论文部分内容阅读
一、填空题
1.集合{-1，0，1}共有个子集.
2.已知集合A={0，2，a2}，B={1，a}，若A∪B={0，1，2，4}，则实数a的值为.
3.已知f（x3）=lgx（x>0），则f（4）的值为.
4.若集合P={x|3 5.已知函数f（x）=2x 1，x<1，x2 ax，x≥1，若f（f（0））=4a，则实数a等于.
6.设f（x2 1）=loga（4-x4）（a>1），则f（x）的值域是.
7.已知f（x）=x3-ax在[1， ∞）上是单调增函数，则a的最大值是.
8.设函数f（x）=x（ex ae-x）（x∈R）是偶函数，则实数a=.
9.已知函数f（x）=4x-2xt t 1在区间（0， ∞）上的图象恒在x轴上方，则实数t的取值范围是.
10.在平面直角坐标系xOy中，点P（0，1）在曲线C：y=x3-x2-ax b（a，b为实数）上，已知曲线C在点P处的切线方程为y=2x 1，则a b=.
11.若a>3，则方程x3-ax2 1=0在（0，2）上恰有个实根.
12.若f（x）是定义在R上的函数，对任意实数x都有f（x 3）≤f（x） 3和f（x 2）≥f（x） 2，且f（1）=1，则f（2014）=.
13.某同学为研究函数f（x）=1 x2 1 （1-x）2（0≤x≤1）的性质，构造了如图所示的两个边长为1的正方形ABCD和BEFC，点P是边BC上的一个动点，设CP=x，则AP PF=f（x）.请你参考这些信息，推知函数f（x）的极值点是；函数f（x）的值域是.
14.已知函数f（x）=x2 bx c（b，c∈R），对任意的x∈R，恒有f′（x）≤f（x）.若对满足题设条件的任意b，c，不等式f（c）-f（b）≤M（c2-b2）恒成立，则M的最小值为.
二、解答题
15.已知集合A=xlog12（x 2）>-3x2≤2x 15，B={x|m 1≤x≤2m-1}.
（1）求集合A；
（2）若BA，求实数m的取值范围.
16.设函数f（x）=x-（x 1）ln（x 1）（x>-1）.
（1）求f（x）的单调区间；
（2）证明：当n>m>0时，（1 n）m<（1 m）n.
17.已知函数f（x）和g（x）的图象关于原点对称，且f（x）=x2 2x.
（1）求函数g（x）的解析式；
（2）解不等式g（x）≥f（x）-|x-1|；
（3）若h（x）=g（x）-λf（x） 1在[-1，1]上是增函数，求实数λ的取值范围.
18.轮滑是穿着带滚轮的特制鞋在坚硬的场地上滑行的运动.如图，助跑道ABC是一段抛物线，某轮滑运动员通过助跑道获取速度后飞离跑道然后落到离地面高为1m的平台上E处，飞行的轨迹是一段抛物线CDE（抛物线CDE与抛物线ABC在同一平面内），D为这段抛物线的最高点.现在运动员的滑行轮迹所在平面上建立如图所示的直角坐标系，x轴在地面上，助跑道一端点A（0，4），另一端点C（3，1），点B（2，0），单位：m.
（1）求助跑道所在的抛物线方程；
（2）若助跑道所在抛物线与飞行轨迹所在抛物线在点C处有相同的切线，为使运动员安全和空中姿态优美，要求运动员的飞行距离在4m到6m之间（包括4m和6m），试求运动员飞行过程中距离平台最大高度的取值范围.
（注：飞行距离指点C与点E的水平距离，即这两点横坐标差的绝对值）
19.给出定义在（0， ∞）上的三个函数：f（x）=lnx，g（x）=x2-af（x），h（x）=x-ax，已知g（x）在x=1处取极值.
（1）确定函数h（x）的单调性；
（2）求证：当1 （3）把函数h（x）的图象向上平移6个单位得到函数h1（x）的图象，试确定函数y=g（x）-h1（x）的零点个数，并说明理由.
20.已知二次函数f（x）=ax2 bx c和g（x）=ax2 bx c·lnx（abc≠0）.
（1）证明：当a<0时，无论b为何值，函数g（x）在定义域内不可能总为增函数；
（2）在同一函数图象上取任意两个不同的点A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点C（x0，y0），记直线AB的斜率为k，若f（x）满足k=f′（x0），则称其为“K函数”.判断函数f（x）=ax2 bx c与g（x）=ax2 bx c·lnx（abc≠0）是否为“K函数”？并证明你的结论.
