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1. 定义应用中的错误
例1 用定义法求[02x3dx]的值.
错解 第一步——分割：把区间[0，2] 分成[2n]等分，则[△x＝1n]．
第二步——近似代替：[ΔSi=fξiΔx=in3⋅Δx.]
第三步——求和：[1nΔSi=1nin3⋅1n.]
第四步——取极限：[S=][limx→∞][1n4⋅14n2⋅n+12=14.]
∴ [02x3dx]=[14]．
分析 用定义法求积分可分四步：分割，近似代替，求和，取极限．这里认为教材中区间为[0，1]时将区间分成[n]等分，本题是[0，2]因此要分成[2n]等分，没有理解定义，同时解题跨步太大.
正解 第一步——分割：
把区间[0，2] 分成[n]等分，则[△x=2n]．
第二步——近似代替：
△[Si=f(ξi)Δx=2in3Δx]
第三步——求和：
[i=1nΔSi≈i=1n2in3Δx][=i=1n2in3·2n].
第四步——取极限：
[S=limn→∞2n2n3+4n3+⋯+2nn3]
[=limn→∞24n413+23+⋯+n3=limn→∞[24n4×14n2(n+1)2]]
[=limn→∞4(n2+2n+1)n2]=4．
∴[02x3dx]=4.
点拨 本题运用微积分的基本定义法来求非常简单．一般地，其它方法计算定积分比较困难时，用定义法，应注意把区间[n]等分，同时注意其四个步骤中的关键环节是求和，体现的思想方法是先分后合，以直代曲．
2. 微积分基本定理中的错误
例2 求下列定积分的值：（1）[12(x2+2x+1)dx]；（2）[12lnxdx]；（3）[033dx].
错解 （1）[12(x2+2x+1)dx]
=[2x+221=4+2-4=2].
（2）[12lnxdx=1x+c21=-12].
（3）[033dx=0].
分析 没理解微积分基本定理中[Fx=fx].
正解 （1）函数[y＝x2+2x+1]的一个原函数是[y＝x33+x2+x]．
所以[12(x2+2x+1)dx]＝[(x33+x2+x)21]
[=83+4+2-13+1+1]=[193]．
（2）（3）略.
点拨 运用微积分基本定理计算定积分的关键是找到满足[Fx=fx]的被积函数的原函数[F(x)].常数的原函数是一次函数.
3. 几何意义应用中的错误
例3 （1）求由曲线[y=x3]与直线 [x=-1]，[x=2]及[x]轴所围成的平面图形的面积．
（2）求定积分[12|3-2x|dx].
错解 （1）如图可得[A=-12x3dx=14x42-1=154].
（2）当[1≤x≤32]时，
[12|3-2x|dx=12(3-2x)dx=(3x-x2)21=0].
当[32 [12|3-2x|dx=12(3-2x)dx=-6.]
故所求值为0或-6.
分析 （1）几何问题中图形位于[x]轴下方时，定积分为负值，要通过取绝对值将其变为正值计算. （2）去绝对值后，没有在对应区间求值.
正解 （1）[A=-12x3dx=-10-x3dx+02x3dx=174.]
（2）[12(3-2x)dx=132(3-2x)dx+322(2x-3)dx]
[=3x-x2321+x2-3x232=12].
点拨 （1）若图形中有[x]轴下方部分，要适当分区间考虑，通过取绝对值将其变为正值；（2）若被积函数是分段函数，当分段点在积分区间内时，计算定积分要注意定积分对应区间的可加性.
4. 性质应用中的错误
例4 计算定积分[024-2x4-x2dx]
错解 [024-2x4-x2dx]
[=024-2xdx×024-x2dx]
[=4x-x220×4x-13x320=643].
分析 误用性质公式，性质公式中只有和（差）的积分等于积分的和（差），没有积的积分等于积分的积.
正解 [024-2x4-x2dx]
[=0216-8x-4x2+2x3dx=403.]
