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在光学中，我们用凸透镜可以将一束平行光聚焦于一点，在电磁学中，我们也可以用合适的磁场将带电的粒子束聚焦于一点，这种现象称为“磁聚焦”，这些磁场的作用就类似于光学中的透镜.磁聚焦现象在许多电子仪器中有着广泛应用，比如电子显像管、电子显微镜等.下面笔者结合具体实例分析一下高中阶段常见的磁聚焦问题.
1平面内的磁聚焦
1.1利用圆形磁场实现“磁聚焦”
例1（2009年浙江理综）如图1所示，x轴正方向水平向右，y轴正方向竖直向上.在xOy平面内有半径为R的圆，圆内有与垂直xOy平面的匀强磁场.在圆的左边放置一带电微粒发射装置，它沿x轴正方向发射出一束具有相同质量m、电荷量q（q>0）和初速度v的带电微粒.发射时，这束带电微粒分布在0 （1）从中点A射出的带电微粒平行于x轴从C点进入有磁场区域，并从坐标原点O沿y轴负方向离开，求磁感应强度的大小与方向.
解析微粒从C点进入，O点射出，轨迹圆的圆心一定在过C点的切线上，也一定在过O点的切线上，如图2所示，不难发现轨迹圆的圆心正好在x轴负半轴上，其半径正好等于磁场区域圆的半径.
因为r=R=mvqB，所以B=mvqR，方向垂直纸面向外.
（2）如图3所示，在A点两侧小于R的区域内任找一点，由该点发出的微粒从哪里射出磁场？
解析轨迹圆的圆心一定在进入磁场位置P点的正下方距离为R处，设为Q点，以其为圆心作圆弧，交磁场边界于M，连接QPO′M四点，因四边长度均等于R，可知这是一菱形，当然也是平行四边形，所以PQ∥O′M，M在O′正下方距离为R处，显然M和坐标原点O重合，即粒子从O点射出磁场，考虑到P点具有任意性，易知所有从左侧水平射入圆形磁场的粒子都从O点射出，即水平向右的离子束被圆形磁场聚焦到了O点.
（3）若在O点的下方，有一个关于x轴对称的一模一样的圆形磁场，那从O点射出的粒子经过这个磁场后又将如何？
解析设x轴下方磁场圆的圆心为O″，粒子从N点射出磁场，如图4（a）所示，连接PNO″O四点，这同样是一个菱形，同时有PN∥OO″，所以QN竖直，粒子射出磁场时的速度方向垂直于QN，自然是水平的.由于N点的任意性，其它从圆形磁场射出的粒子也是水平的，圆形磁场将从其边缘一点发出粒子扩散成了一束平行的粒子流，此过程可看作是磁聚焦的逆过程，类似于凸透镜将点光源发出的光变成了平行光.如果x轴下侧的磁场改为垂直于纸面向内，则又可以将其变成水平向右射出，如图4（b）所示.
1.2利用“叶形磁场”实现“磁聚焦”
例2如图5所示，在xOy平面内有一束带正电的粒子，处在0 解析由上一题的结论，最容易想到的便是在O点的正上方放置一个半径为H/2的圆形磁场，磁场方向垂直纸面向外，这样就能把所有粒子聚集到O点，如图6（a）所示.
实际上上述的圆形磁场还可以再放大一些，如图6（b）、（c）所示.
我们注意到此时真正有用的磁场只有左下方的一小块叶形区域，所以只需加如图7所示的“叶形磁场”就可以实现题目要求的聚焦效果，显然图7中阴影对应的“叶形磁场”面积是最小的.利用“叶形磁场”也能实现粒子的扩散，譬如在第四象限再放置一个叶形磁场，就可以将汇聚到O点的粒子束再一次扩散成平行的，如图8所示.
另外，如果第四象限的叶形磁场的磁感应强度减半，大小增加一倍，则粒子束的宽度将变为原来的两倍，如图9（a）.利用该结论可顺利解决下面的问题.
例3在xOy平面上有一片稀疏的电子处在-H 解析由上面的分析，只要作如图9（b）所示像蝴蝶一样的磁场即可实现题目要求的效果.