参考答案
一、填空题
1.8
2.2
3.23lg2
4.（6，9]
5.2
6.（-∞，loga4]
7.3
8.-1
9.（-∞，2 22）
10.-1
11.1
12.2014
13.x=12； [5，2 1]
14.32
二、解答题
15.解：（1）解不等式log12（x 2）>-3得：
-2 解不等式x2≤2x 15得：-3≤x≤5.②
由①②求交集得-2 即集合A=（-2，5].
（2）当B=时，m 1>2m-1，
解得m<2；
当B≠时，由m 1≤2m-1，m 1>-2，2m-1≤5
解得2≤m≤3，
故实数m的取值范围为（-∞，3].
16.解：（1）f′（x）=1-ln（x 1）-x 1x 1=-ln（x 1），
当f′（x）≥0，即-1 当f′（x）≤0，即x≥0时，f（x）单调递减.
综上得f（x）的单调递增区间为（-1，0），单调递减区间为[0， ∞）.
（2）证明：设g（x）=ln（1 x）x（x>0），
则g′（x）=x1 x-ln（1 x）x2
=x-（1 x）ln（1 x）x2（1 x）.
由（1）知，f（x）=x-（1 x）ln（1 x）在（0， ∞）上单调递减，
所以x-（1 x）ln（1 x） g（x）在（0， ∞）上单调递减，
而n>m>0，所以g（n） 即ln（1 n）n 得mln（1 n） 故（1 n）m<（1 m）n.
17.解：（1）设函数y=f（x）的图象上任一点Q（x0，y0）关于原点的对称点为P（x，y），
则x0 x2=0，y0 y2=0，即x0=-x，y0=-y.
又∵点Q（x0，y0）在函数y=f（x）的图象上，
∴-y=x2-2x，∴y=-x2 2x.
即g（x）=-x2 2x.
（2）由g（x）≥f（x）-|x-1|，可得
2x2-|x-1|≤0.
当x≥1时，2x2-x 1≤0，此时不等式无解；
当x<1时，2x2 x-1≤0，∴-1≤x≤12.
因此，原不等式的解集为[-1，12].
（3）h（x）=-（1 λ）x2 2（1-λ）x 1.
①当λ=-1时，h（x）=4x 1在[-1，1]上是增函数，故λ=-1适合题意.
②当λ≠-1时，对称轴的方程为x=1-λ1 λ.
当λ<-1时，1-λ1 λ≤-1，解得λ<-1；
当λ>-1时，1-λ1 λ≥1，解得-1<λ≤0.
综上所述，λ≤0.
故实数λ的取值范围为（-∞，0].
18.解：（1）设助跑道所在的抛物线方程为f（x）=a0x2 b0x c0，依题意c0=4，4a0 2b0 c0=0，9a0 3b0 c0=1，解得a0=1，b0=-4，c0=4，
所以助跑道所在的抛物线方程为
f（x）=x2-4x 4，x∈[0，3].
（2）设飞行轨迹所在抛物线为g（x）=ax2 bx c（a<0），
依题意f（3）=g（3），f′（3）=g′（3），即9a 3b c=1，6a b=2，
解得b=2-6a，c=9a-5，
所以g（x）=ax2 （2-6a）x 9a-5
=a（x-3a-1a）2 1-1a.
令g（x）=1，得（x-3a-1a）2=1a2.
因为a<0，所以x=3a-1a-1a=3-2a.
当x=3a-1a时，g（x）有最大值，为1-1a，
则运动员的飞行距离d=3-2a-3=-2a，
飞行过程中距离平台最大高度h=1-1a-1=-1a，
依题意，4≤-2a≤6，即2≤-1a≤3，
即飞行过程中距离平台最大高度的取值范围为在2m到3m之间.
19.解：（1）由题设，g（x）=x2-alnx，则g′（x）=2x-ax.
由已知，g′（1）=0，即2-a=0a=2.于是h（x）=x-2x，则h′（x）=1-1x.
由h′（x）=1-1x>0x>1，h′（x）=1-1x<00 所以h（x）在（1， ∞）上是增函数，在（0，1）上是减函数.
（2）当1 欲证x<2 f（x）2-f（x），只需证x[2-f（x）]<2 f（x），即证f（x）>2（x-1）x 1.
设φ（x）=f（x）-2（x-1）x 1=lnx-2（x-1）x 1，
则φ′（x）=1x-2（x 1）-2（x-1）（x 1）2=（x-1）2x（x 1）2.当10，所以φ（x）在区间（1，e2）上为增函数.
