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【摘 要】在教学勾股定理的逆定理时，为了让学生更好地理解定理的取值范围，同时又能让学生认识数学发展的史实过程，所以对这一问题进行分层教学。先以正有理数为主再次以正无理数为主进行探索，最后综合得出勾股定理的逆定理的实用范围是在实数内，并推广到以三角形中较短两边的平方和与第三边的平方进行比较从而对三角形进行分类能力提升。
【关键词】勾股定理；逆定理；正实数；构成；直角三角形
在教学北师大版八年级数学（上册）第一章《勾股定理》的第二节《一定是直角三角形吗》时，按照教材的设计， 让学生在判定三条线段能否构成直角三角形时，受到教科书数的扩充放到第二章教学的影响。误认为只有当线段的长度为正有理数时才能构成直角三角形。致使对定理的取值范围在理解上缩小了，进而对定理理解不全面.而教材在设置上是为了与数学史的发展相呼应，所以才把实数的学习放到了第二章，为解决这一矛盾，特对此问题进行教学探索。
从学生的理解上说，这一节的内容应在具有实数的基础上再学习，才能更好地使学生全面理解勾股定理及逆定理的应用范围.但实数的学习又要以勾股定理作为工具，所以在教学中笔者是通过分层次教学解决问题的方法，完成勾股定理逆定理的教学任务的：
第一层次是在学习本节所要求的：由于同学们已经学习了勾股定理，即：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。反过来，如果给出三条长度为正整数线段，你能作出直角三角形吗？
例：以3cm、4cm、5cm为边用尺规作图法能作出一个什么样的三角形（用量角器量出以线段5cm为边所对的角的度数）？
学生通过实际操作，得出是直角三角形。
如果以任意的三个正整数的长为边，能构成三角形吗？如果能构成三角形，这样的三角形是直角三角形吗？为什么？
例：4cm，5cm，6cm； 6cm，8cm，10cm；
经过实际操作，以4cm，5cm，6cm边能构成三角形但不是直角三角形，而以6cm，8cm，10cm为边时能构成直角三角形，这是因为什么呢？学生可以找出前面学过的勾股数组再进行验证。得出只有满足两条较短边的平方和等于较长边的平方和的正整数才能构成直角三角形。
那么，线段长度除正整数外，当线段的长度为其它的数时，是否能构成直角三角形呢？
例：以32 cm、2cm、 52 cm为边用尺规作图法能作出一个什么三角形（用量角器量出以线段32 cm所对的角的度数）？
学生经过实际操作，得出能满足两条较短边的平方和等于较长边的平方的正分数也能构成直角三角形。
第二层次是在学习实数后：再进一步猜想，如果当线段的长为无理数时，以这些线段能否构成三角形？如果能，怎样的线段才能构成直角三角形呢？假设有三条线段分别为 2cm 、3 cm、 5cm，以它们为边能构成什么样的三角形呢？用学过的知识验证出你的结论。经过学生的亲身经历，得出结论：能满足两条较短边的平方和等于较长边的平方的无理数也能构成直角三角形。
综合两个层次的教学，让学生知道不仅是线段的长为有理数时能构成直角三角形，还有线段的长为无理数时也能构成直角三角形，但这些线段长度都必须满足a2+b2=c2（a、b、c为正实数，其中a、b是两条较短的边，c是最长的边）。就能构成直角三角形。从而总结出勾股定理的逆定理是：如果三角形三边长a、b、c存在关系a2+b2=c2，那么这个三角形是直角形。
在以上实例中，如 32 cm、2cm、 52 cm有分数不全是正整数， 2 cm、 3 cm、 5 cm是无理数，不是正整数。虽然它们能构成直角三角形但不是勾股数。由此引出怎样的数才是勾股数呢？我们把即满足勾股定理逆定理，又全部是正整数的一组数叫勾股数。由此，再回顾我国古代的勾三、股四、弦五所产生的历史。加深对勾股数的了解，培养学生的爱国热情。
例：判断下列各组数能否构成直角三角形。
（1）9，12，15 （2）53 ，3， 133 （3）5 、2 、 7
解：在判断一组数据能否构成直角三角形时，在实数范围内只要满足勾股定理的逆定理： a2+b2=c2成立，那么以a、b、c长为边的线段就一定能构成直角三角形。
（1） 由于92+122=81+144=225 152=225
即：92+122=152
所以9，12，15为边能构成直角三角形.
（2） 由于（ 53 ）2+32= 259 +819 =1069 （ 133 ）2=1699
即：（ 53 ）2+32≠（ 133 ）2
所以53 ，3， 133 为边不能构成直角三角形.
（3）由于（ 5）2+ （ 2）=（7）2 （ 7）2=7
即：（ 5）2+（ 2）2=（ 7）2
所以5 、2 、 7为边能构成直角三角形.
