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纵观2012年全国各类初中数学竞赛试卷，考题中涉及的数学内容多、范围广、题型新、方法活，同时还渗透着不少的数学思想方法，下面以2012年全国各类初中数学竞赛考题为例说明如下：
一、拆项相消法
例1（2012年全国初中数学竞赛预赛试题）方程11（x+1）（x+2）+11（x+2）（x+3）=213的解是 .
解： 11（x+1）（x+2）+11（x+2）（x+3）=11x+1-11x+2+11x+2-11x+3=11x+1-11x+3=21（x+1）（x+3）.
所以21（x+1）（x+3）=213，解得x1=0，x2=-4.
二、拆项、配方法
例2（2012年第23届希望杯全国初中数学邀请赛初一第1试题）求代数式5a2+5b2-4ab-32a-4b+10的最小值.
解：原式=a2-4ab+4b2+4a2-32a+64+b2-4b+4-58=（a-2b）2+4（a-4）2+（b-2）2-58≥-58.
当且仅当b=2时.取“=”号
所以原式的最小值为-58.
三、倒数法
例3（2012年第23届希望杯全国初中数学邀请赛初二第2试题）已知实数a、b、c满足 ab1a+b=3 ①bc1b+c=4② ca1c+a =5 ③ 求abc1ab+bc+ca的值.
解：将已知条件① ② ③取倒数得
a+b1ab=113，b+c1bc=114，c+a1ca=115.
即 11a+11b=113 ④，11b+11c=114⑤，11c +11a=115 ⑥.
④+⑤+⑥得11a+11b+11c=47160， 即ab+bc+ca1abc=47160， 故abc1ab+bc+ca=60147.
四、分类讨论法
例4（2012年全国中学生数学能力赛初二（初赛）试题）有一根长40 mm的金属棒，欲将其截成x根7 mm长的小段和y根9 mm长的小段，剩余部分作废料处理，若废料最少，则正整数x、y应分别为多少？
解：由题意，得7x+9y≤40，则x≤40-9y17.
因为40-9y≥0且y为正整数，所以y的值可以是1或2或3或4.
因为只有当x的值最大时，废料最少.
因而当y=1时，x≤3117，x取最大正整数，即x=4时，所剩的废料是40-1×9-4×7=3 mm；
当y=2时，x≤2217，x取最大正整数，即x=3时，所剩的废料是40-2×9-3×7=1 mm；
当y=3时，x≤1317，x取最大正整数，即x=1时，所剩的废料是40-3×9-1×7=6 mm；
当y=4时，x≤417，x不存在最大正整数，故舍去.
综上所述，若使废料最少，只有x=3，y=2.
五、非负数法
例5（2012年全国中学生数学能力赛初二（初赛）试题）已知三角形三边为a、b、c，其中a、b 满足（a-6）2+b-8=0，求这个三角形最长边c的取值范围？
解：因为
（a-6）2+b-8=0，由非负数的性质得 （a-6）2=0，b-8=0 .
所以（a-6）2=0，b-8=0， 即a=6，b=8.
所以28， 故8 六、数形结合法
图1例6（2012年“数学周报杯”全国初中数学竞赛）如果实数a，b，c在数轴上的位置如图1所示，那么代数式a2-|a+b|+（c-a）2+|b+c|可以化简为（ ）
（A） 2c-a （B） 2a-2b （C） -a （D）a
解：由实数a，b，c在数轴上的位置可知bc，所以a2-|a+b|+（c-a）2+|b+c|=-a+（a+b）+（c-a）-（b+c）=-a.
七、降幂法
例7 （2012年全国初中数学竞赛预赛试题）已知α、β是方程x2+2x-1=0的两根，则α3+5β+10的值为 .
解：因为α是方程x2+2x-1=0的根，所以α2=1-2α.
所以α3=α2·α=（1-2α）α=α-2α2=α-2（1-2α）=5α-2，
又因为α+β=-2，
所以α3+5β+10=（5α-2）+5β+10=5（α+β）+8=5×（-2）+8=-2.
八、整体换元法
例8（由2012年全国中学生数学能力赛初一（初赛）试题改编）计算（112+113+…+112015）（1+112+113+…+112014）-（1+112+113+…+112015）（112+113+…+112014）
解：设A=112+113+…+112015，B=112+113+…+112014.
则原式=A（1+B）-（1+A）B=A+AB- B-AB=A-B=112015.
注：此题整体换元方法很多（不唯一），不一一举例了.
