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【中图分类号】TM935.46+2 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2017）07-0051-01
小学数学一年级在教学拨计数器时，对于它的每个数位上是否能超过10颗珠子？教师有两种不同的意见：一种认为不能的，理由是（以个位为例）当数叠加到10时，就成了两位数，十位上是1，个位上是0，而个位只能表示一位数，最大的一位数是9，所以各数位上最多只能拨9颗珠，否则满了十就增多了一个位数。另一种认为能的，理由10即表示1个十，也可以表示10个一，1个十就是在十位上拨1颗珠，10个一就是在个位上拨10颗珠。以此类推，如21即可以表示2个十和1个一，也可以表示21个一，即个位可以拨21颗珠，所以每个数位上拨的珠可以超过10颗。两种不同的观点衍生出两种不同的计数器，前一种观点的老师在教学中使用“封闭式”计数器（每个数位是封闭的，最多只能拨10颗珠），后一种观点的老师采用的是“开放式”计数器（每个数位是开放的，虽然棍子有长短，但可以通过画图的方式无限延长）。哪种计数器能更好地辅助教学，促进学生的发展呢？
下面以北师大版一年级下册第 68页的两位数加一位数（进位加法）为例，围绕算式28+4等于几？进行计数器教学实践，通过对比，引发思考。
28+4等于几？
1、借助小棒计算
2、借助计数器计算 “封闭式”计数器（每个数位是封闭的，最多只能拨10颗珠）拨法，最后结果呈现：
课中巡视了解学生的想法：你是怎么拨的？
生1：先拨28，个位上不够4颗珠，先拨2颗珠，再将10颗珠换成十位上1颗珠，最后在个位上再拨2颗珠。（只有个别同学能说出此种方法）
生2：先拨出28，再在十位上拨1颗珠，个位上拨去6颗，让它剩下2颗珠。（注：孩子认为个位上8+4=12，就在十位上拨1，个位上拨2。也有个别同学想法是：6和4凑成10，满十进一。）
生3：个位上是8+4=12，先拨12，再加上20就是32。
生4：28+4=32就在十位上拨3，个位上拨2。
生5：老师，没办法拨，因为个位上要加4，它只剩下2颗珠。 “开放式”计数器（每个数位是开放的，虽然棍子有长短，但可以通过画图的方式无限延长）拨法，最后结果呈现：
课中巡视了解学生的想法：你是怎么拨的？
生1：先拨28，加上4，就是加上4个一，在个位上再拨4颗珠就行了。（如图1）
生2：先拨28，再在个位上加上4颗珠，个位上的珠子超过了10颗，就可以换成十位上的1颗，就是32了。（如图2）
3、借助竖式计算
一、化抽象为具体，再现知识发展过程。
最早数的产生是“相同的物、结绳、图形符号”的简单叠加。随着社会的发展，数越来越大，出现了用“大小物、图形符号”来表示大小数，当这些都无法满足生产生活需求时，出现了阿拉伯数字和位值制，利用0-9这10个数字放在不同的数位上表示不同数量多少， “数”逐渐抽象化。而计数器最大的特点就是如同“还原精灵”一般，能把抽象的“数”的内涵“还原”，具体化。它在数学计算教学中的作用之一就是使那些看不见摸不着的算理算法，借助拨珠鲜活地再现出来，使我们直观地感受知识的发展过程。 上面两种计数器，哪一种才能真正发挥其优势呢？
“28+4”这两个数的合并，并不是随意叠加，是有规矩的，只能将相同的计数单位进行相加。 “封闭式”计数器呈现的计算过程是：8+2=10，10+20=30，0+2=2，30+2=32。个位上的8个一与4个一的简单叠加被复杂化，4个一被强制分成两次加，在个位加上2个珠时，插入了十位上2+1=3，接着又返回个位上加上2颗珠，个位与十位的穿插加，如同一个书包杂乱地堆放着各种书，混淆学生的思维。
