，D三个圆的圆心是在同一条直线上，它们的像的圆心也应该在同一条直线上，在实际测量中我们得到的A，B，D三个圆的像的圆心坐标
通过点到直线距离公式 我们可以迅速求出B'到A',C'直线距离 H= 0.258991
单位像素。这个值很小，我们近似看做B'在A'C'的直线上，由此可以看出本文所建立模型的灵敏度和稳定性都很好。
参考文献：
[1] 许洪范，郭学军. 一种测距定位仪的数学模型.数学的实践与认识，第37卷第19期，
1—4，2007,10.
[2] 叶其孝.大学生数学建模竞赛辅导教材[M].长沙：湖南教育出版社，2001，6：l00—111．
[3] 万群，彭应宁．一种新的加权最小二乘测距定位方法[J]．电子与信息学报，2002,12：1980—1984.
[4] 彭放 杨瑞琰等.数学建模方法.科学出版社，2007，8：29—40.
关键字 系统标定； 切线法； Surfer软件； 误差分析
一、问题的重述
数码相机定位可以确定物体表面某些特殊点的位置，常用方法是双目定位，而该方法的关键是如何确定两部数码相机的相对位置，这一过程被称为系统标定。标定的方法有很多，原题中给出了一种标定方法，即在一块靶标上画若干个点， 同时用这两部相机照相，分别得到这些点在它们像平面上的像点，利用这两组像点的几何关系就可以得到这两部相机的相对位置。实际的做法是在物平面上画若干个圆（成为靶标），它们的圆心即为几何中心的点了，而它们的像一般会变形，所以要实现标定，就必须把靶标上的圆心的像精确的找到。为了方便实现标定，题目中给出了一种靶标的设计方法，并给出了用一部固定的数码相机拍摄的像。题目要求设计数学模型和算法确定靶标上的圆心在相机的像平面上的像坐标，同时还要讨论方法对模型的精度和和稳定性的影响。
因为靶标上圆的几何关系已知，通过靶标与像的几何关系可以计算出相机的相对位置，需要我们建立模型和方法来求解。
二、模型的假设
1、通过靶标上的光线经过数码相机时符合光学规律，通过光学中心的光线不发生折射现象。
2、一条直线透过相机镜头成的像仍然是一条直线。
3、四边形的对角线的交点透过相机镜头后仍在其所成的四边形的像的对角线的交点上。
4、一个圆和它的切线透过相机镜头后所成的像仍然相切。
5、透过相机镜头得靶标在照相机中所成的像是由小孔成像原理通过光学中心在像平面所形成的倒立的，缩小的实像。
6、所给的靶标的像的图片与像平面上原像中的比例关系一致。
7、数码相机照相时不出现人为误差，数码相机功能完好。
三、模型的符号说明
1、特征点：靶标图中五个圆A、B、C、D、E的圆心也用A、B、C、D、E表示，这5个特征点在像平面中对应的点分别为 ，正方形ACDE的中心M在像平面上对应的点为 ，所以共有6个特征点。
2、像圆：靶标图中圆在像平面上的像。
3、像切线：两个像圆之间的公切线。
四、模型（切线法）的建立
由上述假设和靶标上圆的设计可得：对每个像圆，一定能找到至少有四条像切线，它们会组成像圆的外切四边形，连接四边形的对角线，则交点即为原来靶标中的圆的圆心在像图中对应的交点。
由上面的论述，我们可以得到确定靶标上圆的圆心在相机像平面上的像坐标的模型及方法：
首先把像图读入Surfer软件中，然后用软件绘出所有的切线，用软件求出切点坐标和切线方程，继而求出每个像圆的外切四边形的四个顶点坐标，外切四边形的对角线的交点即为所求的靶标上圆的圆心在相机像平面上的像点。
下图1所示为像图读入软件后，绘切线和求像点的外切四边形的演示，切线交点坐标和题目中要求的靶标上的圆的圆心在像平面的像坐标用软件可以得出。
五、模型的求解
利用上述模型可确定靶标上6个特征点在相机像平面上的像坐标，但是由于坐标轴单位的不同，结果也不同：
1、坐标轴以像素为单位时，以光心为原点，只考虑x—y面上的情况，求得的结果为：