九、整体代入法
例9 （2012年全国初中数学竞赛预赛试题）若m-n=2，则2m2-4mn+2n2-1的值为 .
解：2m2-4mn+2n2-1=2（m-n）2-1=2×22-1=7.
例10（2012年第23届希望杯全国初中数学邀请赛初二第1试题）若a+x2 =2011， b+x2=2012， c+x2=2013且abc=24，求c1ab+a1bc+b1ca+11a+11b+11c的值. 分析：从已知条件要确定a、b、c的值并非易事，通过观察，可将已知条件和待求式变形为以下形式.
﹙b+ x2﹚-﹙a+x2﹚=2012-2011=1，﹙c+ x2﹚-﹙b+x2﹚=2013-2012=1，
﹙c+ x2﹚-﹙a+x2﹚=2013-2011=2.
c1ab+a1bc+b 1ca+11a+11b+11c=11abc（a2+b2+c2-ab-bc-ca）=（a-b）2+（b-c）2+（c-a）212abc .
然后整体代入即可.
解：由题意知b-a=1， c-b=1，c-a=2.
c1ab+a1bc+b1ca+11a+11b+11c=a2+b2+c2+ab-bc-ca1abc=（a-b）2+（b-c）2+（c-a）212abc=（-1）2+（-1）2+2212×24=118.
注：此题涉及到整体代入、配方法等数学思想方法.
十、整体相加法
例11（2012年第23届希望杯全国初中数学邀请赛初一第1试题）若﹙a-2b+3c+4﹚2 +﹙2a-3b+4c-5﹚2 ≤0，求6a-10b+14c-3的值.
解：由非负数的性质知
a-2b+3c+4=0. ①
2a-3b+4c-5=0 ②
①+②得 3a-5b+7c-1=0 ③
③×2得6a-10b+14c-3=-1.
例12（2012年全国中学生数学能力赛初三（初赛）试题）已知正实数a、b、c满足方程组a+b2+2ac=29，
b+c2+2ab=18，
c+a2+2bc=25，求a+b+c的值.
解：方程组中的三个方程相加，得﹙a+b+c﹚+（a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca）=72.
所以﹙a+b+c﹚2 +﹙a+b+c﹚-72=0. 即 [﹙a+b+c﹚+9][﹙a+b+c﹚-8]=0.
因为a、b、c为正实数，
所以﹙a+b+c﹚+9>0， 故a+b+c=8.
十一、分离整数法
例13（2012年“数学周报杯”全国初中数学竞赛）小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币.小倩对小玲说：“你若给我2元，我的钱数将是你的n倍”；小玲对小倩说：“你若给我n元，我的钱数将是你的2倍”，其中n为正整数，则n的可能值的个数是（ ）
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
解：设小倩所有的钱数为x元、小玲所有的钱数为y元， 均为非负整数. 由题设可得 x+2=n（y-2），
y+n=2（x-n）.消去x得 （2y-7）n = y+4， 2n=（2y-7）+1512y-7=1+1512y-7.因为1512y-7为正整数，所以2y-7的值分别为1，3，5，15，所以y的值只能为4，5，6，11.从而n的值分别为8，3，2，1；x的值分别为14，7，6，7.
例14（2012年“数学周报杯”全国初中数学竞赛）如果a，b，c是正数，且满足a+b+c=9，11a+b+11b+c+11c+a=1019，那么a1b+c+b1c+a+c1a+b的值为 .
解：在11a+b+11b+c+11c+a=1019两边乘以a+b+c=9得3+c1a+b+a1b+c+b1c+a=10，即 c1a+b+a1b+c+b1c+a=7.
十二、不定方程法
例15 （2012年第23届希望杯全国初中数学邀请赛初二第1试题）若x是自然数，x+13和x-76都是完全平方数，则x =.
解：由题意设x+13=a 2， ①，x-76=b2 ②.
①-②得a2-b2=89， 即﹙a+b﹚﹙a-b﹚=89. 则有
a+b=89且a-b=1， 解之得a=45，b=44，故x=a2-13=452-13=2012.
例16（2012年第23届希望杯全国初中数学邀请赛初二第1试题）已知实数a、b满足6ab=9a-10b+16， 求a+b=.
解：原式化为6ab-9a+10b-15=1， 即﹙3a+5﹚﹙2b-3﹚=1则有
（1） 3a+5=1，
2b-3=1无整数解，舍去 （2） 3a+5=-1
2b-3=-1 解得 a=-2，
b=1.故 a+b= -1.
