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确定的方法不再是一堂课的终极追求，结论的可增值性、问题的不断生成和卷入仿佛成为课堂的最后价值取向，即便是“颠覆”原有结论，也在所不惜。
“这节课已经上过，还能当作新课
上吗？”
“角的度量是一节技能课，学生在整节课上都可以不用度量吗？”
“已被公认的45°锐角，可以被颠覆而命名为100°吗？”
……
当开始叩问这些问题时，或许我们就已经在思考了……
一、目标之颠覆：关于“渗透思想”与“建立观念”
“角的度量”这一课时，上过这课的教师大多会把认识量角器、掌握量角的方法作为重中之重，而有经验的教师则会将量角的方法编成儿歌“点对点，边对边，度数要看内外圈”，让学生熟练掌握技能。显然，俞正强老师对此课时的教学目标有了一次巨大颠覆与重构。
1.“赋形于数”，渗透“数形结合”的思想
数形结合这一思想方法形成的重要标志，是学生能够自觉并自如地转换“数”与“形”的相互表达。之前，学生可能已经有了用数轴模型、面积模型来表达数的经验，但无疑“角”这一“形”的模型，如何用“数”来表达，是一个新的节点与契机。
对于这样的目标，几乎没有被纳入常规“角的度量”一课的目标视野，而俞老师却为我们打开这一扇窗，“赋形于数，让学生经历‘定量刻画’的过程，渗透‘数形结合’的思想”，让这一目标得以彰显。
“五个角，从左往右看，角的大小越来越____？”“从右往左看呢？”
“①号角如果用一个数字来表示，你准备用数字几来表示？”（生回答：0。）
“如果①号角用0来表示，那②号角可用几来表示？”（生回答：40、45、60、70等。）
“如果②号角用100来表示，那③号角呢？④号角、⑤号角呢？
……
显然，“角的大小”可以被“数字化”，“大小”可以用“值”来表示，这些观念在学生自主“定量刻画”的过程中有了充分的体验。
2. “任意赋值”，体验“标准建立”的过程
度量，必然会涉及单位，而度量的过程就是“单位累加”的过程。“单位”的建立，或者说“标准”的建立，在常规课堂中学生认为是“确定的”。而俞老师的“颠覆”在于告诉学生，“标准是重要的，但标准是可以自定义的”。这一贯穿于学生数学学习始终的思想，是如此重要！对学生而言，这一观念的重构，几乎可以影响他一生的学习。数学学习如此，甚至可以延展为一种人生哲学，如美丑、贫富。
首先，“标准是可以自定义的”。教师让学生经历这样的过程：“如果②号角是100°，可以吗？”“如果②号角是100°，其余角分别是几度？”“如果②号角是20°、30°、2°呢？”学生的意见从最初的“不可以”到“可以重新下个定义”，思维变化的轨迹十分清晰。
其次，“标准是十分重要的”。从多次变化②号角的度数，学生会体会到可以用任何数来表示，但多次变化后其余角的大小会随这个角的确定而变化。这个角就是“中心”，就是“标杆”，就是带“头”。学生朴素的语言表达，已经反映出其“标准”的建立。
二、方法之颠覆：关于“方法掌握”与“技能形成”
有一种观点，技能是需要操练的，方法是需要落实的。在俞老师的课上，学生居然没有动手用量角器度量，这样也可以吗？根据我们的经验，学生若进行具体操作，会有很多困难与错误，如何解决？
我们也不妨从这个角度进行分析。事实上，对于测量方法的掌握，我们依然可以从多个细节来体会俞老师对这一目标的关注与重视。
1. 估测，有利于测量结果的检验。
2. 重叠，为度量方法设计阶梯。
3. “0边”“边对边”方法的理解与要领指导。
首先，教师多次引导学生估测。（1）整体估。“从左往右，角的大小越来越小，从右往左越来越大。”（2）确定标准后再估，“两个标准”“4个标准”，是“锐角”“钝角”，这有利于学生建立角的实际大小的观念。
