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“含参不等式”相关的题目从解题目标上看，基本上有三种，即求参数的取值范围，使得含参数的不等式恒成立、能成立或恰成立.
本文就结合实例谈谈这类问题的一般求解策略.
一、不等式的恒成立、能成立、恰成立等问题的操作程序
（一）恒成立问题
若不等式[f(x)>A]在区间[D]上恒成立,则等价于函数[f(x)]在区间[D]上的最小值大于[A]；
若不等式[f(x) （二）能成立问题
若在区间[D]上存在实数[x]使不等式[f(x)>A]成立,即[f(x)>A]在区间[D]上能成立，则等价于函数[f(x)]在区间[D]上的最大值大于[A]；
若在区间[D]上存在实数[x]使不等式[f(x) （三）恰成立问题
若不等式[f(x)>A]在区间[D]上恰成立, 则等价于不等式[f(x)>A]的解集为[D]；
若不等式[f(x)
二、含参不等式恒成立求解方法
（一）判别式法
若所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题.一般地，对于二次函数[f(x)=ax2+bx+c(a≠0,x∈R)],有
（1）[f(x)>0]对[x∈R]恒成立[⇔a>0Δ<0];
（2）[f(x)<0]对[x∈R]恒成立[⇔a<0Δ<0.]
例1 已知函数[y=lg[x2+(a-1)x+a2]]的定义域为[R]，求实数[a]的取值范围.
解 由题设可将问题转化为不等式[x2+(a-1)x+a2>0]对[x∈R]恒成立，即有[Δ=(a-1)2-4a2<0]，解得[a<-1]或[a>13.]
所以实数[a]的取值范围为[(-∞,-1)⋃(13,+∞).]
注 若二次不等式中[x]的取值范围有限制，则可利用根的分布解决问题.
例2 设[f(x)=x2-2mx+2]，当[x∈[-1,+∞)]时，[f(x)≥m]恒成立，求实数[m]的取值范围.
解 设[F(x)=x2-2mx+2-m]，
则当[x∈[-1,+∞)]时，[F(x)≥0]恒成立.
当[Δ=4(m-1)(m+2)≤0],即[-2≤m≤1]时，[F(x)>0]显然成立；
当[Δ>0]时，如图，
[F(x)≥0]恒成立的充要条件为：
[Δ>0,F(-1)≥0,--2m2≤-1,] 解得[-3≤m<-2.]
综上可得实数[m]的取值范围为[[-3,1]].
（二）最值法
将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法，其一般类型有：
（1）[f(x)>a]恒成立[⇔a （2）[f(x)f(x)max].
例3 已知[f(x)=7x2-28x-a,][g(x)=2x3+4x2][-40x,]当[x∈[-3,3]]时，[f(x)≤g(x)]恒成立，求实数[a]的取值范围.
解 设[F(x)=f(x)-g(x)=-2x3+3x2+12x-c]，
由题设可知[F(x)≤0]对任意[x∈[-3,3]]恒成立,
[F′(x)=-6x2+6x+12=0]，得[x=-1]或[x=2,]
而[F(-1)=-7a,F(2)=20-a,]
[F(-3)=45-a,F(3)=9-a,]
∴[F(x)max=45-a≤0].
∴[a≥45]即实数[a]的取值范围为[[45,+∞).]
例4 设数列[an]的前[n]项和为[Sn]，点[n,Snn(n∈N∗)]均在函数[y=3x-2]的图象上.
（Ⅰ）求数列[an]的通项公式；
（Ⅱ）设[bn=3anan+1]，[Tn]是数列[bn]的前[n]项和，求使得[Tn 解 （Ⅰ）依题意得，[Snn=3n-2,]
即[Sn=3n2-2n].
当[n≥2]时，
[an=Sn-Sn-1=(3n2-2n)-3n-12-2(n-1)]
[=6n-5];
当[n=1]时，[a1=S1=3×1-2=1=6×1-5.]
所以[an=6n-5(n∈N∗)].
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
[bn=3anan+1=1(6n-5)6(n+1)-5=1216n-5-16n+1，]
故[Tn=i=1nbi]
[=121-17+17-113+⋯+16n-5-16n+1]
=[121-16n+1].