从而当1φ（1）=0，即f（x）>2（x-1）x 1，故x<2 f（x）2-f（x）.
（3）由题设，h1（x）=x-2x 6.令g（x）-h1（x）=0，则x2-2lnx-（x-2x 6）=0，
设m（x）=x2-2lnx-x 2x-6，
m′（x）=2x-2x-1 1x=2x2-2-x xx
=2（x-1）（x 1）（x 1）-x（x-1）x
=（x-1）（2xx 2x x 2）x，
令m′（x）=0得x=1，当x∈（0，1）时，m′（x）<0；当x∈（1， ∞）时，m′（x）>0.
所以m（x）min=m（1）=-4<0，而x→0时，m（x）→ ∞，x→ ∞时，m（x）→ ∞. 故函数m（x）的图象与x轴有且仅有两个交点，也就是说函数y=g（x）-h1（x）有两个零点.
20.解：（1）假设g（x）在定义域（0， ∞）上为增函数，
则有g′（x）=2ax b cx=2ax2 bx cx>0对于一切x>0恒成立，
从而必有2ax2 bx c>0对于一切x>0恒成立.
又a<0，由二次函数的图象可知：2ax2 bx c>0对于一切x>0恒成立是不可能的.
因此当a<0时，无论b为何值，函数g（x）在定义域内不可能总为增函数.
（2）函数f（x）=ax2 bx c是“K函数”，
g（x）=ax2 bx c·lnx（abc≠0）不是“K函数”.
证明如下：对于二次函数f（x）=ax2 bx c，
k=f（x1）-f（x2）x1-x2=a（x22-x21） b（x2-x1）x2-x1
=a（x2 x1） b=2ax0 b.
又f′（x0）=2ax0 b，故k=f′（x0）.
故函数f（x）=ax2 bx c是“K函数”.
对于函数g（x）=ax2 bx c·lnx（abc≠0）（x>0），
不妨设x2>x1>0，
则k=g（x1）-g（x2）x1-x2
=a（x21-x22） b（x1-x2） clnx1x2x1-x2
=2ax0 b clnx1x2x1-x2.
又g′（x0）=2ax0 b cx0，
若g（x）为“K函数”，则必满足k=g′（x0），
即有2ax0 b clnx1x2x1-x2=2ax0 b cx0，
也即clnx1x2x1-x2=2cx1 x2（c≠0），
所以lnx1x2x1-x2=2x1 x2.
设t=x1x2，则0 设s（t）=lnt-2（t-1）1 t，则s′（t）=（t-1）2t（1 t）2>0，
所以s（t）在t∈（0，1）上为增函数，s（t） 故lnt≠2（t-1）1 t.②
①与②矛盾，因此，函数g（x）=ax2 bx c·lnx（abc≠0）不是“K函数”.
（作者：朱振华，江苏省海门中学）
1.集合{-1，0，1}共有个子集.
2.已知集合A={0，2，a2}，B={1，a}，若A∪B={0，1，2，4}，则实数a的值为.
3.已知f（x3）=lgx（x>0），则f（4）的值为.
4.若集合P={x|3
6.设f（x2 1）=loga（4-x4）（a>1），则f（x）的值域是.
7.已知f（x）=x3-ax在[1， ∞）上是单调增函数，则a的最大值是.
8.设函数f（x）=x（ex ae-x）（x∈R）是偶函数，则实数a=.
9.已知函数f（x）=4x-2xt t 1在区间（0， ∞）上的图象恒在x轴上方，则实数t的取值范围是.
10.在平面直角坐标系xOy中，点P（0，1）在曲线C：y=x3-x2-ax b（a，b为实数）上，已知曲线C在点P处的切线方程为y=2x 1，则a b=.
11.若a>3，则方程x3-ax2 1=0在（0，2）上恰有个实根.
12.若f（x）是定义在R上的函数，对任意实数x都有f（x 3）≤f（x） 3和f（x 2）≥f（x） 2，且f（1）=1，则f（2014）=.
13.某同学为研究函数f（x）=1 x2 1 （1-x）2（0≤x≤1）的性质，构造了如图所示的两个边长为1的正方形ABCD和BEFC，点P是边BC上的一个动点，设CP=x，则AP PF=f（x）.请你参考这些信息，推知函数f（x）的极值点是；函数f（x）的值域是.
14.已知函数f（x）=x2 bx c（b，c∈R），对任意的x∈R，恒有f′（x）≤f（x）.若对满足题设条件的任意b，c，不等式f（c）-f（b）≤M（c2-b2）恒成立，则M的最小值为.
