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力臂是支点到力的作用线的垂直距离.过动力作用点可以作无数条力的作用线,每一条作用线都有对应的力臂,力臂有长有短(若力的作用线通过支点,力臂为0),而在这无数个力臂中,最长力臂是支点到动力作用点的连线, 它所对应的动力是最小的.我们可以通过画图来验证,如图1所示的各个力F1、F2、F3、F4,逐个画出相应的力臂,不难发现,F2的力臂OA是直角三角形OEA和直角三角形OFA的斜边,而F1、F3所对应的力臂分别为OF和OE都是两个直角边,F4作用线经过支点,力臂为0.显然OA力臂最长,所以F2力最小(根据杠杆静止时,满足平衡条件F1l1=F2l2,当阻力和阻力臂一定时,要使F1最小,l1则必然最大).因此,可以得出这样的结论:支点与动力作用点的连线是最长力臂,其对应的动力最小.在今后解决此类问题时,同学们就可以以“两点连线,动力臂最长”为突破口,找出最小力.为了加深同学们的理解,下面我们总结出了三种有关最小力的题型.
一、 支点和动力作用点都确定
例1 如图2是列车上售食品的手推车,当前轮遇到障碍物时,售货员向下按扶把,使手推车前轮向上翘起,请画出售货员所用的最小动力.
析由题可知,需将前轮向上翘起,则必定以后轮着地点为支点,手接触扶把处为动力作用点,这两点间的直线距离应是最大力臂.所以,与此线段垂直向下的方向就是最小动力的方向,答案见图2中右图.
例2请在图3中画出杠杆平衡时作用在B点的最小力和这个力的力臂(O为支点).
解析根据杠杆平衡条件F1l1=F2l2,在杠杆平衡时,力与力臂成反比,要求力最小,则力臂必须最大.在支点(O)和力的作用点(B)都已确定的情况下,连接支点和力的作用点的连线OB,即为最长力臂.因为阻力方向朝下,支点在中间,故动力作用线方向应是过B点垂直OB斜向下,此时动力F就是最小力.
例3如图4所示,O为杠杆的支点,在杠杆的右端B点挂一重物.MN是以A为圆心的弧形导轨,绳的一端系在杠杆的A点,另一端E可以在弧形导轨上自由滑动.当绳的E端从导轨的一端N点向另一端M点滑动的过程中,杠杆始终水平,绳AE对杠杆拉力的变化情况是().
A.先变大,后变小B.先变小,后变大
C.一直变小D.一直变大
解析本题支点是O点,动力作用点是A点,两点都已确定.当E从N至M的过程中,细绳对A的作用力方向是变化的,其实就是过A点可作出许多不同方向的作用线,因而动力臂的大小也是变化的,当动力作用线过A点且垂直于OB向上时力臂最大,此时力臂为OA,在AD左右两侧的作用线对应的力臂都比OA短(三角形直角边和斜边的大小关系).所以,当E从N至M的过程中,力臂由短→最大→短,对应的力的变化情况是由大→最小→大.应选B.
二、支点确定、动力作用点不确定
例4画出使杠杆AB在图5所示位置静止时所用最小力F的作用点和方向.
解析此题并没有直接明确动力作用点的具体位置,很多同学往往不假思索地以A点为动力作用点,动力作用线就是经过A点垂直于OA斜向下,OA就是最长的动力臂,那么OA是否就是最长动力臂呢?否.所以,画作用线之前应先考虑“动力作用点应离支点最远,所画的力臂才为最长”,如图B点离支点O最远,B点才是动力作用点,(显然OB>OA),OB才是最长动力臂,最小动力方向就是经过B点且垂直于OB斜向上.(特别提醒:因为阻力方向朝下,支点在一侧,故动力方向与阻力方向相反,应是斜向上,很多同学在判断力的方向上出错.)
例5如图6所示,O为杠杆AC的支点,在B处挂一小球,AO=OB=BC,为使杠杆在水平位置平衡,画出施加在杠杆上最小动力F的力臂l,并标出F的方向.
解析本题同上题相似,动力作用点也没有确定,不能认为物体挂在支点左侧,动力作用点就应该在支点右侧,想当然地将A点看成动力作用点.通过观察比较,很容易发现,离支点最远的点应是C点,而不是A点,CO>OA,那么动力作用点就应定在C点.不过,由于支点在动力和阻力的同一侧,动力方向应垂直杠杆竖直向上,与小球的重力方向相反,杠杆才可以平衡.解答如图6右图.
例6如图7所示,有一均匀圆柱体放在水平地面上,靠在台阶边,为了使它滚上这个台阶.
(1)现要在A点用力将其推上台阶,画出最小动力方向.
(2)在圆柱体边缘上哪一点、沿什么方向施力才能用最小的力使圆柱体刚好离开地面?在图上标出这一点,并画出此力的方向和力臂.