因此，使得[121-16n+1 注 在求得参数的范围时，什么时候有等号，什么时候没有等号？
例5 函数[f(x)=x2+2x+ax,][x∈[1,+∞)]，若对任意[x∈[1,+∞)]，[f(x)>0]恒成立，求实数[a]的取值范围.
解 若对任意[x∈[1,+∞)]，[f(x)>0]恒成立，即对[x∈[1,+∞)]，[f(x)=x2+2x+ax>0]恒成立， 考虑到不等式的分母[x∈[1,+∞)]，只需[x2+2x+a>0]在[x∈[1,+∞)]时恒成立，而抛物线[g(x)=x2+2x+a]在[x∈[1,+∞)]的最小值[gmin(x)=g(1)=3+a>0]，得[a>-3].
注 本题还可将[f(x)]变形为[f(x)=x+ax+2]，讨论其单调性从而求出[f(x)]的最小值.
（三）分离变量法
若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围.这种方法本质也还是求最值，但它思路更清晰，操作性更强.一般地有：
（1）[f(x)f(x)max]；
（2）[f(x)>g(a)(a]为参数）恒成立[⇔g(a) 实际上，上题就可利用此法解决.
略解 [x2+2x+a>0]在[x∈[1,+∞)]时恒成立，只要[a>-x2-2x]在[x∈[1,+∞)]时恒成立.而易求得二次函数[h(x)=-x2-2x]在[[1,+∞)]上的最大值为-3，所以[a>-3].
例6 已知函数[f(x)=ax-4x-x2,x∈(0,4]]时[f(x)<0]恒成立，求实数[a]的取值范围.
解 问题可转化为[a<4x-x2x]对[x∈(0,4]]恒成立.
令[g(x)=4x-x2x]，则[a 由[g(x)=4x-x2x=4x-1]，可知[g(x)]在[(0,4]]上为减函数，故[g(x)min=g(4)=0]，
∴[a<0]，即[a]的取值范围为[(-∞,0)].
注 分离参数后，方向明确，思路清晰能使问题顺利得到解决.
（四）变换主元法
处理含参不等式恒成立的某些问题时，若能适时的把主元变量和参数变量进行“换位”思考，往往会使问题降次、简化.
例7 对任意[x∈[-1,1]]，不等式[x2+(a-4)x+4-2a>0]恒成立，求[x]的取值范围.
分析 题中的不等式是关于[x]的一元二次不等式，但若把[a]看成主元，则问题可转化为一次不等式[(x-2)a+x2-4x+4>0]在[x∈[-1,1]]上恒成立的问题.
解 令[f(a)=(x-2)a+x2-4x+4]，原问题可转化为[f(a)>0]恒成立（[x∈[-1,1]]）.
当[x=2]时，可得[f(a)=0]，不合题意.
当[x≠2]时，应有[f(1)>0,f(-1)>0,]
解之得[x<1]或[x>3]，
故[x]的取值范围为[(-∞,1)⋃(3,+∞).]
注 一般地，一次函数[f(x)=kx+b(k≠0)]在[[α,β]]上恒有[f(x)>0]的充要条件为[f(α)>0f(β)>0].
（五）数形结合法
数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，这充分说明了数形结合思想的妙处，在不等式恒成立问题中它同样起着重要作用.我们知道，函数图象和不等式有着密切的联系：
（1）[f(x)>g(x)⇔]函数[f(x)]图象恒在函数[g(x)]图象上方；
（2）[f(x) 例8 设[f(x)=-x2-4x] ,[g(x)=43x+1-a,]若恒有[f(x)≤g(x)]成立,求实数[a]的取值范围.
分析 在同一直角坐标系中作出[f(x)]及[g(x)] 的图象.
如图所示，[f(x)]的图象是半圆[(x+2)2+y2=4][(y≥0)]，
[g(x)]的图象是平行的直线系[4x-3y+3-3a=0].