二、解答题
15.已知集合A=xlog12（x 2）>-3x2≤2x 15，B={x|m 1≤x≤2m-1}.
（1）求集合A；
（2）若BA，求实数m的取值范围.
16.设函数f（x）=x-（x 1）ln（x 1）（x>-1）.
（1）求f（x）的单调区间；
（2）证明：当n>m>0时，（1 n）m<（1 m）n.
17.已知函数f（x）和g（x）的图象关于原点对称，且f（x）=x2 2x.
（1）求函数g（x）的解析式；
（2）解不等式g（x）≥f（x）-|x-1|；
（3）若h（x）=g（x）-λf（x） 1在[-1，1]上是增函数，求实数λ的取值范围.
18.轮滑是穿着带滚轮的特制鞋在坚硬的场地上滑行的运动.如图，助跑道ABC是一段抛物线，某轮滑运动员通过助跑道获取速度后飞离跑道然后落到离地面高为1m的平台上E处，飞行的轨迹是一段抛物线CDE（抛物线CDE与抛物线ABC在同一平面内），D为这段抛物线的最高点.现在运动员的滑行轮迹所在平面上建立如图所示的直角坐标系，x轴在地面上，助跑道一端点A（0，4），另一端点C（3，1），点B（2，0），单位：m.
（1）求助跑道所在的抛物线方程；
（2）若助跑道所在抛物线与飞行轨迹所在抛物线在点C处有相同的切线，为使运动员安全和空中姿态优美，要求运动员的飞行距离在4m到6m之间（包括4m和6m），试求运动员飞行过程中距离平台最大高度的取值范围.
（注：飞行距离指点C与点E的水平距离，即这两点横坐标差的绝对值）
19.给出定义在（0， ∞）上的三个函数：f（x）=lnx，g（x）=x2-af（x），h（x）=x-ax，已知g（x）在x=1处取极值.
（1）确定函数h（x）的单调性；
（2）求证：当1
20.已知二次函数f（x）=ax2 bx c和g（x）=ax2 bx c·lnx（abc≠0）.
（1）证明：当a<0时，无论b为何值，函数g（x）在定义域内不可能总为增函数；
（2）在同一函数图象上取任意两个不同的点A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点C（x0，y0），记直线AB的斜率为k，若f（x）满足k=f′（x0），则称其为“K函数”.判断函数f（x）=ax2 bx c与g（x）=ax2 bx c·lnx（abc≠0）是否为“K函数”？并证明你的结论.
参考答案
一、填空题
1.8
2.2
3.23lg2
4.（6，9]
5.2
6.（-∞，loga4]
7.3
8.-1
9.（-∞，2 22）
10.-1
11.1
12.2014
13.x=12； [5，2 1]
14.32
二、解答题
15.解：（1）解不等式log12（x 2）>-3得：
-2
（2）当B=时，m 1>2m-1，
解得m<2；
当B≠时，由m 1≤2m-1，m 1>-2，2m-1≤5
解得2≤m≤3，
故实数m的取值范围为（-∞，3].
16.解：（1）f′（x）=1-ln（x 1）-x 1x 1=-ln（x 1），
当f′（x）≥0，即-1
综上得f（x）的单调递增区间为（-1，0），单调递减区间为[0， ∞）.
（2）证明：设g（x）=ln（1 x）x（x>0），
则g′（x）=x1 x-ln（1 x）x2
=x-（1 x）ln（1 x）x2（1 x）.
由（1）知，f（x）=x-（1 x）ln（1 x）在（0， ∞）上单调递减，
所以x-（1 x）ln（1 x）
而n>m>0，所以g（n）
17.解：（1）设函数y=f（x）的图象上任一点Q（x0，y0）关于原点的对称点为P（x，y），
则x0 x2=0，y0 y2=0，即x0=-x，y0=-y.
又∵点Q（x0，y0）在函数y=f（x）的图象上，
∴-y=x2-2x，∴y=-x2 2x.
即g（x）=-x2 2x.
（2）由g（x）≥f（x）-|x-1|，可得
2x2-|x-1|≤0.
当x≥1时，2x2-x 1≤0，此时不等式无解；
当x<1时，2x2 x-1≤0，∴-1≤x≤12.
因此，原不等式的解集为[-1，12].
（3）h（x）=-（1 λ）x2 2（1-λ）x 1.
①当λ=-1时，h（x）=4x 1在[-1，1]上是增函数，故λ=-1适合题意.
