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【摘 要】由“分数和除法”的教学难点引发思考，尝试研读分数概念的上位知识，把握分数概念的本质；解读学生学习分数的认知障碍，厘清分数概念的教学体系；引领学生经历规定“单位量”的重要性，体验“单位量”的相对性和动态性，从而优化分数概念的教学。
【关键词】分数概念 认知障碍 单位量 优化教学
人教版五年级下册“分数的意义”单元的第二节新授课“分数和除法”是一节难上的课。用学生的话来描述：本来我有点懂的，越上越糊涂了。课后学生对于“把2平方米的花圃平均分给3个小组，每个小组分到这个花圃的（ ），每个小组分得（ ）平方米”这种类型的题目屡做屡错，屡改屡错。为什么会这样呢？下面一起来看两则教学实践的案例。
初次教学实践
【案例一】
环节一：复习铺垫
把一些饼平均分给4个同学，每人分得几个？每人分得这些饼的几分之几？
初步感知因总数不一定，每人分几个无法确定，而每人分得的始终为这些饼的。
环节二：探究新知
出示“平均分”，提问：你学过的数学知识中，哪些数跟“平均分”有关？
引出课题：分数和除法有什么关系？
环节二：探索研究分数和除法的关系
2.把3块饼平均分给4个小朋友，每人分得多少块？
（2）师生一起操作再次验证3小块为块。
3.把3块饼平均分给5个小朋友，每人分得多少块？
引导学生列出除法算式，形成板书。
4.观察板书（如下图）。
（1）引导学生区分表示关系的分数和表示具体数量的分数的相同点和不同点，并尝试理解为什么可以用这样的分数表示除法的商。
（2）小结：在除法里，被除数表示总数，除数表示份数；而表示具体数量的分数，分子就是总数，分母就是平均分的份数。因此，被除数相当于分子，除数相当于分母。
5.建立模型，用符号表示分数与除法的关系。
环节三：练习反思，体验分数与除法关系有什么用？
教学反思
上面两节课的引入和探究看似不同，实则两位教师对“分数的定义”及对学生的认知情况的判断是相似的。两位教师都基于“分数的份数定义”，借助操作、观察、比较，从“具体量”和“分率”的角度理解算理，然后通过不完全归纳得出分数和除法的关系。案例一中的教师停留在“被除数相当于分子，除数相当于分母”的表面形式，案例二的教师借助推演尝试引导学生理解“表示具体数量的分数，分子就是总数，分母就是平均分的份数”，实践的效果表明仅是教师的一厢情愿，学生并不領情。此外，笔者还收集了十余个该课案例，教学设计及实践效果与上述案例大同小异。
案例二的教师课后有这样一句自我评价，“因为我对学生的问题估计不足，试教效果并不十分理想”。笔者认为这是由两个原因造成的：首先是教师对“分数概念”的体系认识不清晰；其次是教师对学生认识“分数意义”思维上的障碍点判断有误。具体分析如下。
一、分数是一个兼具多重意义的数学概念
Kieren的研究提出分数的五个构想（subconstructs），即部分/整体、比率、商、度量和运作。这五个构想不但彼此互相关联，而且还可以从不同的观点来解释分数的意义，其中“部分/整体”是分数发展的基础。国内外大部分的研究者认同了这个观点。张丹教授认为这五个构想揭示了分数作为“量”和“率”两个维度，需要从四个方面来完成对分数多重意义的认识。如下图：
“比率”是指部分与整体的关系和部分与部分的关系。对比率的理解，可以帮助学生完成对分数的基本性质以及通分、约分等相关知识的理解。
“度量”指的是可以将分数理解为分数单位的累积。
“商”主要是指分数转化为除法之后运算的结果，它使学生对于分数的认识由“过程”凝聚到“对象”，即分数也是一个数，有大小，也可以和其他数一样进行运算。
以上四个方面没有先后之分、主次之别。换而言之，学生要完成对于分数多重意义的建构必须使这四者相辅相成。即不能简单地理解为到了某个阶段就必须或者只能达成对某个维度的学习，其他维度将不再涉及。