十三、构造不等式法
例17（2012年“数学周报杯”全国初中数学竞赛）按如图2的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个值x”到“结果是否>487？”为一次操作. 如果操作进行四次才停止，那么x的取值范围是 .
图2解：前四次操作的结果分别为 3x-2，3（3x-2）-2 = 9x-8，3（9x-8）-2 = 27x-26，3（27x-26）-2 = 81x-80.
由已知得 27x-26≤487，
81x-80>487. 解得 7 容易验证，当7 十四、整数性质法
例18（2012年“数学周报杯”全国初中数学竞赛） 在平面直角坐标系xOy中，满足不等式x2+y2≤2x+2y的整数点坐标（x，y）的个数为（ ）
（A）10 （B）9 （C）7 （D）5
解：由题设x2+y2≤2x+2y， 得0≤（x-1）2+（y-1）2≤2.
因为x，y均为整数，所以有 （x-1）2=0，
（y-1）2=0； （x-1）2=0，
（y-1）2=1；（x-1）2=1，
（y-1）2=0；（x-1）2=1，
（y-1）2=1.解得 x=1，
y=1； x=1，
y=2；x=1，
y=0；x=0，
y=1；x=0，
y=0；x=0，
y=2；x=2，
y=1；x=2，
y=0；
x=2，
y=2.以上共计9对（x，y），选（B）.
例19 （2012年“数学周报杯”全国初中数学竞赛） 已知整数a，b满足：a-b是素数，且ab是完全平方数. 当a≥2012时，求a的最小值.
解：设a-b = m（m是素数），ab =n2（n是自然数）.
因为 （a+b）2-4ab = （a-b）2， 所以 （2a-m）2-4n2 = m2，
即 （2a-m+2n）（2a-m-2n） = m2.
（1）当n≥1时，因为2a-m+2n与2a-m-2n都是正整数，且2a-m+2n>2a-m-2n （m为素数），所以 2a-m+2n=m2，2a-m-2n=1.
解得 a=（m+1）214，n=m2-114. 于是b= a-m=（m-1）214.
又a≥2012，即（m+1）214≥2012.
又因为m是素数，解得m≥89. 此时，a≥（89+1）214=2025.
当a=2025时，m=89，b=1936，n=1980. 此时，a的最小值为2025.
（2）当n=0时，因为a≥2012，所以b=0，从而得a的最小值为2017（素数）.
综上所述，所求的a的最小值为2017.
一、拆项相消法
例1（2012年全国初中数学竞赛预赛试题）方程11（x+1）（x+2）+11（x+2）（x+3）=213的解是 .
解： 11（x+1）（x+2）+11（x+2）（x+3）=11x+1-11x+2+11x+2-11x+3=11x+1-11x+3=21（x+1）（x+3）.
所以21（x+1）（x+3）=213，解得x1=0，x2=-4.
二、拆项、配方法
例2（2012年第23届希望杯全国初中数学邀请赛初一第1试题）求代数式5a2+5b2-4ab-32a-4b+10的最小值.
解：原式=a2-4ab+4b2+4a2-32a+64+b2-4b+4-58=（a-2b）2+4（a-4）2+（b-2）2-58≥-58.
当且仅当b=2时.取“=”号
所以原式的最小值为-58.
三、倒数法
例3（2012年第23届希望杯全国初中数学邀请赛初二第2试题）已知实数a、b、c满足 ab1a+b=3 ①bc1b+c=4② ca1c+a =5 ③ 求abc1ab+bc+ca的值.
解：将已知条件① ② ③取倒数得
a+b1ab=113，b+c1bc=114，c+a1ca=115.
即 11a+11b=113 ④，11b+11c=114⑤，11c +11a=115 ⑥.
④+⑤+⑥得11a+11b+11c=47160， 即ab+bc+ca1abc=47160， 故abc1ab+bc+ca=60147.
四、分类讨论法
例4（2012年全国中学生数学能力赛初二（初赛）试题）有一根长40 mm的金属棒，欲将其截成x根7 mm长的小段和y根9 mm长的小段，剩余部分作废料处理，若废料最少，则正整数x、y应分别为多少？
解：由题意，得7x+9y≤40，则x≤40-9y17.
因为40-9y≥0且y为正整数，所以y的值可以是1或2或3或4.
因为只有当x的值最大时，废料最少.