解析把圆柱体看成一个杠杆模型(具备杠杆的五要素)(1)圆柱体滚上台阶的支点就是它与台阶的接触点O点,要求在A点用最小力将圆柱体推上台阶,表明动力作用点已经定好,那么连接OA就应是最长的动力臂,动力作用线就应经过A点垂直OA斜向上,此时动力最小.如图7(中).(2)此问与第(1)题问的区别在于,并没有明确动力作用点位置,同学们可思考第(1)题中所画的力F是不是最小的力呢?不是,因为OA并不是最长的力臂.就圆而言,最长力臂应是过支点O的直径OB,所以图7中(右)的B点为最小动力的作用点,动力作用线就是经过B点沿切线方向斜向上的,如图所示,力F ′最省力,比较可知F ′ 三、支点不确定、动力作用点确定
例7如图8是人们用木棒撬石块的示意图,请作出最小动力.
解析该题的情景很容易让同学们只想到一种翻转方法,把B点作为支点,其实有两种翻转方法:第一种是以B点为支点,在C点用与棒垂直的力F1向下撬;第二种是以A点为支点,在C点用与棒垂直的力F2向上撬.(木棒自重不计) 这类题支点不确定,动力作用点确定,对于这类题,首先要考虑选择什么位置作为支点,才能更省力,在省力的基础上使动力达到最小.分析如下:若以B为支点,F1对应最大动力臂为BC;若以A为支点,F2对应最大动力臂为AC.根据杠杆的平衡条件,两种方法中的阻力与阻力臂的乘积不变,第二种方法动力臂较长,AC>BC,因此该题以杠杆接触地面的一端A点为支点才能更省力,在C点用与棒垂直的力F2向上撬最省力.如图8所示.
总之,无论是三种情况中的哪一类,在确定杠杆最小力时都需注意三点:(1)当支点到动力作用点连线满足是力臂条件时,则该力臂就是最长,因而力最小.(2)不管支点、动力作用点是否确定,要使动力臂最长,则两点相离的距离越远,其力臂也就可能越长,对应动力将越小.(3)最后在确定动力方向时,要考虑动力、阻力和支点位置的关系,若动力、阻力在支点一侧,则两力方向一致;若动力、阻力在支点两侧,则两力方向相反.同学们作好图之后,千万别忘记检查动力方向,动力方向如果画反,杠杆将不能保持平衡.
练习
1. 一个曲臂杠杆的左端加一重物G,在右端分别加力F1、F2、F3、F4,都能够使杠杆平衡,如图示,则最小的力为( ).
A.F1B.F2C.F3 D.F4
2.如图所示,O为杠杆的支点,第一次杠杆在重物G和力F1的作用下处于水平位置平衡.如果第二次杠杆在重物G和力F2的作用下仍在图中位置保持平衡,下面关系中正确的是().
A.F1>F2B.F1=F2
C.G>F1>F2 D.F2>F1>G
3.如下图所示,AOB为一轻质杠杆(杠杆自重忽略不计),O为支点,OA=OB,在杠杆的B端挂一重20N的重物,要使杠杆平衡,则在A端施加的力F至少为 N.
一、 支点和动力作用点都确定
例1 如图2是列车上售食品的手推车,当前轮遇到障碍物时,售货员向下按扶把,使手推车前轮向上翘起,请画出售货员所用的最小动力.
析由题可知,需将前轮向上翘起,则必定以后轮着地点为支点,手接触扶把处为动力作用点,这两点间的直线距离应是最大力臂.所以,与此线段垂直向下的方向就是最小动力的方向,答案见图2中右图.
例2请在图3中画出杠杆平衡时作用在B点的最小力和这个力的力臂(O为支点).
解析根据杠杆平衡条件F1l1=F2l2,在杠杆平衡时,力与力臂成反比,要求力最小,则力臂必须最大.在支点(O)和力的作用点(B)都已确定的情况下,连接支点和力的作用点的连线OB,即为最长力臂.因为阻力方向朝下,支点在中间,故动力作用线方向应是过B点垂直OB斜向下,此时动力F就是最小力.
例3如图4所示,O为杠杆的支点,在杠杆的右端B点挂一重物.MN是以A为圆心的弧形导轨,绳的一端系在杠杆的A点,另一端E可以在弧形导轨上自由滑动.当绳的E端从导轨的一端N点向另一端M点滑动的过程中,杠杆始终水平,绳AE对杠杆拉力的变化情况是().
A.先变大,后变小B.先变小,后变大
C.一直变小D.一直变大
解析本题支点是O点,动力作用点是A点,两点都已确定.当E从N至M的过程中,细绳对A的作用力方向是变化的,其实就是过A点可作出许多不同方向的作用线,因而动力臂的大小也是变化的,当动力作用线过A点且垂直于OB向上时力臂最大,此时力臂为OA,在AD左右两侧的作用线对应的力臂都比OA短(三角形直角边和斜边的大小关系).所以,当E从N至M的过程中,力臂由短→最大→短,对应的力的变化情况是由大→最小→大.应选B.