现行的小学数学教材，一般都采用以下的定义：将单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫作分数。表示把单位“1”平均分成多少份的数p（p≠0）叫作分母，表示取了多少份的数q叫作分子。分数写成，读作p分之q。
“份数定义”的好处是直观、明白易懂，强调了“平均”，特别是对“几分之几”做了贴切的说明，对理解以后的分数运算也有很重要的价值。但是，用“份数”来定义分数，也有不少缺点。首先，一份或几份的说法，仍然和自然数靠得很近，没有显示出这是一种新的数。其次，平均分一个大饼之后其中的一份或几份的说法，常让学生误解为分数总是小于1（比一个大饼小）。再次，由于分大饼或其他直观图的思维定势，不能适当选择单位量。 分数的真正来源，在于自然数除法的推广。分数是由除不尽引起的，除得尽仍是整数，除不尽就需要增添新数。“份数定义”显示过程，“商定义”表示结果，由“份数定义”到“商定义”是数系的扩充，这就是“分数和除法”这节课的目标。
数学知识的根本特点在于其很强的逻辑性和严密性。教学的结果，不仅应当掌握单个概念，而且还应当掌握每个具体课题和整个数学课程的完整的概念体系，数学理论的演绎结构，使数学概念构成了一个具有严密层级的体系。因此，帮助学生进行分数多维意义的关联与整合，形成完善的知识结构，教师首先要建立准确的概念体系，才能使教学有的放矢。
二、学生理解单位量的困难
数学知识间的内在联系是非常紧密的，每一部分不是孤立存在，它是前面知识的继承和发展，又是后面知识的基础和铺垫。站在整体的角度梳理教材“显性”和“隐形”相结合的体系，小学阶段的“分数”教学可分为五个阶段（如右上图）。
这五个阶段各有侧重，相互渗透、相互补充，共同帮助学生实现对分数意义理解的不断发展和整体建构。由此可见，平均分的“等分概念”对于五年级学生是重点但不是难点。那么学生的思维障碍在哪里呢？
在解决分数问题时最重要的一个概念就是“单位量”，也就是“单位1”。从文献中发现学生无论在解决“部分/全部”“子集/集合”或数轴上的分数问题时，都有确认单位量的困难。Figueras将学生在处理“部分/全部”及“子集/集合”的分数问题时，对确认单位量的困难分成三种类型：（1）忽略给定的单位量。犯此类错误的学生无法确认问题中的单位量。（2）受分子控制。犯此类错误的学生在解决分数问题时，只考虑到问题中的分子（分割后的量），解题过程深受分子的影响。（3）受分母控制。犯此类错误的学生在处理分数问题时，只考虑到问题中的分母（分割份数），解题过程深受分母的影响。
从上面的两个案例中，我们可以看到学生的具体分法虽然不一样，但借助实践操作都能准确得出结果为“3小块”。学生的困惑点在于受“份数定义”的影响，造成思维定势，忽略给定的单位量，默认总数为单位“1”。
综合以上分析，笔者做了如下的实践。
反思后再次教学实践
【案例】
环节一：设疑引出核心问题
出示“平均分”，提问：你学过的数学知识中，哪些数跟“平均分”有关？
引出课题：分数和除法有什么关系？
环节二：积极探索，研究分数和除法的关系
1.出示题目：把3个饼平均分给4个人，每人分得多少个？
2.学生操作验证。
3.学生展示不同的分法和结果。
（1）教师不评价，配合学生的想法用动画演示分饼过程，凸显分的方法不同，得到的块数相同。
充分展示学生的不同意见，将矛盾集中到“3小块究竟用哪个分数来表示？”
（学生的思考都有根有据，所以谁也说服不了谁）
（3）教师干预。
师：对于“每个人分到3小块”，大家意见是一致的。我们争论的焦点是有的同学认为3个饼为单位“1”，其他同学认为1个饼为单位“1”，谁也说服不了谁。不规定一下，我们的交流会很混乱。静静地想30秒，你们认为应该以谁为单位“1”比较合适？