例5 求下列定积分：（1）[-π4π4tanxdx]；（2）[-ππx2sinxx2+1dx]．
主要问题 对这类题因原函数很难找到，我们很难通过微积分的基本定理求解.
分析 对于（1）用微积分的基本定理可以解决，而（2）的原函数很难找到，若运用奇偶函数在对称区间的积分性质，则能迎刃而解．
解 由被积函数[tanx]及[x2sinxx2+1]是奇函数，所以在对称区间的积分值均为零．
所以（1）[-π4π4tanxdx]＝0.
（2）[-ππx2sinxx2+1dx]＝0．
点拨 （1）只有正确地理解性质，才能掌握其特征，从而正确地运用性质与公式解题.（2）一般地，若[f(x)]在[[－a，a]]上连续，则有性质：①当[f(x)]为偶函数时，[-aaf(x)dx]＝2[0af(x)dx]；②当[f(x)]为奇函数时，[-aaf(x)dx]＝0．
5. 换元计算中错误
例6 计算[0aa2-x2dxa>0].
错解 设[x=asint,dx=acostdt]，则有
[0aa2-x2dx=0aacost⋅acostdt]
[=a22t+12sin2ta0][=a22a+12sin2a].
分析 自变量换元后对应角没有相应的变换.
正解 设[x=asint,dx=acostdt]，
当[x=0]时,[t=0],当[x=a]时,[t=π2],
[0aa2-x2dx=0π2acost⋅acostdt]
[=a22t+12sin2tπ20][=π4a2].
点拨 应用定积分的换元积分法计算定积分时，省略了将新积分变量还原为原积分变量的步骤，但要注意换元的同时要换积分限.另外，求定积分时，除了防止出现上面各类问题外，还要防止出现计算中的错误，如：[12x-12xdx=12x2-1xdx=12(x-1x)dx=(x2-lnx)21][=3-ln2].
6. 实际应用出错
定积分可以用来解决平面几何中的面积问题．其实，除几何方面外，定积分在工程、物理等方面的应用也极其广泛，可以用来处理变速直线运动的路程和速度问题，也可以用来解决变力做功的问题等．
例7 模拟火箭自静止开始竖直向上发射，设起动时即有最大加速度，以此时为起点，加速度满足[a(t)=100-4t2]，求火箭前[5s]内的位移．
错解 由题设知，
[s(5)=05a(t)dt=][05(100-4t2)dt]
[=(100t-43t3)50=][100×5-43×53=10003]，
即火箭前[5s]内的位移为[10003]．
分析 错误的原因在于对实际应用中的相关问题理解不够透彻，关系混淆．变速直线运动的路程问题的一般解法：作变速直线运动的物体所经过的路程[s]，等于其速度函数[v=v(t) (v(t)≥0)]在时间区间[[a，b]]上的定积分，即[s= a bv(t)dt]．而变速直线运动的速度问题的一般解法：作变速直线运动的物体所具有的速度[v]，等于其加速度函数[a=a(t)]在时间区间[[a，b]]上的定积分，即[V= a ba(t)dt].
正解 由题设知，[t=t0=0]，[v(0)=0]，[s(0)=0]，
所以[v(t)=0t(100-4t2)dt=100t-43t3]，
那么[s(5)=05v(t)dt=05(100t-43t3)dt]
[=(50t2-13t4)50=31253].
即火箭前[5s]内的位移为[31253]．
点拨 先通过定积分求解变速直线运动的物体所具有的速度函数[v(t)]，再根据已求的速度函数，通过定积分求解在对应时间的位移．
练习
1. 计算[0π2sinxcos2xdx].
2. 计算[-55x3sin2xx4+2x2+1dx].
3. 计算[023a2dx].
4. 若[0xf(t)dt=x24]，则[041xf(x)dx=] .
A. 16 B. 8 C. 4 D. 2
5. 求由函数[y=x]与[y=x]所围成的图形的面积.