二、支点确定、动力作用点不确定
例4画出使杠杆AB在图5所示位置静止时所用最小力F的作用点和方向.
解析此题并没有直接明确动力作用点的具体位置,很多同学往往不假思索地以A点为动力作用点,动力作用线就是经过A点垂直于OA斜向下,OA就是最长的动力臂,那么OA是否就是最长动力臂呢?否.所以,画作用线之前应先考虑“动力作用点应离支点最远,所画的力臂才为最长”,如图B点离支点O最远,B点才是动力作用点,(显然OB>OA),OB才是最长动力臂,最小动力方向就是经过B点且垂直于OB斜向上.(特别提醒:因为阻力方向朝下,支点在一侧,故动力方向与阻力方向相反,应是斜向上,很多同学在判断力的方向上出错.)
例5如图6所示,O为杠杆AC的支点,在B处挂一小球,AO=OB=BC,为使杠杆在水平位置平衡,画出施加在杠杆上最小动力F的力臂l,并标出F的方向.
解析本题同上题相似,动力作用点也没有确定,不能认为物体挂在支点左侧,动力作用点就应该在支点右侧,想当然地将A点看成动力作用点.通过观察比较,很容易发现,离支点最远的点应是C点,而不是A点,CO>OA,那么动力作用点就应定在C点.不过,由于支点在动力和阻力的同一侧,动力方向应垂直杠杆竖直向上,与小球的重力方向相反,杠杆才可以平衡.解答如图6右图.
例6如图7所示,有一均匀圆柱体放在水平地面上,靠在台阶边,为了使它滚上这个台阶.
(1)现要在A点用力将其推上台阶,画出最小动力方向.
(2)在圆柱体边缘上哪一点、沿什么方向施力才能用最小的力使圆柱体刚好离开地面?在图上标出这一点,并画出此力的方向和力臂.
解析把圆柱体看成一个杠杆模型(具备杠杆的五要素)(1)圆柱体滚上台阶的支点就是它与台阶的接触点O点,要求在A点用最小力将圆柱体推上台阶,表明动力作用点已经定好,那么连接OA就应是最长的动力臂,动力作用线就应经过A点垂直OA斜向上,此时动力最小.如图7(中).(2)此问与第(1)题问的区别在于,并没有明确动力作用点位置,同学们可思考第(1)题中所画的力F是不是最小的力呢?不是,因为OA并不是最长的力臂.就圆而言,最长力臂应是过支点O的直径OB,所以图7中(右)的B点为最小动力的作用点,动力作用线就是经过B点沿切线方向斜向上的,如图所示,力F ′最省力,比较可知F ′
例7如图8是人们用木棒撬石块的示意图,请作出最小动力.
解析该题的情景很容易让同学们只想到一种翻转方法,把B点作为支点,其实有两种翻转方法:第一种是以B点为支点,在C点用与棒垂直的力F1向下撬;第二种是以A点为支点,在C点用与棒垂直的力F2向上撬.(木棒自重不计) 这类题支点不确定,动力作用点确定,对于这类题,首先要考虑选择什么位置作为支点,才能更省力,在省力的基础上使动力达到最小.分析如下:若以B为支点,F1对应最大动力臂为BC;若以A为支点,F2对应最大动力臂为AC.根据杠杆的平衡条件,两种方法中的阻力与阻力臂的乘积不变,第二种方法动力臂较长,AC>BC,因此该题以杠杆接触地面的一端A点为支点才能更省力,在C点用与棒垂直的力F2向上撬最省力.如图8所示.
总之,无论是三种情况中的哪一类,在确定杠杆最小力时都需注意三点:(1)当支点到动力作用点连线满足是力臂条件时,则该力臂就是最长,因而力最小.(2)不管支点、动力作用点是否确定,要使动力臂最长,则两点相离的距离越远,其力臂也就可能越长,对应动力将越小.(3)最后在确定动力方向时,要考虑动力、阻力和支点位置的关系,若动力、阻力在支点一侧,则两力方向一致;若动力、阻力在支点两侧,则两力方向相反.同学们作好图之后,千万别忘记检查动力方向,动力方向如果画反,杠杆将不能保持平衡.
练习
1. 一个曲臂杠杆的左端加一重物G,在右端分别加力F1、F2、F3、F4,都能够使杠杆平衡,如图示,则最小的力为( ).
A.F1B.F2C.F3 D.F4
2.如图所示,O为杠杆的支点,第一次杠杆在重物G和力F1的作用下处于水平位置平衡.如果第二次杠杆在重物G和力F2的作用下仍在图中位置保持平衡,下面关系中正确的是().
A.F1>F2B.F1=F2
C.G>F1>F2 D.F2>F1>G
3.如下图所示,AOB为一轻质杠杆(杠杆自重忽略不计),O为支点,OA=OB,在杠杆的B端挂一重20N的重物,要使杠杆平衡,则在A端施加的力F至少为 N.