生：问题“每个人分到几个饼”，其实已经在告诉我们1个饼为单位“1”了。
师：是的，很多时候大家表达的意思是一致的，但由于每个人设置的标准不同，就会很混乱，聪明的人这个时候就会“规定一下”，长度单位厘米、分米、米就是这样发明的。今天我们就规定“每人分到几个饼？”是以1个饼为单位量（同单位“1”）。
环节三：优化操作方法，脑海里先叠再分，丰富素材，不完全归纳出除法和分数的关系。
实践反思
实践中压缩操作时间，集中展示学生的不同分法，在较短的时间内将矛盾集中到——“3小块究竟以谁为单位量”。然后，引导学生经历“规定”，凸显确定单位量的重要性，为后续灵活合理解决分数应用问题埋下伏笔。
前面案例中的两位教师都尝试从区分“具体量”和“分率”的角度引导学生理解，但是细心一点会发现，教材、教参等都没有这两个概念。我们只有在一些教师的教学案例中看到过，笔者认为这是教师经验认识的体现，其“合法”地位值得商榷。另外，教师用两个更陌生、更抽象的概念来帮助學生建构分数意义，让学生如何“领情”？因此“确定单位量”才是“分数和除法”这节课应该引导学生突破的思维障碍点，从而进一步建构分数的多重意义。
奥苏伯尔说：“影响学习的最重要的原因是学生已经知道了什么，我们应该根据学生原有的知识状况进行教学影响。”这似乎更多的是在说学生的学习起点，但这其中不仅对应着学生的认知起点（知识储备、思维方式），更隐藏着学生发展可能性的秘密。发现学生的“真问题”不是目的，由此减少人为的复杂，让学生最大可能的发展，这才是教学的情怀。
参考文献：
[1]顿季安.学生研究的意义、状态与精神[J]. 北京教育学院学报（自然科学版），2009，4（2）.
[2]杨伊生. 儿童分数概念发展研究综述[J]..内蒙古师范大学学报（教育科学版），2008，2（6）.
[3]张丹.小学数学教学策略[M]. 北京：北京师范大学出版社，2010，（8）.
[4]张奠宙. 分数的定义[J]. 小学教学（数学版），2010，（01）.
（浙江省杭州市富阳区永兴小学 311400）
【关键词】分数概念 认知障碍 单位量 优化教学
人教版五年级下册“分数的意义”单元的第二节新授课“分数和除法”是一节难上的课。用学生的话来描述：本来我有点懂的，越上越糊涂了。课后学生对于“把2平方米的花圃平均分给3个小组，每个小组分到这个花圃的（ ），每个小组分得（ ）平方米”这种类型的题目屡做屡错，屡改屡错。为什么会这样呢？下面一起来看两则教学实践的案例。
初次教学实践
【案例一】
环节一：复习铺垫
把一些饼平均分给4个同学，每人分得几个？每人分得这些饼的几分之几？
初步感知因总数不一定，每人分几个无法确定，而每人分得的始终为这些饼的。
环节二：探究新知
出示“平均分”，提问：你学过的数学知识中，哪些数跟“平均分”有关？
引出课题：分数和除法有什么关系？
环节二：探索研究分数和除法的关系
2.把3块饼平均分给4个小朋友，每人分得多少块？
（2）师生一起操作再次验证3小块为块。
3.把3块饼平均分给5个小朋友，每人分得多少块？
引导学生列出除法算式，形成板书。
4.观察板书（如下图）。
（1）引导学生区分表示关系的分数和表示具体数量的分数的相同点和不同点，并尝试理解为什么可以用这样的分数表示除法的商。
（2）小结：在除法里，被除数表示总数，除数表示份数；而表示具体数量的分数，分子就是总数，分母就是平均分的份数。因此，被除数相当于分子，除数相当于分母。
5.建立模型，用符号表示分数与除法的关系。
环节三：练习反思，体验分数与除法关系有什么用？
教学反思