其次，设计“重叠”环节，为度量方法的掌握提供很好的阶梯。通过这一环节，教师引导学生把五个角叠起来，会出现什么状况？显然，这已经构建出量角器的雏形，然后，教师出示学具角，问怎样放到这5个角中，学生会回答“顶点对中心点、0边对0边”。这一过程正是量角方法的核心，凸显量角方法的要领。
再次，体会“0边”的重要性及“边对边”方法的内在理解与要领指导。伴随“自主赋值”自定义的过程，教师始终强调：“有一条边是始终不变的，犹如‘定海神针’。”“度量时要注意0边，因为它很重要。”显然，教师并不满足于无意义的机械操作，而是试图在自定义的过程中，充分体会“0边”价值以及对“边对边”操作的内在理解。
这样的细节还有很多。例如，比较方向不同的两组材料，让学生体会量角时要注意“内外圈”等。以上分析，想表达的重点是，思想、观念固然重要，但具体的方法理解、操作指导、技能熟练亦不容缺失。显然，俞老师都做到了。
三、起点之颠覆：关于“已经学了”与“还得到什么”
高手，表现为两个方面，一是对数学本质的深刻理解与整体把握，二是对儿童的尊重与激活。这课已经上过了，还能再上吗？着实为俞老师捏了一把汗。一上课，“这节课我们已经上过了”这一信息如此突然，这是一次意外，是借班上课带来的尴尬，怎么办？
俞老师依然从“你已经知道怎么量了吗”开始，在整节课上，我们看到，学生从“胸有成竹”到“疑惑混沌”再到“豁然开朗”，从“迟疑小心”到“自由安全”再到“争先恐后”。
虽然学生已经学过了，但他们还能得到什么？
这次课可以让我们看到教师对学生真实起点的把握，看到教师对传统保守思路的背叛。确定的方法不再是一堂课的终极追求，结论的可增值性、问题的不断生成和卷入仿佛成为课堂的最后价值取向，即便是“颠覆”原有结论，也在所不惜。在这里，我们再一次看到教师对数学知识的“战略性”忽视，因为教师心中有大局观，而学生留下的是意识、思想、经验、习惯以及快乐……
课后，俞老师和我说：学生学习的愉悦来自学习过程中的“惊诧”！我想，可能表达的正是此意！
（作者单位：浙江省杭州市江干区教研室）
（责任编辑：孙建辉）
“这节课已经上过，还能当作新课
上吗？”
“角的度量是一节技能课，学生在整节课上都可以不用度量吗？”
“已被公认的45°锐角，可以被颠覆而命名为100°吗？”
……
当开始叩问这些问题时，或许我们就已经在思考了……
一、目标之颠覆：关于“渗透思想”与“建立观念”
“角的度量”这一课时，上过这课的教师大多会把认识量角器、掌握量角的方法作为重中之重，而有经验的教师则会将量角的方法编成儿歌“点对点，边对边，度数要看内外圈”，让学生熟练掌握技能。显然，俞正强老师对此课时的教学目标有了一次巨大颠覆与重构。
1.“赋形于数”，渗透“数形结合”的思想
数形结合这一思想方法形成的重要标志，是学生能够自觉并自如地转换“数”与“形”的相互表达。之前，学生可能已经有了用数轴模型、面积模型来表达数的经验，但无疑“角”这一“形”的模型，如何用“数”来表达，是一个新的节点与契机。
对于这样的目标，几乎没有被纳入常规“角的度量”一课的目标视野，而俞老师却为我们打开这一扇窗，“赋形于数，让学生经历‘定量刻画’的过程，渗透‘数形结合’的思想”，让这一目标得以彰显。
“五个角，从左往右看，角的大小越来越____？”“从右往左看呢？”
“①号角如果用一个数字来表示，你准备用数字几来表示？”（生回答：0。）
“如果①号角用0来表示，那②号角可用几来表示？”（生回答：40、45、60、70等。）
“如果②号角用100来表示，那③号角呢？④号角、⑤号角呢？
……
显然，“角的大小”可以被“数字化”，“大小”可以用“值”来表示，这些观念在学生自主“定量刻画”的过程中有了充分的体验。
2. “任意赋值”，体验“标准建立”的过程
