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摘要：可转换债券是一种带有股票期权的债券，具有债券与看涨股票期权的双重属性，正在成为我国资本市场新型的融资工具。可转债的价值由纯债券价值和期权价值两部分组成，而期权价值的确定是可转债定价中最重要的内容。本文主要通过用B-S模型，以中行转债为例，对可转债的期权价值进行了评估，为可转债定价理论的应用提供了范例。
关键词：B-S期权定价模型；可转债；期权；中行转债
一、引言
可转换债券简言之就是一种可以转换为普通股股票的债券，即该债券带有股票期权，其持有人有权利于规定时间内，按约定转换比率（转换价格），将该债券转换为该公司对应的普通股股票，或放弃转股并以普通债券的要求还本付息。
20世纪60年代，以普通债券的最大价值作为可转债价格的可转债定价理论出现, 然而, 由于人们对可转债的认识低,这些定价模型并完善。
直到1973 年, Fischer Black 和Myron Scholes 做出了一项具有里程碑意义的突破性成果，他们在“期权定价与公司财务”中提出了第一个期权定价公式——即著名的B-S公式的原始模型。后来,很多学者对该理论进行了完善和推广。先是Merton、Black 和Cox ，他们以公司价值为切入点，提出了一个可转债定价模型; 接着, Ingersoll 使用Black—Scholes的定价模型，从股票期权的角度提出一个定价模型; 而M. J.Brennan 和E. S. Schwarz 两个人则提出期权定价模型的基本标准，同时将之应用于普通可转债的定价上, 基于此，他们对可转债的发行公司的最优赎回策略进行了进一步分析与研究。后来他们提出通过PDE 、边界条件理论和有限差分法来给广泛的条件下的可转债进行定价。
二、基于B-S模型的可转债定价
由前述可得：可转债定价理论是建立在Black—Scholes定价模型基础上的。我们可以将可转债价格分解为纯债券价格和看涨期权价格两个因素，即CB=B+C。
（一）其纯债券部分的价格等于投资者持有债券期间能够获得的现金流贴现值， 用公式表示是：
B=∑ni=1Ii(1+r)I+P(1+r)n
其中：Ii为每年的利息额，P为债券面值，r为预期收益率，n为债券期限。
（二）B-S公式
首先做以下假设：
1．股票价格服从几何正态分布：ds=μSdt+σSdz；其中μ、σ为常数，μ代表股票收益率，σ代表股票价格波动率，代表扩散过程；
2．存在卖空机制；
3．税收和交易成本为零；
4．在期权存续期期间， 股票不进行任何红利分配；
5．证券交易具有连续性；
6．不存在无风险套利机会；
7．在期权存续期期间，无风险收益率是固定常数，且与期日无关。
从假设条件可以看出，它是对无收益的基准资产的欧式期权定价。显然，B-S公式是对欧式期权的定价， 然而，国内投资者有可能在到期前行权，也就是说可转换债券还包含美式期权的因素。但是，由于国内股票市场波动性相对较大， 对于长期投资者来说，提前行权等于放弃了股票价格未来可能进一步上涨的获利空间，亦即放弃了买入期权的时间价值。因此对国内的可转换债券，可以用B-S买入期权模型来进行定价。看涨期权定价模型如下：
C=SN(d1)-Ke-r(t)TN(d2)
其中：d1=lnSK+r(t)+σ22TσT，d2=d1-σT
C为看涨期权价格，r(t)为无风险利率，K为期权的执行价格，S为股票的市价，σ为股票波动率，T为可转债的存续期，N(x)为标准正态分布变量的累计概率分布。
三、实证分析
下面我们举中行转债为例，对基于B-S模型的可转债定价模型进行实证分析。
（一）中行转债的纯债券价值。
中行转债的基本情况如下：票面价值为100元，发行价为100元，一至六年内票面利率分别为05%、08%、11%、14%、17%和20%。每年付息一次，期限6年。初始转股价格为：402（元）。根据公示B=∑ni=1Ii(1+r)I+P(1+r)n可计算出中行转债每日的纯债券价值B。
（二）中行转债的期权价值。
在运用B-S模型为中行转债期权价值定价前要先为所需要的参数进行估计。
1．估计波动率。
股票价格波动率σ可以用以下公式表示: 将一定时间内的股票价格作为基础, 令( n+1) 为观察次数, Si 为第i 个时间间隔末的股票价格。Ui为第i 个时间间隔后的连续收益,
本文先用中国银行2010/4/6到2010/6/17的每日股票收盘价为基础计算了股票价格的日波动率为0018278169，所以年波动率为： σ=18278%×240=2832%。