“开放式”计数器，由于各数位上的珠子数量无限制，它能将算理与算法借助拨珠形象地展示出来：怎样拨28，为什么在十位上拨2，在个位上拨8，它们各表示什么意思，加4要怎么拨，为什么？学生边拨珠边理解数的意义，借助动作直观体验到个位上是表示一个一个数的，“8”和“4”表示的意义一样，“4”应该和“8”放在一起，个位上8颗珠子与4颗珠子可以进行简单叠加（即将相同数数单位相加）。在这个过程，之于学生是没有任何阻碍，它将抽象的语言、符号借助直观形象地动作表征方式再现出来，将“理”与“法”回归最原始的“叠加”状态，并有机地结合在一起，顺应知识的发展过程，符合学生思维的发展特点，同时体现加法的本质特点。
二、化繁为简，打通知识关节。
计数器在数学计算教学中的作用之二就是它有完整的位值制，能利用小小的珠子再次演绎数由少到多，由繁到简的过程，以此打通知识“关节”，引发学生思考，促进思维的发展。
以上两种计数器，在使用过程中出现明显不同的成效。在计算“28+4”时，表示将两部分合并成一部分，也就是将两部分进行叠加，数量由少变多，主要“关节”是“满十进一”。
“封闭式”计数器采用强制性的方法：数位上如果满十必须先向前一位进一，不进一就不能继续算。因此，拨的过程中要想：个位8能与几凑成10，4要分成几和几，个位满十进一后还要再拨几？低年级的孩子以短时记忆为主，一系列的思维活动，即使有计数器作为依托，但脑海中要有序地进行分析、思考这些问题，难度还是很大，他们经常拨了前面的忘了后面的，尤其对于中差生，这时的计数器之于他们不是学习的助手，而是高难度的学习内容。他们无从下手，怎么办？于是他们有的用已经会的其它方法把算出來的结果在计数器上拨出结果；有的把个位的8颗珠拨掉向十位进一后，接着就不知道怎么拨了；有的则是先算出8+4=12后，直接在计数器上拨出32……计数器在这个过程中成了学生的学习负担，失去其辅助的功能。
“开放式”计数器，由于各个数位上的珠子可以无限叠加，就如同“结绳计数”，珠子就是那些“绳结”，当孩子们明白了相同数数单位放一起的道理后，就在相同数位上进行简单叠加（如上表），中差生拨珠后呈现的最后结果（如图1），优生则在叠加后能进行优化，“满十进一”后呈现最优的结果（如图2）。这种计数器让每个孩子都有的放矢。他们在珠子累计的过程中，感受数由小变大，由简单变复杂了（如图1），激发学生去改进数，“这么多珠子数起来很麻烦，怎样才能让人一眼就看出是多少呢？”“可以把个位上的10颗珠子捆成1捆（受到捆小棒的启发），换成十位上的1颗珠子” （如图2）。这时候的“满十进一”不是老师逼迫孩子必须这么做，而是学生不满足现状的改良，这是数位产生的原因，同时也是数发展的必经过程。 “封闭式”计数器采用是强迫式，压制式的的手法“加塞关节”，反而让学生感到计数器好难，计算好難。“开放式”则充分地发挥计数器的优势，以珠子的简单叠加为基础，由少增多，产生视觉与思维地矛盾冲突，产生要简化的需求，再化繁为简，以此疏通关节，这时的“满十进一”是可以看到、摸到、想到，可以理解、接受、运用的。
三、化零为整，形成知识脉络。
任何知识都不是孤立存在的，它既有生命实践活动的现实基础，同时也与其他知识之间相互关联。在教学中注意引导学生认识和把握知识之间内在的共通性与互补性，不仅可以使学生形成整体和系统的知识观，更好地整体把握知识，而且还可以使学生实现知识的融会贯通，真正地内化和灵活运用知识。