（189.642699 ，-192.246746） （89.543173 ，-184.749520 )
（-126.815701 ， -168.092863）（-69.167264 ，119.450612）
（227.403335 ， 118.282347）（50.312828 ， -24.464175）
2、坐标轴以毫米为单位时，把像素换算成毫米，考虑空间坐标以光心为原点，求得的结果为：
（50.170026-50.858928-417.195767） （23.688670-48.875534-417.195767）
（-33.54912-44.469012-417.195767） （-18.29821831.600691-417.195767）
（60.15961231.291626-417.195767） （13.310272 -6.472004-417.195767）
六、模型的灵敏度和稳定性分析
为了对模型的灵敏度和稳定性进行分析，我们不妨假设某个像圆的外切四边形（由4条像切线组成）是正方形ABCD，如下图所示。其中,四边形A'B'C'D'是测量值，测量时由于取切点产生的误差，然后得到四边形A'B'C'D'.
设正方形的中心点设为原点。A，B，C，D四点坐标分别为（-a, -a）, (-a,a),(a,a),(a,-a), 我们在做像切线的过程中难免存在对切点的确认时 存在漂移现象（即误差），设设各点漂移分别为
（dx1,dy1）,(dx2,dy2),(dx3,dy3),（dx4,dy4), 则各点的测量值为
A'（-a+dx1, -a+dy1）, B'( a+dx2,- a+dy2),C'(a+dx3,a+dy3),D'( -a+dx4, a+dy4) 其中 是所求切线A'B'的误差角度，dx 为AD边上所求切点的横向向位移误差，dx' 为BC边上所求切点的横向向位移误差。
将上述结果代入公式（1）得到待确定中心点O(0,0)的横向误差：
假设求取切点时的（横向或垂向）误差为 个像素点，两个切点间距离为H， 是所求切线的误差角度则有：
就本问题而言，我们近似的可以认为，切点间距离H与圆的半径之比为：
从而得到：
从而由公式（2）得到待确定中心点的横向误差：
（3）
同理可以得到待确定中心点的纵向误差：
当对图像数字化的时候，由于阈值的不同选取，会导致边界扩张和缩小，此时 dx与dx'反方向同步变化，此时可以看出（3）式待确定中心点的误差不会变大。这说明该方法对阈值的选取不敏感。
在实际操作中 对于图（1）中的E点的像E'，由于和A，B，D点的像都存在切线相交确定四个相交点的情况 因此可以得到E点不同的坐标值，在实际操作得到E'点两个不同的坐标值（像平面上）
E’(501.7823465,284.0966655)
E' (501.7127825,284.5651995)
这两个点非常接近，在肉眼是无法分别开来的，即使在放大一定的倍数下也无法分开。A,B，D三个圆的圆心是在同一条直线上，它们的像的圆心也应该在同一条直线上，在实际测量中我们得到的A，B，D三个圆的像的圆心坐标
通过点到直线距离公式 我们可以迅速求出B'到A',C'直线距离 H= 0.258991
单位像素。这个值很小，我们近似看做B'在A'C'的直线上，由此可以看出本文所建立模型的灵敏度和稳定性都很好。
参考文献：
[1] 许洪范，郭学军. 一种测距定位仪的数学模型.数学的实践与认识，第37卷第19期，
1—4，2007,10.
[2] 叶其孝.大学生数学建模竞赛辅导教材[M].长沙：湖南教育出版社，2001，6：l00—111．
[3] 万群，彭应宁．一种新的加权最小二乘测距定位方法[J]．电子与信息学报，2002,12：1980—1984.
[4] 彭放 杨瑞琰等.数学建模方法.科学出版社，2007，8：29—40.