2．估计无风险利率。
将与可转债到期日最接近那一天的可交易国债利率作为无风险利率， 本文无风险利率为3%。
根据B-S公式可计算出中行转债的期权价值C。然都根据公式CB=B+C计算出可转债价值。
本文利用中国银行2010/6/18到2011/6/15股票收盘价的数据，通过excel计算出中行转债的纯债券价值及期权价值，然后将它们相加计算出中行转债的价值，并将此数值与中行转债的真实收盘价进行比较。
四、结论
从中得出的结论是中行转债的理论价值与实际价值的基本趋势是大致趋同的，但是也存在一定的偏差。趋势相同说明利用该方法为可转债定价是可行的，但偏差的存在说明该模型在运用上也存在着一些问题：
（一）该模型本身存在一些问题。如该模型的假设条件众多，很多不符合实际情况。假设波动率和无风险利率为常数就不现实，而且无风险利率也不可能对所有到期日的资产都相同。
（二）由于利率非市场化致使定价不合理。期权的定价理论要求我们必须以市场化条件下的无风险利率作为计算标准。然而，由于国内的利率因政策影响等因素使其并非完全市场化，致使通过非市场化的无风险利率计算得出的可转债价格与实际的价格出现了比较大的差异。
（三）可转债的条款设计过于复杂。可转债的条款设置中设计了很多复杂的条款，如利率补偿条款、向下修正条款、返售条款、赎回权等使得可转债变成了复合期权，其定价自然就变得更加复杂，同时，债权之间的互斥性，致使数据处理不精确，期权定价更是复杂，难得出准确价格。
（四）国内股票市场缺乏卖空机制，而可转债定价模型的成立要求市场具有卖空机制。国内证券市场完全缺乏卖空机制，不存在卖空市场，这样的话，就存在一些无风险套利机会，模型推导的前提假设条件不成立，从而使得在此基础上的可转债定价出现较大偏差。随着国内证券市场的迅速发展，卖空机制的相继完善，相信未来会得到完善。（西南财经大学笃行园；四川；成都；611130）
参考文献：
［1］ John C Hull.期权、期货及其它衍生产品.北京:人民邮电出版社，2009
［2］ Black F,Scholes M. The pricing of options and corporate liabilities.Journal of Political Economy.1973.81(3):637-659
［3］ 张鸣.可转换债券定价理论与案例研究.上海财经大学学报.2001(5)
［4］ 郑振龙,林海.中国可转债定价研究.厦门大学学报哲社版.2004(2)
关键词：B-S期权定价模型；可转债；期权；中行转债
一、引言
可转换债券简言之就是一种可以转换为普通股股票的债券，即该债券带有股票期权，其持有人有权利于规定时间内，按约定转换比率（转换价格），将该债券转换为该公司对应的普通股股票，或放弃转股并以普通债券的要求还本付息。
20世纪60年代，以普通债券的最大价值作为可转债价格的可转债定价理论出现, 然而, 由于人们对可转债的认识低,这些定价模型并完善。
直到1973 年, Fischer Black 和Myron Scholes 做出了一项具有里程碑意义的突破性成果，他们在“期权定价与公司财务”中提出了第一个期权定价公式——即著名的B-S公式的原始模型。后来,很多学者对该理论进行了完善和推广。先是Merton、Black 和Cox ，他们以公司价值为切入点，提出了一个可转债定价模型; 接着, Ingersoll 使用Black—Scholes的定价模型，从股票期权的角度提出一个定价模型; 而M. J.Brennan 和E. S. Schwarz 两个人则提出期权定价模型的基本标准，同时将之应用于普通可转债的定价上, 基于此，他们对可转债的发行公司的最优赎回策略进行了进一步分析与研究。后来他们提出通过PDE 、边界条件理论和有限差分法来给广泛的条件下的可转债进行定价。
二、基于B-S模型的可转债定价
由前述可得：可转债定价理论是建立在Black—Scholes定价模型基础上的。我们可以将可转债价格分解为纯债券价格和看涨期权价格两个因素，即CB=B+C。
（一）其纯债券部分的价格等于投资者持有债券期间能够获得的现金流贴现值， 用公式表示是：
B=∑ni=1Ii(1+r)I+P(1+r)n
其中：Ii为每年的利息额，P为债券面值，r为预期收益率，n为债券期限。
（二）B-S公式
首先做以下假设：
1．股票价格服从几何正态分布：ds=μSdt+σSdz；其中μ、σ为常数，μ代表股票收益率，σ代表股票价格波动率，代表扩散过程；
2．存在卖空机制；