要使[f(x)≤g(x)]恒成立，
则圆心[(-2,0)]到直线[4x-3y+3-3a=0]的距离满足[d=|-8+3-3a|5≥2,]
解得[a≤-5]或[a≥53]（舍去).
由上可见，含参不等式恒成立问题因其覆盖知识点多，方法也多种多样，但其核心思想还是等价转化，抓住了这点，才能以“不变应万变”，当然这需要我们不断的去领悟、体会和总结.
本文就结合实例谈谈这类问题的一般求解策略.
一、不等式的恒成立、能成立、恰成立等问题的操作程序
（一）恒成立问题
若不等式[f(x)>A]在区间[D]上恒成立,则等价于函数[f(x)]在区间[D]上的最小值大于[A]；
若不等式[f(x)
若在区间[D]上存在实数[x]使不等式[f(x)>A]成立,即[f(x)>A]在区间[D]上能成立，则等价于函数[f(x)]在区间[D]上的最大值大于[A]；
若在区间[D]上存在实数[x]使不等式[f(x)
若不等式[f(x)>A]在区间[D]上恰成立, 则等价于不等式[f(x)>A]的解集为[D]；
若不等式[f(x)
二、含参不等式恒成立求解方法
（一）判别式法
若所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题.一般地，对于二次函数[f(x)=ax2+bx+c(a≠0,x∈R)],有
（1）[f(x)>0]对[x∈R]恒成立[⇔a>0Δ<0];
（2）[f(x)<0]对[x∈R]恒成立[⇔a<0Δ<0.]
例1 已知函数[y=lg[x2+(a-1)x+a2]]的定义域为[R]，求实数[a]的取值范围.
解 由题设可将问题转化为不等式[x2+(a-1)x+a2>0]对[x∈R]恒成立，即有[Δ=(a-1)2-4a2<0]，解得[a<-1]或[a>13.]
所以实数[a]的取值范围为[(-∞,-1)⋃(13,+∞).]
注 若二次不等式中[x]的取值范围有限制，则可利用根的分布解决问题.
例2 设[f(x)=x2-2mx+2]，当[x∈[-1,+∞)]时，[f(x)≥m]恒成立，求实数[m]的取值范围.
解 设[F(x)=x2-2mx+2-m]，
则当[x∈[-1,+∞)]时，[F(x)≥0]恒成立.
当[Δ=4(m-1)(m+2)≤0],即[-2≤m≤1]时，[F(x)>0]显然成立；
当[Δ>0]时，如图，
[F(x)≥0]恒成立的充要条件为：
[Δ>0,F(-1)≥0,--2m2≤-1,] 解得[-3≤m<-2.]
综上可得实数[m]的取值范围为[[-3,1]].
（二）最值法
将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法，其一般类型有：
（1）[f(x)>a]恒成立[⇔a
例3 已知[f(x)=7x2-28x-a,][g(x)=2x3+4x2][-40x,]当[x∈[-3,3]]时，[f(x)≤g(x)]恒成立，求实数[a]的取值范围.
解 设[F(x)=f(x)-g(x)=-2x3+3x2+12x-c]，
由题设可知[F(x)≤0]对任意[x∈[-3,3]]恒成立,
[F′(x)=-6x2+6x+12=0]，得[x=-1]或[x=2,]
而[F(-1)=-7a,F(2)=20-a,]
[F(-3)=45-a,F(3)=9-a,]
∴[F(x)max=45-a≤0].
∴[a≥45]即实数[a]的取值范围为[[45,+∞).]
例4 设数列[an]的前[n]项和为[Sn]，点[n,Snn(n∈N∗)]均在函数[y=3x-2]的图象上.
（Ⅰ）求数列[an]的通项公式；
（Ⅱ）设[bn=3anan+1]，[Tn]是数列[bn]的前[n]项和，求使得[Tn
即[Sn=3n2-2n].
当[n≥2]时，
[an=Sn-Sn-1=(3n2-2n)-3n-12-2(n-1)]
[=6n-5];
当[n=1]时，[a1=S1=3×1-2=1=6×1-5.]
所以[an=6n-5(n∈N∗)].