1.3利用“对称磁场”实现“磁聚焦”
例4如图10所示，在xOy平面内的P（-a、0）放置一个粒子源，它能向y>0一侧均匀放出质量为m、电荷量为 q的粒子，匀强磁场垂直xOy平面（磁感应强度为B，且满足mvqB 解析由上面的分析，最容易想到的便是利用圆形磁场或者“叶形磁场”先把发散的粒子变成一束平行粒子，然后再汇聚到Q，如图11所示.
上述的磁场含有多个区域，能否仅用一块磁场就达成聚焦的目的呢？如果能的话这块磁场的边界又是怎样的呢？
我们知道粒子在磁场中做的是匀速圆周运动，要在Q点会聚，其轨迹以及磁场的分布必定关于y轴左右对称，且轨迹的圆心应当就在y轴上，如图12（a）所示，设轨迹圆的圆心在（0，-b），轨迹圆的半径为r，由两个直角三角形相似可得y bx=a-xy，另外A点也在圆周上，所以x2 （y b）2=r2，两式联立，消去y b，可得（r2-x2）·y2=（a-x）2·x2，这是一条四次曲线，过原点，但并不关于y轴左右对称，所以我们只选取取它第一象限内的部分，并在第二象限内作它的对称曲线，即（r2-x2）·y2=（a x）2·x2，这样就得到了磁场的左右边界，如图12（b）所示.
因此磁场的边界可以表示为
y=（a-x）xr2-x2， 0≤x -（a x）xr2-x2，-r 需要注意的是由于r=mvqB 2三维空间中的磁聚焦
例5某空间存在着沿Oy正方向的匀强磁场，磁感应强度的大小为B.一群同种带电粒子（质量为m、电荷量为-q）同时从坐标原点以不同的初速度v1、v2、…、vn射出，这些初速之间的关系如图13所示.试证明这群粒子将汇聚在一起，并求汇聚点的坐标.
解析粒子的运动可以分解为水平方向的匀速直线运动以及在竖直面内的匀速圆周运动，如图14（a）所示，水平方向的速度v∥=vcosθ，竖直面内圆周运动的线速度为v⊥=vsinθ，也就是说粒子是一边前进一边转圈，如图14（b）顺着磁感线看过去，就如图14（c）所示.
由于v∥相同，且转圈的周期T=2πmqB也相同，所以每过一个T，粒子又同时回到y轴上，此时他们的水平位移d=v∥·T=vcosθ·2πmqB完全相同，所以它们一定会聚在一起，d称为一个螺距，理论上在y=nd （n=1、2、3、…）的地方，粒子都会重新汇聚，但因为它们之间存在相互作用力，只有第一次的汇聚才有实际意义.
在磁聚焦现象中，磁场就像是神奇的“透镜”，将粒子束聚焦或者扩散，与之相关的问题往往都比较抽象，挑战性很高，教师在教学中合适地加以介绍，不仅可以激发学生兴趣和探究的欲望，还能很好地锻炼他们的思维能力，提高思维品质.
1平面内的磁聚焦
1.1利用圆形磁场实现“磁聚焦”
例1（2009年浙江理综）如图1所示，x轴正方向水平向右，y轴正方向竖直向上.在xOy平面内有半径为R的圆，圆内有与垂直xOy平面的匀强磁场.在圆的左边放置一带电微粒发射装置，它沿x轴正方向发射出一束具有相同质量m、电荷量q（q>0）和初速度v的带电微粒.发射时，这束带电微粒分布在0
解析微粒从C点进入，O点射出，轨迹圆的圆心一定在过C点的切线上，也一定在过O点的切线上，如图2所示，不难发现轨迹圆的圆心正好在x轴负半轴上，其半径正好等于磁场区域圆的半径.
因为r=R=mvqB，所以B=mvqR，方向垂直纸面向外.
（2）如图3所示，在A点两侧小于R的区域内任找一点，由该点发出的微粒从哪里射出磁场？
解析轨迹圆的圆心一定在进入磁场位置P点的正下方距离为R处，设为Q点，以其为圆心作圆弧，交磁场边界于M，连接QPO′M四点，因四边长度均等于R，可知这是一菱形，当然也是平行四边形，所以PQ∥O′M，M在O′正下方距离为R处，显然M和坐标原点O重合，即粒子从O点射出磁场，考虑到P点具有任意性，易知所有从左侧水平射入圆形磁场的粒子都从O点射出，即水平向右的离子束被圆形磁场聚焦到了O点.