计算28+4的过程中，教师借助具体的小棒操作（如图3）→在指定的标有数学元素的“数位表”计数器拨珠→抽象的数字符号竖式计算（如图4），层层深入，由易到难，由具体操作水平向抽象逻辑水平发展。这三种方法既是独立的存在，又有本质共性。当学生根据各自的知识水平选择其中一种方法解决28+4=32时，并不是教学的结束，而是刚刚进入教学重点：
师：“这三种方法有什么相同的地方”？
生1：它们都是在算28+4。
生2：它们都是把相同数数单位进行相加，也就是都是把8+4。（让学生上台指出三种方法的8+4在哪）
生3：它们都有满十进一。
师：谁来介绍一下摆小棒、拨计数器、竖式计算，它们的满十进一都在哪？
生上台指，老师引导学生把小棒中长方形方框里圈起来的10根换成1捆，把计数器（图1）中个位上的10颗珠换成十位上1颗珠（变成图2），并让学生指出这小棒中的1捆和计数器十位上的1颗珠在竖式计算的哪里？
师：看来，这三种方法的“样子”长得不一样，但是它们表示的意义是……（一样的）
摆小棒、拨计数器、竖式计算都可以单独解决“28+4等于几”这个问题，它们又同时体现相同的运算方法和算理：相同数位相加，满十进一。然而“封闭式”计数器在此与小棒和竖式的联系却不紧密，它的“满十进一”是在逼迫下的一个短暂停留的过程，而“开放式”计数器的拨算方法却可以与其它两种方法形成一个整体。经过上下沟通后，原来只是零散的作为计算辅助工具的各种方法，却紧紧围绕着加法运算的本质特征展开，学生的学习也由“选择一种你喜欢的方法进行计算”发展为：教师指定一种方法，他们可以随心所欲用相通的算理进行解决。
综上所述，开放了计数器就如同疏通了知识的脉络，学生从仅仅对知识掌握的关注到对其背后的过程形态知识的关注，从仅仅对散点知识的关注到对其背后的关系形态的关注，形成了知识由具体到抽象、由局部到整体、由过程到结果的提升，这样的教学才是以培养人的生命自觉为目的，致力于每一个学生发展的教学。[1]
参考文献：
[1]吴亚萍著：《中小学数学教学课型研究》，福建教育出版社，2014.10
小学数学一年级在教学拨计数器时，对于它的每个数位上是否能超过10颗珠子？教师有两种不同的意见：一种认为不能的，理由是（以个位为例）当数叠加到10时，就成了两位数，十位上是1，个位上是0，而个位只能表示一位数，最大的一位数是9，所以各数位上最多只能拨9颗珠，否则满了十就增多了一个位数。另一种认为能的，理由10即表示1个十，也可以表示10个一，1个十就是在十位上拨1颗珠，10个一就是在个位上拨10颗珠。以此类推，如21即可以表示2个十和1个一，也可以表示21个一，即个位可以拨21颗珠，所以每个数位上拨的珠可以超过10颗。两种不同的观点衍生出两种不同的计数器，前一种观点的老师在教学中使用“封闭式”计数器（每个数位是封闭的，最多只能拨10颗珠），后一种观点的老师采用的是“开放式”计数器（每个数位是开放的，虽然棍子有长短，但可以通过画图的方式无限延长）。哪种计数器能更好地辅助教学，促进学生的发展呢？
下面以北师大版一年级下册第 68页的两位数加一位数（进位加法）为例，围绕算式28+4等于几？进行计数器教学实践，通过对比，引发思考。
28+4等于几？
1、借助小棒计算
2、借助计数器计算 “封闭式”计数器（每个数位是封闭的，最多只能拨10颗珠）拨法，最后结果呈现：
课中巡视了解学生的想法：你是怎么拨的？
生1：先拨28，个位上不够4颗珠，先拨2颗珠，再将10颗珠换成十位上1颗珠，最后在个位上再拨2颗珠。（只有个别同学能说出此种方法）
生2：先拨出28，再在十位上拨1颗珠，个位上拨去6颗，让它剩下2颗珠。（注：孩子认为个位上8+4=12，就在十位上拨1，个位上拨2。也有个别同学想法是：6和4凑成10，满十进一。）