答案
1. [14] 2. 0 3. [6a2] 4. D 5. [16]
例1 用定义法求[02x3dx]的值.
错解 第一步——分割：把区间[0，2] 分成[2n]等分，则[△x＝1n]．
第二步——近似代替：[ΔSi=fξiΔx=in3⋅Δx.]
第三步——求和：[1nΔSi=1nin3⋅1n.]
第四步——取极限：[S=][limx→∞][1n4⋅14n2⋅n+12=14.]
∴ [02x3dx]=[14]．
分析 用定义法求积分可分四步：分割，近似代替，求和，取极限．这里认为教材中区间为[0，1]时将区间分成[n]等分，本题是[0，2]因此要分成[2n]等分，没有理解定义，同时解题跨步太大.
正解 第一步——分割：
把区间[0，2] 分成[n]等分，则[△x=2n]．
第二步——近似代替：
△[Si=f(ξi)Δx=2in3Δx]
第三步——求和：
[i=1nΔSi≈i=1n2in3Δx][=i=1n2in3·2n].
第四步——取极限：
[S=limn→∞2n2n3+4n3+⋯+2nn3]
[=limn→∞24n413+23+⋯+n3=limn→∞[24n4×14n2(n+1)2]]
[=limn→∞4(n2+2n+1)n2]=4．
∴[02x3dx]=4.
点拨 本题运用微积分的基本定义法来求非常简单．一般地，其它方法计算定积分比较困难时，用定义法，应注意把区间[n]等分，同时注意其四个步骤中的关键环节是求和，体现的思想方法是先分后合，以直代曲．
2. 微积分基本定理中的错误
例2 求下列定积分的值：（1）[12(x2+2x+1)dx]；（2）[12lnxdx]；（3）[033dx].
错解 （1）[12(x2+2x+1)dx]
=[2x+221=4+2-4=2].
（2）[12lnxdx=1x+c21=-12].
（3）[033dx=0].
分析 没理解微积分基本定理中[Fx=fx].
正解 （1）函数[y＝x2+2x+1]的一个原函数是[y＝x33+x2+x]．
所以[12(x2+2x+1)dx]＝[(x33+x2+x)21]
[=83+4+2-13+1+1]=[193]．
（2）（3）略.
点拨 运用微积分基本定理计算定积分的关键是找到满足[Fx=fx]的被积函数的原函数[F(x)].常数的原函数是一次函数.
3. 几何意义应用中的错误
例3 （1）求由曲线[y=x3]与直线 [x=-1]，[x=2]及[x]轴所围成的平面图形的面积．
（2）求定积分[12|3-2x|dx].
错解 （1）如图可得[A=-12x3dx=14x42-1=154].
（2）当[1≤x≤32]时，
[12|3-2x|dx=12(3-2x)dx=(3x-x2)21=0].
当[32
故所求值为0或-6.
分析 （1）几何问题中图形位于[x]轴下方时，定积分为负值，要通过取绝对值将其变为正值计算. （2）去绝对值后，没有在对应区间求值.
正解 （1）[A=-12x3dx=-10-x3dx+02x3dx=174.]
（2）[12(3-2x)dx=132(3-2x)dx+322(2x-3)dx]
[=3x-x2321+x2-3x232=12].
点拨 （1）若图形中有[x]轴下方部分，要适当分区间考虑，通过取绝对值将其变为正值；（2）若被积函数是分段函数，当分段点在积分区间内时，计算定积分要注意定积分对应区间的可加性.
4. 性质应用中的错误
例4 计算定积分[024-2x4-x2dx]
错解 [024-2x4-x2dx]
[=024-2xdx×024-x2dx]
[=4x-x220×4x-13x320=643].
分析 误用性质公式，性质公式中只有和（差）的积分等于积分的和（差），没有积的积分等于积分的积.
正解 [024-2x4-x2dx]
[=0216-8x-4x2+2x3dx=403.]