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
[bn=3anan+1=1(6n-5)6(n+1)-5=1216n-5-16n+1，]
故[Tn=i=1nbi]
[=121-17+17-113+⋯+16n-5-16n+1]
=[121-16n+1].
因此，使得[121-16n+1
例5 函数[f(x)=x2+2x+ax,][x∈[1,+∞)]，若对任意[x∈[1,+∞)]，[f(x)>0]恒成立，求实数[a]的取值范围.
解 若对任意[x∈[1,+∞)]，[f(x)>0]恒成立，即对[x∈[1,+∞)]，[f(x)=x2+2x+ax>0]恒成立， 考虑到不等式的分母[x∈[1,+∞)]，只需[x2+2x+a>0]在[x∈[1,+∞)]时恒成立，而抛物线[g(x)=x2+2x+a]在[x∈[1,+∞)]的最小值[gmin(x)=g(1)=3+a>0]，得[a>-3].
注 本题还可将[f(x)]变形为[f(x)=x+ax+2]，讨论其单调性从而求出[f(x)]的最小值.
（三）分离变量法
若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围.这种方法本质也还是求最值，但它思路更清晰，操作性更强.一般地有：
（1）[f(x)
（2）[f(x)>g(a)(a]为参数）恒成立[⇔g(a)
略解 [x2+2x+a>0]在[x∈[1,+∞)]时恒成立，只要[a>-x2-2x]在[x∈[1,+∞)]时恒成立.而易求得二次函数[h(x)=-x2-2x]在[[1,+∞)]上的最大值为-3，所以[a>-3].
例6 已知函数[f(x)=ax-4x-x2,x∈(0,4]]时[f(x)<0]恒成立，求实数[a]的取值范围.
解 问题可转化为[a<4x-x2x]对[x∈(0,4]]恒成立.
令[g(x)=4x-x2x]，则[a
∴[a<0]，即[a]的取值范围为[(-∞,0)].
注 分离参数后，方向明确，思路清晰能使问题顺利得到解决.
（四）变换主元法
处理含参不等式恒成立的某些问题时，若能适时的把主元变量和参数变量进行“换位”思考，往往会使问题降次、简化.
例7 对任意[x∈[-1,1]]，不等式[x2+(a-4)x+4-2a>0]恒成立，求[x]的取值范围.
分析 题中的不等式是关于[x]的一元二次不等式，但若把[a]看成主元，则问题可转化为一次不等式[(x-2)a+x2-4x+4>0]在[x∈[-1,1]]上恒成立的问题.
解 令[f(a)=(x-2)a+x2-4x+4]，原问题可转化为[f(a)>0]恒成立（[x∈[-1,1]]）.
当[x=2]时，可得[f(a)=0]，不合题意.
当[x≠2]时，应有[f(1)>0,f(-1)>0,]
解之得[x<1]或[x>3]，
故[x]的取值范围为[(-∞,1)⋃(3,+∞).]
注 一般地，一次函数[f(x)=kx+b(k≠0)]在[[α,β]]上恒有[f(x)>0]的充要条件为[f(α)>0f(β)>0].
（五）数形结合法
数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，这充分说明了数形结合思想的妙处，在不等式恒成立问题中它同样起着重要作用.我们知道，函数图象和不等式有着密切的联系：
（1）[f(x)>g(x)⇔]函数[f(x)]图象恒在函数[g(x)]图象上方；
（2）[f(x)
分析 在同一直角坐标系中作出[f(x)]及[g(x)] 的图象.
如图所示，[f(x)]的图象是半圆[(x+2)2+y2=4][(y≥0)]，
[g(x)]的图象是平行的直线系[4x-3y+3-3a=0].
要使[f(x)≤g(x)]恒成立，
则圆心[(-2,0)]到直线[4x-3y+3-3a=0]的距离满足[d=|-8+3-3a|5≥2,]
解得[a≤-5]或[a≥53]（舍去).
由上可见，含参不等式恒成立问题因其覆盖知识点多，方法也多种多样，但其核心思想还是等价转化，抓住了这点，才能以“不变应万变”，当然这需要我们不断的去领悟、体会和总结.