度量，必然会涉及单位，而度量的过程就是“单位累加”的过程。“单位”的建立，或者说“标准”的建立，在常规课堂中学生认为是“确定的”。而俞老师的“颠覆”在于告诉学生，“标准是重要的，但标准是可以自定义的”。这一贯穿于学生数学学习始终的思想，是如此重要！对学生而言，这一观念的重构，几乎可以影响他一生的学习。数学学习如此，甚至可以延展为一种人生哲学，如美丑、贫富。
首先，“标准是可以自定义的”。教师让学生经历这样的过程：“如果②号角是100°，可以吗？”“如果②号角是100°，其余角分别是几度？”“如果②号角是20°、30°、2°呢？”学生的意见从最初的“不可以”到“可以重新下个定义”，思维变化的轨迹十分清晰。
其次，“标准是十分重要的”。从多次变化②号角的度数，学生会体会到可以用任何数来表示，但多次变化后其余角的大小会随这个角的确定而变化。这个角就是“中心”，就是“标杆”，就是带“头”。学生朴素的语言表达，已经反映出其“标准”的建立。
二、方法之颠覆：关于“方法掌握”与“技能形成”
有一种观点，技能是需要操练的，方法是需要落实的。在俞老师的课上，学生居然没有动手用量角器度量，这样也可以吗？根据我们的经验，学生若进行具体操作，会有很多困难与错误，如何解决？
我们也不妨从这个角度进行分析。事实上，对于测量方法的掌握，我们依然可以从多个细节来体会俞老师对这一目标的关注与重视。
1. 估测，有利于测量结果的检验。
2. 重叠，为度量方法设计阶梯。
3. “0边”“边对边”方法的理解与要领指导。
首先，教师多次引导学生估测。（1）整体估。“从左往右，角的大小越来越小，从右往左越来越大。”（2）确定标准后再估，“两个标准”“4个标准”，是“锐角”“钝角”，这有利于学生建立角的实际大小的观念。
其次，设计“重叠”环节，为度量方法的掌握提供很好的阶梯。通过这一环节，教师引导学生把五个角叠起来，会出现什么状况？显然，这已经构建出量角器的雏形，然后，教师出示学具角，问怎样放到这5个角中，学生会回答“顶点对中心点、0边对0边”。这一过程正是量角方法的核心，凸显量角方法的要领。
再次，体会“0边”的重要性及“边对边”方法的内在理解与要领指导。伴随“自主赋值”自定义的过程，教师始终强调：“有一条边是始终不变的，犹如‘定海神针’。”“度量时要注意0边，因为它很重要。”显然，教师并不满足于无意义的机械操作，而是试图在自定义的过程中，充分体会“0边”价值以及对“边对边”操作的内在理解。
这样的细节还有很多。例如，比较方向不同的两组材料，让学生体会量角时要注意“内外圈”等。以上分析，想表达的重点是，思想、观念固然重要，但具体的方法理解、操作指导、技能熟练亦不容缺失。显然，俞老师都做到了。
三、起点之颠覆：关于“已经学了”与“还得到什么”
高手，表现为两个方面，一是对数学本质的深刻理解与整体把握，二是对儿童的尊重与激活。这课已经上过了，还能再上吗？着实为俞老师捏了一把汗。一上课，“这节课我们已经上过了”这一信息如此突然，这是一次意外，是借班上课带来的尴尬，怎么办？
俞老师依然从“你已经知道怎么量了吗”开始，在整节课上，我们看到，学生从“胸有成竹”到“疑惑混沌”再到“豁然开朗”，从“迟疑小心”到“自由安全”再到“争先恐后”。
虽然学生已经学过了，但他们还能得到什么？
这次课可以让我们看到教师对学生真实起点的把握，看到教师对传统保守思路的背叛。确定的方法不再是一堂课的终极追求，结论的可增值性、问题的不断生成和卷入仿佛成为课堂的最后价值取向，即便是“颠覆”原有结论，也在所不惜。在这里，我们再一次看到教师对数学知识的“战略性”忽视，因为教师心中有大局观，而学生留下的是意识、思想、经验、习惯以及快乐……
课后，俞老师和我说：学生学习的愉悦来自学习过程中的“惊诧”！我想，可能表达的正是此意！
（作者单位：浙江省杭州市江干区教研室）
（责任编辑：孙建辉）