接着引导学生共同总结并提升能力：在正实数的范围内以当线段的长为a、b、c时就一定能构成三角形。由此引导学生猜想：a2+b2只能等于c2吗？还有其它的情况吗？如果当a2+b2 经过举例验证很快得出a2+b2与c2有三种数量关系，当a2+b2c2时，以a，b，c为边的三角形是锐角三角形；现在学生面对这类问题时，不再产生误解了。这个因数的扩充所带来的难题.在学生实际操作过程中.不仅完成任务，还学会了解决问题的方法.使学生的归纳总结的能力得到了培养，同时思维能力也得到了进一步的升华。
收稿日期：2013-08-09
【关键词】勾股定理；逆定理；正实数；构成；直角三角形
在教学北师大版八年级数学（上册）第一章《勾股定理》的第二节《一定是直角三角形吗》时，按照教材的设计， 让学生在判定三条线段能否构成直角三角形时，受到教科书数的扩充放到第二章教学的影响。误认为只有当线段的长度为正有理数时才能构成直角三角形。致使对定理的取值范围在理解上缩小了，进而对定理理解不全面.而教材在设置上是为了与数学史的发展相呼应，所以才把实数的学习放到了第二章，为解决这一矛盾，特对此问题进行教学探索。
从学生的理解上说，这一节的内容应在具有实数的基础上再学习，才能更好地使学生全面理解勾股定理及逆定理的应用范围.但实数的学习又要以勾股定理作为工具，所以在教学中笔者是通过分层次教学解决问题的方法，完成勾股定理逆定理的教学任务的：
第一层次是在学习本节所要求的：由于同学们已经学习了勾股定理，即：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。反过来，如果给出三条长度为正整数线段，你能作出直角三角形吗？
例：以3cm、4cm、5cm为边用尺规作图法能作出一个什么样的三角形（用量角器量出以线段5cm为边所对的角的度数）？
学生通过实际操作，得出是直角三角形。
如果以任意的三个正整数的长为边，能构成三角形吗？如果能构成三角形，这样的三角形是直角三角形吗？为什么？
例：4cm，5cm，6cm； 6cm，8cm，10cm；
经过实际操作，以4cm，5cm，6cm边能构成三角形但不是直角三角形，而以6cm，8cm，10cm为边时能构成直角三角形，这是因为什么呢？学生可以找出前面学过的勾股数组再进行验证。得出只有满足两条较短边的平方和等于较长边的平方和的正整数才能构成直角三角形。
那么，线段长度除正整数外，当线段的长度为其它的数时，是否能构成直角三角形呢？
例：以32 cm、2cm、 52 cm为边用尺规作图法能作出一个什么三角形（用量角器量出以线段32 cm所对的角的度数）？
学生经过实际操作，得出能满足两条较短边的平方和等于较长边的平方的正分数也能构成直角三角形。
第二层次是在学习实数后：再进一步猜想，如果当线段的长为无理数时，以这些线段能否构成三角形？如果能，怎样的线段才能构成直角三角形呢？假设有三条线段分别为 2cm 、3 cm、 5cm，以它们为边能构成什么样的三角形呢？用学过的知识验证出你的结论。经过学生的亲身经历，得出结论：能满足两条较短边的平方和等于较长边的平方的无理数也能构成直角三角形。
综合两个层次的教学，让学生知道不仅是线段的长为有理数时能构成直角三角形，还有线段的长为无理数时也能构成直角三角形，但这些线段长度都必须满足a2+b2=c2（a、b、c为正实数，其中a、b是两条较短的边，c是最长的边）。就能构成直角三角形。从而总结出勾股定理的逆定理是：如果三角形三边长a、b、c存在关系a2+b2=c2，那么这个三角形是直角形。
在以上实例中，如 32 cm、2cm、 52 cm有分数不全是正整数， 2 cm、 3 cm、 5 cm是无理数，不是正整数。虽然它们能构成直角三角形但不是勾股数。由此引出怎样的数才是勾股数呢？我们把即满足勾股定理逆定理，又全部是正整数的一组数叫勾股数。由此，再回顾我国古代的勾三、股四、弦五所产生的历史。加深对勾股数的了解，培养学生的爱国热情。
例：判断下列各组数能否构成直角三角形。
（1）9，12，15 （2）53 ，3， 133 （3）5 、2 、 7
解：在判断一组数据能否构成直角三角形时，在实数范围内只要满足勾股定理的逆定理： a2+b2=c2成立，那么以a、b、c长为边的线段就一定能构成直角三角形。
（1） 由于92+122=81+144=225 152=225
即：92+122=152
所以9，12，15为边能构成直角三角形.
（2） 由于（ 53 ）2+32= 259 +819 =1069 （ 133 ）2=1699
即：（ 53 ）2+32≠（ 133 ）2
所以53 ，3， 133 为边不能构成直角三角形.
（3）由于（ 5）2+ （ 2）=（7）2 （ 7）2=7
即：（ 5）2+（ 2）2=（ 7）2
所以5 、2 、 7为边能构成直角三角形.
接着引导学生共同总结并提升能力：在正实数的范围内以当线段的长为a、b、c时就一定能构成三角形。由此引导学生猜想：a2+b2只能等于c2吗？还有其它的情况吗？如果当a2+b2
收稿日期：2013-08-09