（3）若在O点的下方，有一个关于x轴对称的一模一样的圆形磁场，那从O点射出的粒子经过这个磁场后又将如何？
解析设x轴下方磁场圆的圆心为O″，粒子从N点射出磁场，如图4（a）所示，连接PNO″O四点，这同样是一个菱形，同时有PN∥OO″，所以QN竖直，粒子射出磁场时的速度方向垂直于QN，自然是水平的.由于N点的任意性，其它从圆形磁场射出的粒子也是水平的，圆形磁场将从其边缘一点发出粒子扩散成了一束平行的粒子流，此过程可看作是磁聚焦的逆过程，类似于凸透镜将点光源发出的光变成了平行光.如果x轴下侧的磁场改为垂直于纸面向内，则又可以将其变成水平向右射出，如图4（b）所示.
1.2利用“叶形磁场”实现“磁聚焦”
例2如图5所示，在xOy平面内有一束带正电的粒子，处在0
实际上上述的圆形磁场还可以再放大一些，如图6（b）、（c）所示.
我们注意到此时真正有用的磁场只有左下方的一小块叶形区域，所以只需加如图7所示的“叶形磁场”就可以实现题目要求的聚焦效果，显然图7中阴影对应的“叶形磁场”面积是最小的.利用“叶形磁场”也能实现粒子的扩散，譬如在第四象限再放置一个叶形磁场，就可以将汇聚到O点的粒子束再一次扩散成平行的，如图8所示.
另外，如果第四象限的叶形磁场的磁感应强度减半，大小增加一倍，则粒子束的宽度将变为原来的两倍，如图9（a）.利用该结论可顺利解决下面的问题.
例3在xOy平面上有一片稀疏的电子处在-H
1.3利用“对称磁场”实现“磁聚焦”
例4如图10所示，在xOy平面内的P（-a、0）放置一个粒子源，它能向y>0一侧均匀放出质量为m、电荷量为 q的粒子，匀强磁场垂直xOy平面（磁感应强度为B，且满足mvqB
上述的磁场含有多个区域，能否仅用一块磁场就达成聚焦的目的呢？如果能的话这块磁场的边界又是怎样的呢？
我们知道粒子在磁场中做的是匀速圆周运动，要在Q点会聚，其轨迹以及磁场的分布必定关于y轴左右对称，且轨迹的圆心应当就在y轴上，如图12（a）所示，设轨迹圆的圆心在（0，-b），轨迹圆的半径为r，由两个直角三角形相似可得y bx=a-xy，另外A点也在圆周上，所以x2 （y b）2=r2，两式联立，消去y b，可得（r2-x2）·y2=（a-x）2·x2，这是一条四次曲线，过原点，但并不关于y轴左右对称，所以我们只选取取它第一象限内的部分，并在第二象限内作它的对称曲线，即（r2-x2）·y2=（a x）2·x2，这样就得到了磁场的左右边界，如图12（b）所示.
因此磁场的边界可以表示为
y=（a-x）xr2-x2， 0≤x
例5某空间存在着沿Oy正方向的匀强磁场，磁感应强度的大小为B.一群同种带电粒子（质量为m、电荷量为-q）同时从坐标原点以不同的初速度v1、v2、…、vn射出，这些初速之间的关系如图13所示.试证明这群粒子将汇聚在一起，并求汇聚点的坐标.
解析粒子的运动可以分解为水平方向的匀速直线运动以及在竖直面内的匀速圆周运动，如图14（a）所示，水平方向的速度v∥=vcosθ，竖直面内圆周运动的线速度为v⊥=vsinθ，也就是说粒子是一边前进一边转圈，如图14（b）顺着磁感线看过去，就如图14（c）所示.
由于v∥相同，且转圈的周期T=2πmqB也相同，所以每过一个T，粒子又同时回到y轴上，此时他们的水平位移d=v∥·T=vcosθ·2πmqB完全相同，所以它们一定会聚在一起，d称为一个螺距，理论上在y=nd （n=1、2、3、…）的地方，粒子都会重新汇聚，但因为它们之间存在相互作用力，只有第一次的汇聚才有实际意义.
在磁聚焦现象中，磁场就像是神奇的“透镜”，将粒子束聚焦或者扩散，与之相关的问题往往都比较抽象，挑战性很高，教师在教学中合适地加以介绍，不仅可以激发学生兴趣和探究的欲望，还能很好地锻炼他们的思维能力，提高思维品质.