上面两节课的引入和探究看似不同，实则两位教师对“分数的定义”及对学生的认知情况的判断是相似的。两位教师都基于“分数的份数定义”，借助操作、观察、比较，从“具体量”和“分率”的角度理解算理，然后通过不完全归纳得出分数和除法的关系。案例一中的教师停留在“被除数相当于分子，除数相当于分母”的表面形式，案例二的教师借助推演尝试引导学生理解“表示具体数量的分数，分子就是总数，分母就是平均分的份数”，实践的效果表明仅是教师的一厢情愿，学生并不領情。此外，笔者还收集了十余个该课案例，教学设计及实践效果与上述案例大同小异。
案例二的教师课后有这样一句自我评价，“因为我对学生的问题估计不足，试教效果并不十分理想”。笔者认为这是由两个原因造成的：首先是教师对“分数概念”的体系认识不清晰；其次是教师对学生认识“分数意义”思维上的障碍点判断有误。具体分析如下。
一、分数是一个兼具多重意义的数学概念
Kieren的研究提出分数的五个构想（subconstructs），即部分/整体、比率、商、度量和运作。这五个构想不但彼此互相关联，而且还可以从不同的观点来解释分数的意义，其中“部分/整体”是分数发展的基础。国内外大部分的研究者认同了这个观点。张丹教授认为这五个构想揭示了分数作为“量”和“率”两个维度，需要从四个方面来完成对分数多重意义的认识。如下图：
“比率”是指部分与整体的关系和部分与部分的关系。对比率的理解，可以帮助学生完成对分数的基本性质以及通分、约分等相关知识的理解。
“度量”指的是可以将分数理解为分数单位的累积。
“商”主要是指分数转化为除法之后运算的结果，它使学生对于分数的认识由“过程”凝聚到“对象”，即分数也是一个数，有大小，也可以和其他数一样进行运算。
以上四个方面没有先后之分、主次之别。换而言之，学生要完成对于分数多重意义的建构必须使这四者相辅相成。即不能简单地理解为到了某个阶段就必须或者只能达成对某个维度的学习，其他维度将不再涉及。
现行的小学数学教材，一般都采用以下的定义：将单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫作分数。表示把单位“1”平均分成多少份的数p（p≠0）叫作分母，表示取了多少份的数q叫作分子。分数写成，读作p分之q。
“份数定义”的好处是直观、明白易懂，强调了“平均”，特别是对“几分之几”做了贴切的说明，对理解以后的分数运算也有很重要的价值。但是，用“份数”来定义分数，也有不少缺点。首先，一份或几份的说法，仍然和自然数靠得很近，没有显示出这是一种新的数。其次，平均分一个大饼之后其中的一份或几份的说法，常让学生误解为分数总是小于1（比一个大饼小）。再次，由于分大饼或其他直观图的思维定势，不能适当选择单位量。 分数的真正来源，在于自然数除法的推广。分数是由除不尽引起的，除得尽仍是整数，除不尽就需要增添新数。“份数定义”显示过程，“商定义”表示结果，由“份数定义”到“商定义”是数系的扩充，这就是“分数和除法”这节课的目标。
数学知识的根本特点在于其很强的逻辑性和严密性。教学的结果，不仅应当掌握单个概念，而且还应当掌握每个具体课题和整个数学课程的完整的概念体系，数学理论的演绎结构，使数学概念构成了一个具有严密层级的体系。因此，帮助学生进行分数多维意义的关联与整合，形成完善的知识结构，教师首先要建立准确的概念体系，才能使教学有的放矢。
二、学生理解单位量的困难
数学知识间的内在联系是非常紧密的，每一部分不是孤立存在，它是前面知识的继承和发展，又是后面知识的基础和铺垫。站在整体的角度梳理教材“显性”和“隐形”相结合的体系，小学阶段的“分数”教学可分为五个阶段（如右上图）。
这五个阶段各有侧重，相互渗透、相互补充，共同帮助学生实现对分数意义理解的不断发展和整体建构。由此可见，平均分的“等分概念”对于五年级学生是重点但不是难点。那么学生的思维障碍在哪里呢？