②当λ≠-1时，对称轴的方程为x=1-λ1 λ.
当λ<-1时，1-λ1 λ≤-1，解得λ<-1；
当λ>-1时，1-λ1 λ≥1，解得-1<λ≤0.
综上所述，λ≤0.
故实数λ的取值范围为（-∞，0].
18.解：（1）设助跑道所在的抛物线方程为f（x）=a0x2 b0x c0，依题意c0=4，4a0 2b0 c0=0，9a0 3b0 c0=1，解得a0=1，b0=-4，c0=4，
所以助跑道所在的抛物线方程为
f（x）=x2-4x 4，x∈[0，3].
（2）设飞行轨迹所在抛物线为g（x）=ax2 bx c（a<0），
依题意f（3）=g（3），f′（3）=g′（3），即9a 3b c=1，6a b=2，
解得b=2-6a，c=9a-5，
所以g（x）=ax2 （2-6a）x 9a-5
=a（x-3a-1a）2 1-1a.
令g（x）=1，得（x-3a-1a）2=1a2.
因为a<0，所以x=3a-1a-1a=3-2a.
当x=3a-1a时，g（x）有最大值，为1-1a，
则运动员的飞行距离d=3-2a-3=-2a，
飞行过程中距离平台最大高度h=1-1a-1=-1a，
依题意，4≤-2a≤6，即2≤-1a≤3，
即飞行过程中距离平台最大高度的取值范围为在2m到3m之间.
19.解：（1）由题设，g（x）=x2-alnx，则g′（x）=2x-ax.
由已知，g′（1）=0，即2-a=0a=2.于是h（x）=x-2x，则h′（x）=1-1x.
由h′（x）=1-1x>0x>1，h′（x）=1-1x<00
（2）当1
设φ（x）=f（x）-2（x-1）x 1=lnx-2（x-1）x 1，
则φ′（x）=1x-2（x 1）-2（x-1）（x 1）2=（x-1）2x（x 1）2.当1
从而当1
（3）由题设，h1（x）=x-2x 6.令g（x）-h1（x）=0，则x2-2lnx-（x-2x 6）=0，
设m（x）=x2-2lnx-x 2x-6，
m′（x）=2x-2x-1 1x=2x2-2-x xx
=2（x-1）（x 1）（x 1）-x（x-1）x
=（x-1）（2xx 2x x 2）x，
令m′（x）=0得x=1，当x∈（0，1）时，m′（x）<0；当x∈（1， ∞）时，m′（x）>0.
所以m（x）min=m（1）=-4<0，而x→0时，m（x）→ ∞，x→ ∞时，m（x）→ ∞. 故函数m（x）的图象与x轴有且仅有两个交点，也就是说函数y=g（x）-h1（x）有两个零点.
20.解：（1）假设g（x）在定义域（0， ∞）上为增函数，
则有g′（x）=2ax b cx=2ax2 bx cx>0对于一切x>0恒成立，
从而必有2ax2 bx c>0对于一切x>0恒成立.
又a<0，由二次函数的图象可知：2ax2 bx c>0对于一切x>0恒成立是不可能的.
因此当a<0时，无论b为何值，函数g（x）在定义域内不可能总为增函数.
（2）函数f（x）=ax2 bx c是“K函数”，
g（x）=ax2 bx c·lnx（abc≠0）不是“K函数”.
证明如下：对于二次函数f（x）=ax2 bx c，
k=f（x1）-f（x2）x1-x2=a（x22-x21） b（x2-x1）x2-x1
=a（x2 x1） b=2ax0 b.
又f′（x0）=2ax0 b，故k=f′（x0）.
故函数f（x）=ax2 bx c是“K函数”.
对于函数g（x）=ax2 bx c·lnx（abc≠0）（x>0），
不妨设x2>x1>0，
则k=g（x1）-g（x2）x1-x2
=a（x21-x22） b（x1-x2） clnx1x2x1-x2
=2ax0 b clnx1x2x1-x2.
又g′（x0）=2ax0 b cx0，
若g（x）为“K函数”，则必满足k=g′（x0），
即有2ax0 b clnx1x2x1-x2=2ax0 b cx0，
也即clnx1x2x1-x2=2cx1 x2（c≠0），
所以lnx1x2x1-x2=2x1 x2.
设t=x1x2，则0
所以s（t）在t∈（0，1）上为增函数，s（t）
①与②矛盾，因此，函数g（x）=ax2 bx c·lnx（abc≠0）不是“K函数”.
（作者：朱振华，江苏省海门中学）