因而当y=1时，x≤3117，x取最大正整数，即x=4时，所剩的废料是40-1×9-4×7=3 mm；
当y=2时，x≤2217，x取最大正整数，即x=3时，所剩的废料是40-2×9-3×7=1 mm；
当y=3时，x≤1317，x取最大正整数，即x=1时，所剩的废料是40-3×9-1×7=6 mm；
当y=4时，x≤417，x不存在最大正整数，故舍去.
综上所述，若使废料最少，只有x=3，y=2.
五、非负数法
例5（2012年全国中学生数学能力赛初二（初赛）试题）已知三角形三边为a、b、c，其中a、b 满足（a-6）2+b-8=0，求这个三角形最长边c的取值范围？
解：因为
（a-6）2+b-8=0，由非负数的性质得 （a-6）2=0，b-8=0 .
所以（a-6）2=0，b-8=0， 即a=6，b=8.
所以2
图1例6（2012年“数学周报杯”全国初中数学竞赛）如果实数a，b，c在数轴上的位置如图1所示，那么代数式a2-|a+b|+（c-a）2+|b+c|可以化简为（ ）
（A） 2c-a （B） 2a-2b （C） -a （D）a
解：由实数a，b，c在数轴上的位置可知b
七、降幂法
例7 （2012年全国初中数学竞赛预赛试题）已知α、β是方程x2+2x-1=0的两根，则α3+5β+10的值为 .
解：因为α是方程x2+2x-1=0的根，所以α2=1-2α.
所以α3=α2·α=（1-2α）α=α-2α2=α-2（1-2α）=5α-2，
又因为α+β=-2，
所以α3+5β+10=（5α-2）+5β+10=5（α+β）+8=5×（-2）+8=-2.
八、整体换元法
例8（由2012年全国中学生数学能力赛初一（初赛）试题改编）计算（112+113+…+112015）（1+112+113+…+112014）-（1+112+113+…+112015）（112+113+…+112014）
解：设A=112+113+…+112015，B=112+113+…+112014.
则原式=A（1+B）-（1+A）B=A+AB- B-AB=A-B=112015.
注：此题整体换元方法很多（不唯一），不一一举例了.
九、整体代入法
例9 （2012年全国初中数学竞赛预赛试题）若m-n=2，则2m2-4mn+2n2-1的值为 .
解：2m2-4mn+2n2-1=2（m-n）2-1=2×22-1=7.
例10（2012年第23届希望杯全国初中数学邀请赛初二第1试题）若a+x2 =2011， b+x2=2012， c+x2=2013且abc=24，求c1ab+a1bc+b1ca+11a+11b+11c的值. 分析：从已知条件要确定a、b、c的值并非易事，通过观察，可将已知条件和待求式变形为以下形式.
﹙b+ x2﹚-﹙a+x2﹚=2012-2011=1，﹙c+ x2﹚-﹙b+x2﹚=2013-2012=1，
﹙c+ x2﹚-﹙a+x2﹚=2013-2011=2.
c1ab+a1bc+b 1ca+11a+11b+11c=11abc（a2+b2+c2-ab-bc-ca）=（a-b）2+（b-c）2+（c-a）212abc .
然后整体代入即可.
解：由题意知b-a=1， c-b=1，c-a=2.
c1ab+a1bc+b1ca+11a+11b+11c=a2+b2+c2+ab-bc-ca1abc=（a-b）2+（b-c）2+（c-a）212abc=（-1）2+（-1）2+2212×24=118.
注：此题涉及到整体代入、配方法等数学思想方法.
十、整体相加法
例11（2012年第23届希望杯全国初中数学邀请赛初一第1试题）若﹙a-2b+3c+4﹚2 +﹙2a-3b+4c-5﹚2 ≤0，求6a-10b+14c-3的值.
解：由非负数的性质知
a-2b+3c+4=0. ①
2a-3b+4c-5=0 ②
①+②得 3a-5b+7c-1=0 ③
③×2得6a-10b+14c-3=-1.
例12（2012年全国中学生数学能力赛初三（初赛）试题）已知正实数a、b、c满足方程组a+b2+2ac=29，
b+c2+2ab=18，
c+a2+2bc=25，求a+b+c的值.
解：方程组中的三个方程相加，得﹙a+b+c﹚+（a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca）=72.
所以﹙a+b+c﹚2 +﹙a+b+c﹚-72=0. 即 [﹙a+b+c﹚+9][﹙a+b+c﹚-8]=0.
因为a、b、c为正实数，
所以﹙a+b+c﹚+9>0， 故a+b+c=8.