生3：个位上是8+4=12，先拨12，再加上20就是32。
生4：28+4=32就在十位上拨3，个位上拨2。
生5：老师，没办法拨，因为个位上要加4，它只剩下2颗珠。 “开放式”计数器（每个数位是开放的，虽然棍子有长短，但可以通过画图的方式无限延长）拨法，最后结果呈现：
课中巡视了解学生的想法：你是怎么拨的？
生1：先拨28，加上4，就是加上4个一，在个位上再拨4颗珠就行了。（如图1）
生2：先拨28，再在个位上加上4颗珠，个位上的珠子超过了10颗，就可以换成十位上的1颗，就是32了。（如图2）
3、借助竖式计算
一、化抽象为具体，再现知识发展过程。
最早数的产生是“相同的物、结绳、图形符号”的简单叠加。随着社会的发展，数越来越大，出现了用“大小物、图形符号”来表示大小数，当这些都无法满足生产生活需求时，出现了阿拉伯数字和位值制，利用0-9这10个数字放在不同的数位上表示不同数量多少， “数”逐渐抽象化。而计数器最大的特点就是如同“还原精灵”一般，能把抽象的“数”的内涵“还原”，具体化。它在数学计算教学中的作用之一就是使那些看不见摸不着的算理算法，借助拨珠鲜活地再现出来，使我们直观地感受知识的发展过程。 上面两种计数器，哪一种才能真正发挥其优势呢？
“28+4”这两个数的合并，并不是随意叠加，是有规矩的，只能将相同的计数单位进行相加。 “封闭式”计数器呈现的计算过程是：8+2=10，10+20=30，0+2=2，30+2=32。个位上的8个一与4个一的简单叠加被复杂化，4个一被强制分成两次加，在个位加上2个珠时，插入了十位上2+1=3，接着又返回个位上加上2颗珠，个位与十位的穿插加，如同一个书包杂乱地堆放着各种书，混淆学生的思维。
“开放式”计数器，由于各数位上的珠子数量无限制，它能将算理与算法借助拨珠形象地展示出来：怎样拨28，为什么在十位上拨2，在个位上拨8，它们各表示什么意思，加4要怎么拨，为什么？学生边拨珠边理解数的意义，借助动作直观体验到个位上是表示一个一个数的，“8”和“4”表示的意义一样，“4”应该和“8”放在一起，个位上8颗珠子与4颗珠子可以进行简单叠加（即将相同数数单位相加）。在这个过程，之于学生是没有任何阻碍，它将抽象的语言、符号借助直观形象地动作表征方式再现出来，将“理”与“法”回归最原始的“叠加”状态，并有机地结合在一起，顺应知识的发展过程，符合学生思维的发展特点，同时体现加法的本质特点。
二、化繁为简，打通知识关节。
计数器在数学计算教学中的作用之二就是它有完整的位值制，能利用小小的珠子再次演绎数由少到多，由繁到简的过程，以此打通知识“关节”，引发学生思考，促进思维的发展。
以上两种计数器，在使用过程中出现明显不同的成效。在计算“28+4”时，表示将两部分合并成一部分，也就是将两部分进行叠加，数量由少变多，主要“关节”是“满十进一”。
“封闭式”计数器采用强制性的方法：数位上如果满十必须先向前一位进一，不进一就不能继续算。因此，拨的过程中要想：个位8能与几凑成10，4要分成几和几，个位满十进一后还要再拨几？低年级的孩子以短时记忆为主，一系列的思维活动，即使有计数器作为依托，但脑海中要有序地进行分析、思考这些问题，难度还是很大，他们经常拨了前面的忘了后面的，尤其对于中差生，这时的计数器之于他们不是学习的助手，而是高难度的学习内容。他们无从下手，怎么办？于是他们有的用已经会的其它方法把算出來的结果在计数器上拨出结果；有的把个位的8颗珠拨掉向十位进一后，接着就不知道怎么拨了；有的则是先算出8+4=12后，直接在计数器上拨出32……计数器在这个过程中成了学生的学习负担，失去其辅助的功能。