在解决分数问题时最重要的一个概念就是“单位量”，也就是“单位1”。从文献中发现学生无论在解决“部分/全部”“子集/集合”或数轴上的分数问题时，都有确认单位量的困难。Figueras将学生在处理“部分/全部”及“子集/集合”的分数问题时，对确认单位量的困难分成三种类型：（1）忽略给定的单位量。犯此类错误的学生无法确认问题中的单位量。（2）受分子控制。犯此类错误的学生在解决分数问题时，只考虑到问题中的分子（分割后的量），解题过程深受分子的影响。（3）受分母控制。犯此类错误的学生在处理分数问题时，只考虑到问题中的分母（分割份数），解题过程深受分母的影响。
从上面的两个案例中，我们可以看到学生的具体分法虽然不一样，但借助实践操作都能准确得出结果为“3小块”。学生的困惑点在于受“份数定义”的影响，造成思维定势，忽略给定的单位量，默认总数为单位“1”。
综合以上分析，笔者做了如下的实践。
反思后再次教学实践
【案例】
环节一：设疑引出核心问题
出示“平均分”，提问：你学过的数学知识中，哪些数跟“平均分”有关？
引出课题：分数和除法有什么关系？
环节二：积极探索，研究分数和除法的关系
1.出示题目：把3个饼平均分给4个人，每人分得多少个？
2.学生操作验证。
3.学生展示不同的分法和结果。
（1）教师不评价，配合学生的想法用动画演示分饼过程，凸显分的方法不同，得到的块数相同。
充分展示学生的不同意见，将矛盾集中到“3小块究竟用哪个分数来表示？”
（学生的思考都有根有据，所以谁也说服不了谁）
（3）教师干预。
师：对于“每个人分到3小块”，大家意见是一致的。我们争论的焦点是有的同学认为3个饼为单位“1”，其他同学认为1个饼为单位“1”，谁也说服不了谁。不规定一下，我们的交流会很混乱。静静地想30秒，你们认为应该以谁为单位“1”比较合适？
生：问题“每个人分到几个饼”，其实已经在告诉我们1个饼为单位“1”了。
师：是的，很多时候大家表达的意思是一致的，但由于每个人设置的标准不同，就会很混乱，聪明的人这个时候就会“规定一下”，长度单位厘米、分米、米就是这样发明的。今天我们就规定“每人分到几个饼？”是以1个饼为单位量（同单位“1”）。
环节三：优化操作方法，脑海里先叠再分，丰富素材，不完全归纳出除法和分数的关系。
实践反思
实践中压缩操作时间，集中展示学生的不同分法，在较短的时间内将矛盾集中到——“3小块究竟以谁为单位量”。然后，引导学生经历“规定”，凸显确定单位量的重要性，为后续灵活合理解决分数应用问题埋下伏笔。
前面案例中的两位教师都尝试从区分“具体量”和“分率”的角度引导学生理解，但是细心一点会发现，教材、教参等都没有这两个概念。我们只有在一些教师的教学案例中看到过，笔者认为这是教师经验认识的体现，其“合法”地位值得商榷。另外，教师用两个更陌生、更抽象的概念来帮助學生建构分数意义，让学生如何“领情”？因此“确定单位量”才是“分数和除法”这节课应该引导学生突破的思维障碍点，从而进一步建构分数的多重意义。
奥苏伯尔说：“影响学习的最重要的原因是学生已经知道了什么，我们应该根据学生原有的知识状况进行教学影响。”这似乎更多的是在说学生的学习起点，但这其中不仅对应着学生的认知起点（知识储备、思维方式），更隐藏着学生发展可能性的秘密。发现学生的“真问题”不是目的，由此减少人为的复杂，让学生最大可能的发展，这才是教学的情怀。
参考文献：
[1]顿季安.学生研究的意义、状态与精神[J]. 北京教育学院学报（自然科学版），2009，4（2）.
[2]杨伊生. 儿童分数概念发展研究综述[J]..内蒙古师范大学学报（教育科学版），2008，2（6）.
[3]张丹.小学数学教学策略[M]. 北京：北京师范大学出版社，2010，（8）.
[4]张奠宙. 分数的定义[J]. 小学教学（数学版），2010，（01）.
（浙江省杭州市富阳区永兴小学 311400）