十一、分离整数法
例13（2012年“数学周报杯”全国初中数学竞赛）小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币.小倩对小玲说：“你若给我2元，我的钱数将是你的n倍”；小玲对小倩说：“你若给我n元，我的钱数将是你的2倍”，其中n为正整数，则n的可能值的个数是（ ）
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
解：设小倩所有的钱数为x元、小玲所有的钱数为y元， 均为非负整数. 由题设可得 x+2=n（y-2），
y+n=2（x-n）.消去x得 （2y-7）n = y+4， 2n=（2y-7）+1512y-7=1+1512y-7.因为1512y-7为正整数，所以2y-7的值分别为1，3，5，15，所以y的值只能为4，5，6，11.从而n的值分别为8，3，2，1；x的值分别为14，7，6，7.
例14（2012年“数学周报杯”全国初中数学竞赛）如果a，b，c是正数，且满足a+b+c=9，11a+b+11b+c+11c+a=1019，那么a1b+c+b1c+a+c1a+b的值为 .
解：在11a+b+11b+c+11c+a=1019两边乘以a+b+c=9得3+c1a+b+a1b+c+b1c+a=10，即 c1a+b+a1b+c+b1c+a=7.
十二、不定方程法
例15 （2012年第23届希望杯全国初中数学邀请赛初二第1试题）若x是自然数，x+13和x-76都是完全平方数，则x =.
解：由题意设x+13=a 2， ①，x-76=b2 ②.
①-②得a2-b2=89， 即﹙a+b﹚﹙a-b﹚=89. 则有
a+b=89且a-b=1， 解之得a=45，b=44，故x=a2-13=452-13=2012.
例16（2012年第23届希望杯全国初中数学邀请赛初二第1试题）已知实数a、b满足6ab=9a-10b+16， 求a+b=.
解：原式化为6ab-9a+10b-15=1， 即﹙3a+5﹚﹙2b-3﹚=1则有
（1） 3a+5=1，
2b-3=1无整数解，舍去 （2） 3a+5=-1
2b-3=-1 解得 a=-2，
b=1.故 a+b= -1.
十三、构造不等式法
例17（2012年“数学周报杯”全国初中数学竞赛）按如图2的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个值x”到“结果是否>487？”为一次操作. 如果操作进行四次才停止，那么x的取值范围是 .
图2解：前四次操作的结果分别为 3x-2，3（3x-2）-2 = 9x-8，3（9x-8）-2 = 27x-26，3（27x-26）-2 = 81x-80.
由已知得 27x-26≤487，
81x-80>487. 解得 7
例18（2012年“数学周报杯”全国初中数学竞赛） 在平面直角坐标系xOy中，满足不等式x2+y2≤2x+2y的整数点坐标（x，y）的个数为（ ）
（A）10 （B）9 （C）7 （D）5
解：由题设x2+y2≤2x+2y， 得0≤（x-1）2+（y-1）2≤2.
因为x，y均为整数，所以有 （x-1）2=0，
（y-1）2=0； （x-1）2=0，
（y-1）2=1；（x-1）2=1，
（y-1）2=0；（x-1）2=1，
（y-1）2=1.解得 x=1，
y=1； x=1，
y=2；x=1，
y=0；x=0，
y=1；x=0，
y=0；x=0，
y=2；x=2，
y=1；x=2，
y=0；
x=2，
y=2.以上共计9对（x，y），选（B）.
例19 （2012年“数学周报杯”全国初中数学竞赛） 已知整数a，b满足：a-b是素数，且ab是完全平方数. 当a≥2012时，求a的最小值.
解：设a-b = m（m是素数），ab =n2（n是自然数）.
因为 （a+b）2-4ab = （a-b）2， 所以 （2a-m）2-4n2 = m2，
即 （2a-m+2n）（2a-m-2n） = m2.
（1）当n≥1时，因为2a-m+2n与2a-m-2n都是正整数，且2a-m+2n>2a-m-2n （m为素数），所以 2a-m+2n=m2，2a-m-2n=1.
解得 a=（m+1）214，n=m2-114. 于是b= a-m=（m-1）214.
又a≥2012，即（m+1）214≥2012.
又因为m是素数，解得m≥89. 此时，a≥（89+1）214=2025.
当a=2025时，m=89，b=1936，n=1980. 此时，a的最小值为2025.
（2）当n=0时，因为a≥2012，所以b=0，从而得a的最小值为2017（素数）.
综上所述，所求的a的最小值为2017.