“开放式”计数器，由于各个数位上的珠子可以无限叠加，就如同“结绳计数”，珠子就是那些“绳结”，当孩子们明白了相同数数单位放一起的道理后，就在相同数位上进行简单叠加（如上表），中差生拨珠后呈现的最后结果（如图1），优生则在叠加后能进行优化，“满十进一”后呈现最优的结果（如图2）。这种计数器让每个孩子都有的放矢。他们在珠子累计的过程中，感受数由小变大，由简单变复杂了（如图1），激发学生去改进数，“这么多珠子数起来很麻烦，怎样才能让人一眼就看出是多少呢？”“可以把个位上的10颗珠子捆成1捆（受到捆小棒的启发），换成十位上的1颗珠子” （如图2）。这时候的“满十进一”不是老师逼迫孩子必须这么做，而是学生不满足现状的改良，这是数位产生的原因，同时也是数发展的必经过程。 “封闭式”计数器采用是强迫式，压制式的的手法“加塞关节”，反而让学生感到计数器好难，计算好難。“开放式”则充分地发挥计数器的优势，以珠子的简单叠加为基础，由少增多，产生视觉与思维地矛盾冲突，产生要简化的需求，再化繁为简，以此疏通关节，这时的“满十进一”是可以看到、摸到、想到，可以理解、接受、运用的。
三、化零为整，形成知识脉络。
任何知识都不是孤立存在的，它既有生命实践活动的现实基础，同时也与其他知识之间相互关联。在教学中注意引导学生认识和把握知识之间内在的共通性与互补性，不仅可以使学生形成整体和系统的知识观，更好地整体把握知识，而且还可以使学生实现知识的融会贯通，真正地内化和灵活运用知识。
计算28+4的过程中，教师借助具体的小棒操作（如图3）→在指定的标有数学元素的“数位表”计数器拨珠→抽象的数字符号竖式计算（如图4），层层深入，由易到难，由具体操作水平向抽象逻辑水平发展。这三种方法既是独立的存在，又有本质共性。当学生根据各自的知识水平选择其中一种方法解决28+4=32时，并不是教学的结束，而是刚刚进入教学重点：
师：“这三种方法有什么相同的地方”？
生1：它们都是在算28+4。
生2：它们都是把相同数数单位进行相加，也就是都是把8+4。（让学生上台指出三种方法的8+4在哪）
生3：它们都有满十进一。
师：谁来介绍一下摆小棒、拨计数器、竖式计算，它们的满十进一都在哪？
生上台指，老师引导学生把小棒中长方形方框里圈起来的10根换成1捆，把计数器（图1）中个位上的10颗珠换成十位上1颗珠（变成图2），并让学生指出这小棒中的1捆和计数器十位上的1颗珠在竖式计算的哪里？
师：看来，这三种方法的“样子”长得不一样，但是它们表示的意义是……（一样的）
摆小棒、拨计数器、竖式计算都可以单独解决“28+4等于几”这个问题，它们又同时体现相同的运算方法和算理：相同数位相加，满十进一。然而“封闭式”计数器在此与小棒和竖式的联系却不紧密，它的“满十进一”是在逼迫下的一个短暂停留的过程，而“开放式”计数器的拨算方法却可以与其它两种方法形成一个整体。经过上下沟通后，原来只是零散的作为计算辅助工具的各种方法，却紧紧围绕着加法运算的本质特征展开，学生的学习也由“选择一种你喜欢的方法进行计算”发展为：教师指定一种方法，他们可以随心所欲用相通的算理进行解决。
综上所述，开放了计数器就如同疏通了知识的脉络，学生从仅仅对知识掌握的关注到对其背后的过程形态知识的关注，从仅仅对散点知识的关注到对其背后的关系形态的关注，形成了知识由具体到抽象、由局部到整体、由过程到结果的提升，这样的教学才是以培养人的生命自觉为目的，致力于每一个学生发展的教学。[1]
参考文献：
[1]吴亚萍著：《中小学数学教学课型研究》，福建教育出版社，2014.10