例5 求下列定积分：（1）[-π4π4tanxdx]；（2）[-ππx2sinxx2+1dx]．
主要问题 对这类题因原函数很难找到，我们很难通过微积分的基本定理求解.
分析 对于（1）用微积分的基本定理可以解决，而（2）的原函数很难找到，若运用奇偶函数在对称区间的积分性质，则能迎刃而解．
解 由被积函数[tanx]及[x2sinxx2+1]是奇函数，所以在对称区间的积分值均为零．
所以（1）[-π4π4tanxdx]＝0.
（2）[-ππx2sinxx2+1dx]＝0．
点拨 （1）只有正确地理解性质，才能掌握其特征，从而正确地运用性质与公式解题.（2）一般地，若[f(x)]在[[－a，a]]上连续，则有性质：①当[f(x)]为偶函数时，[-aaf(x)dx]＝2[0af(x)dx]；②当[f(x)]为奇函数时，[-aaf(x)dx]＝0．
5. 换元计算中错误
例6 计算[0aa2-x2dxa>0].
错解 设[x=asint,dx=acostdt]，则有
[0aa2-x2dx=0aacost⋅acostdt]
[=a22t+12sin2ta0][=a22a+12sin2a].
分析 自变量换元后对应角没有相应的变换.
正解 设[x=asint,dx=acostdt]，
当[x=0]时,[t=0],当[x=a]时,[t=π2],
[0aa2-x2dx=0π2acost⋅acostdt]
[=a22t+12sin2tπ20][=π4a2].
点拨 应用定积分的换元积分法计算定积分时，省略了将新积分变量还原为原积分变量的步骤，但要注意换元的同时要换积分限.另外，求定积分时，除了防止出现上面各类问题外，还要防止出现计算中的错误，如：[12x-12xdx=12x2-1xdx=12(x-1x)dx=(x2-lnx)21][=3-ln2].
6. 实际应用出错
定积分可以用来解决平面几何中的面积问题．其实，除几何方面外，定积分在工程、物理等方面的应用也极其广泛，可以用来处理变速直线运动的路程和速度问题，也可以用来解决变力做功的问题等．
例7 模拟火箭自静止开始竖直向上发射，设起动时即有最大加速度，以此时为起点，加速度满足[a(t)=100-4t2]，求火箭前[5s]内的位移．
错解 由题设知，
[s(5)=05a(t)dt=][05(100-4t2)dt]
[=(100t-43t3)50=][100×5-43×53=10003]，
即火箭前[5s]内的位移为[10003]．
分析 错误的原因在于对实际应用中的相关问题理解不够透彻，关系混淆．变速直线运动的路程问题的一般解法：作变速直线运动的物体所经过的路程[s]，等于其速度函数[v=v(t) (v(t)≥0)]在时间区间[[a，b]]上的定积分，即[s= a bv(t)dt]．而变速直线运动的速度问题的一般解法：作变速直线运动的物体所具有的速度[v]，等于其加速度函数[a=a(t)]在时间区间[[a，b]]上的定积分，即[V= a ba(t)dt].
正解 由题设知，[t=t0=0]，[v(0)=0]，[s(0)=0]，
所以[v(t)=0t(100-4t2)dt=100t-43t3]，
那么[s(5)=05v(t)dt=05(100t-43t3)dt]
[=(50t2-13t4)50=31253].
即火箭前[5s]内的位移为[31253]．
点拨 先通过定积分求解变速直线运动的物体所具有的速度函数[v(t)]，再根据已求的速度函数，通过定积分求解在对应时间的位移．
练习
1. 计算[0π2sinxcos2xdx].
2. 计算[-55x3sin2xx4+2x2+1dx].
3. 计算[023a2dx].
4. 若[0xf(t)dt=x24]，则[041xf(x)dx=] .
A. 16 B. 8 C. 4 D. 2
5. 求由函数[y=x]与[y=x]所围成的图形的面积.
答案
1. [14] 2. 0 3. [6a2] 4. D 5. [16]