3．税收和交易成本为零；
4．在期权存续期期间， 股票不进行任何红利分配；
5．证券交易具有连续性；
6．不存在无风险套利机会；
7．在期权存续期期间，无风险收益率是固定常数，且与期日无关。
从假设条件可以看出，它是对无收益的基准资产的欧式期权定价。显然，B-S公式是对欧式期权的定价， 然而，国内投资者有可能在到期前行权，也就是说可转换债券还包含美式期权的因素。但是，由于国内股票市场波动性相对较大， 对于长期投资者来说，提前行权等于放弃了股票价格未来可能进一步上涨的获利空间，亦即放弃了买入期权的时间价值。因此对国内的可转换债券，可以用B-S买入期权模型来进行定价。看涨期权定价模型如下：
C=SN(d1)-Ke-r(t)TN(d2)
其中：d1=lnSK+r(t)+σ22TσT，d2=d1-σT
C为看涨期权价格，r(t)为无风险利率，K为期权的执行价格，S为股票的市价，σ为股票波动率，T为可转债的存续期，N(x)为标准正态分布变量的累计概率分布。
三、实证分析
下面我们举中行转债为例，对基于B-S模型的可转债定价模型进行实证分析。
（一）中行转债的纯债券价值。
中行转债的基本情况如下：票面价值为100元，发行价为100元，一至六年内票面利率分别为05%、08%、11%、14%、17%和20%。每年付息一次，期限6年。初始转股价格为：402（元）。根据公示B=∑ni=1Ii(1+r)I+P(1+r)n可计算出中行转债每日的纯债券价值B。
（二）中行转债的期权价值。
在运用B-S模型为中行转债期权价值定价前要先为所需要的参数进行估计。
1．估计波动率。
股票价格波动率σ可以用以下公式表示: 将一定时间内的股票价格作为基础, 令( n+1) 为观察次数, Si 为第i 个时间间隔末的股票价格。Ui为第i 个时间间隔后的连续收益,
本文先用中国银行2010/4/6到2010/6/17的每日股票收盘价为基础计算了股票价格的日波动率为0018278169，所以年波动率为： σ=18278%×240=2832%。
2．估计无风险利率。
将与可转债到期日最接近那一天的可交易国债利率作为无风险利率， 本文无风险利率为3%。
根据B-S公式可计算出中行转债的期权价值C。然都根据公式CB=B+C计算出可转债价值。
本文利用中国银行2010/6/18到2011/6/15股票收盘价的数据，通过excel计算出中行转债的纯债券价值及期权价值，然后将它们相加计算出中行转债的价值，并将此数值与中行转债的真实收盘价进行比较。
四、结论
从中得出的结论是中行转债的理论价值与实际价值的基本趋势是大致趋同的，但是也存在一定的偏差。趋势相同说明利用该方法为可转债定价是可行的，但偏差的存在说明该模型在运用上也存在着一些问题：
（一）该模型本身存在一些问题。如该模型的假设条件众多，很多不符合实际情况。假设波动率和无风险利率为常数就不现实，而且无风险利率也不可能对所有到期日的资产都相同。
（二）由于利率非市场化致使定价不合理。期权的定价理论要求我们必须以市场化条件下的无风险利率作为计算标准。然而，由于国内的利率因政策影响等因素使其并非完全市场化，致使通过非市场化的无风险利率计算得出的可转债价格与实际的价格出现了比较大的差异。
（三）可转债的条款设计过于复杂。可转债的条款设置中设计了很多复杂的条款，如利率补偿条款、向下修正条款、返售条款、赎回权等使得可转债变成了复合期权，其定价自然就变得更加复杂，同时，债权之间的互斥性，致使数据处理不精确，期权定价更是复杂，难得出准确价格。
（四）国内股票市场缺乏卖空机制，而可转债定价模型的成立要求市场具有卖空机制。国内证券市场完全缺乏卖空机制，不存在卖空市场，这样的话，就存在一些无风险套利机会，模型推导的前提假设条件不成立，从而使得在此基础上的可转债定价出现较大偏差。随着国内证券市场的迅速发展，卖空机制的相继完善，相信未来会得到完善。（西南财经大学笃行园；四川；成都；611130）
参考文献：
［1］ John C Hull.期权、期货及其它衍生产品.北京:人民邮电出版社，2009
［2］ Black F,Scholes M. The pricing of options and corporate liabilities.Journal of Political Economy.1973.81(3):637-659
［3］ 张鸣.可转换债券定价理论与案例研究.上海财经大学学报.2001(5)
［4］ 郑振龙,林海.中国可转债定价研究.厦门大学学报哲社版.2004(2)