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数学课堂，是教给学生结论性知识，还是教给学生过程性知识?我想，这个无可厚非，要看具体的教学内容而定。但笔者认为，课堂上能让学生主动探索的，学生能积极主动参与学习过程并自己得出结论的，教师还是多关注一下过程性知识为好。但时下的数学课堂，很大程度上教师为了提高教学质量，急功近利，直接教给学生结论性知识，有的虽安排了一些探索过程，但也只是昙花一现，追求“时髦”而已。学生是否真正掌握了知识，真正领悟了所学知识的来龙去脉？其实不然。下面就从数学操作层面谈谈笔者对此问题的一些简单思考：
一、操作中融入数学思考
《数学课程标准（实验稿）》指出：动手实践、自主探索、合作交流是学生学习数学的重要方式。组织学生在实践操作中探究发现规律，可以充分调动学生的各种感官，从感性到理性，从实践到认识。因此，动手操作是帮助学生掌握知识，发展潜能的“金桥”，是学生求知增智的重要环节。
小学生思维以形象思维为主，又具有很强的好动性，所以动手操作时常进入我们的数学课堂也是司空见惯的事情。但笔者认为，学生的操作必须伴随着数学的思考，而不是对数学学具简单的触摸或拼摆。在一次教研活动中，笔者听到了这样的一节课，内容是五年级上册《解决问题的策略——一一列举》。有这样一道例题，大家并不陌生：王大叔用18根1米长的栅栏围成一个长方形羊圈，有多少种不同的围法？为了让学生能把所有围法一一列举出来，教师让每个小孩都准备了小棒。在老师的要求下，学生在小组内很快通过摆小棒获得了所有不同围法。坐在后面听课的我，对学生的操作异常感兴趣，于是就多留了一个心眼。我发现坐在我旁边的两个小组的孩子在摆的过程中，都是一种没有数学思考的简单的拼摆而已，反正只要把18跟小棒用完并拼成一个长方形就行，于是就在不断地调整长与宽。但对于如何理解“一条长与宽的和即周长的一半”这句话，这样的孩子并不清楚，因为他们不是带着这样的数学知识，带着这样的数学思考来动手操作的。教者应引导学生始终围绕这个“9米”展开自己的操作，我想学生才能在这种有效的组合下真正一一列举出来。我们的操作是要让学生真正动起来，通过不断的操作领悟数学知识的真谛，而不是为了得到这一结果而忽视学生有效的操作。
让学生带着数学思考去操作，学生学到的不仅是一种知识，更是一种数学思想方法。如一年级的数学《10的分与合》一课，教学完后，为了强化学生对这一知识的理解与掌握，我要求学生用数字卡片摆一摆，很快一学生上台摆出了图（一）的形状，但这时有一位小女孩说：老师，我摆的和他不一样！说着小女孩在黑板上把图（一）调整成了图（二）的形状。小朋友之间瞬间争论了起来，但多数还是认为图（二）的摆法比较好，这样有一定的顺序，不会漏掉！虽然，这两种摆法都摆出了10的分与合，但后者更具有数学思考价值，更体现了数学的有序性，更有利于学生后续的数学发展。
二、在动手操作中强化空间观念
小学生的思维是处于从具体形象思维向抽象思维的过渡阶段，而空间观念的培养，更有利于促进学生抽象思维能力的培养。
六年级上学期《长方体与正方体的展开图》一课，执教过此内容的老师都清楚，本节课就是让学生动手操作，学生也不易判断能否折叠成正方体，于是在这样的背景下很多教师干脆就剥夺了学生动手操作的权利，只让学生记住例题（见下图）中剪开后的正方体展开图的基本形状，记住这一本应动态后的静态图形，而后在今后的习题中再加以强化。
殊不知，您让学生记住的仅是一种最基本的展开图形状，数学是千变万化的，数学题型更是变化多端，学生记住了这唯一的结果对今后的学习有益吗？笔者不敢苟同！与其在后面的练习中空口说白话，与其在后面的练习中用操作来验证，倒不如教学时让学生真正经历这一操作过程。
本节课，教学时理应更多地关注正方体的平面展开图，因为它的每个面都完全一样，给学生的判断造成了一定的视觉障碍。在学生动手操作得出最基本的也是学生最容易判断的展开图后，不急于让学生再次操作，而是让学生观察这种四个连排的正方形展开图都可能有哪几种情况，左右两个正方形的位置会有什么变化？让学生充分大胆地去想象，在这种规律的启示下，让学生再大胆地操作，从而发现其它的一些“展开图”（指没有四个连排正方形的图形）是否能折叠成正方体。这样的动手操作，学生不仅掌握了多种判断的方法，而且真正经历了知识的形成过程，这一过程更能有效地帮助学生去正确地判断展开后的图形能否折叠成正方体或长方体。事实上，想象一个图形能否折叠成正方体，就是引导学生在头脑中想象将图形折叠的过程，虽然此时的想象脱离了具体的操作，但正是有了前面的有效操作，学生才能在持续的想象中不断强化空间观念。让学生牢记操作后的结果，不如让学生经历操作过程，因为这样更利于学生空间想象力的发展。
三、在动手操作中培养创新意识
动手操作作为一种学习方式，其价值是不言而喻的。动手操作能丰富学生的感性认识和直接经验，使他们对所学内容形成清晰的表象，从而形成新概念，掌握新的数学知识，从而培养学生的创新意识。在实践中，需要我们去有效引导。在教学“圆柱的体积”一课时，教学中，为了让学生真正理解圆柱体积计算方法的由来，非得让他们弄清楚“所以然”来，我采取了小组合作学习模式。课前搜集了学校所有的圆柱体积的教具，让每个小组在学习中都能动起来。学生在操作中发现，圆柱可以切拼成一个近似的长方体，并知道了其前后图形之间的联系。学生在操作中不仅发现了体积的基本计算方法——底面积×高，而且有的小组探索出了另一种体积的计算方法——侧面积的一半×底面半径，也有的小组发现切拼前后图形表面积的变化情况。总之，如果老师只是让学生记住圆柱体积计算公式，或只是让学生为了操作而操作，而更多地去关注于这一操作后得出的结论，试问会有后面学生的精彩创造吗？
再比如教学“三角形的两边之和必须大于第三条边”这一知识时，如果教者只是让学生记住这一抽象的结论，学生在后面的测试中也能应付自如。但笔者在教学时，为了让学生真正理解其中的知识，课堂上仍安排了学生的操作活动。学生在操作中不仅发现“两边之和小于第三边的”真的不能拼成一个三角形，而且知道若以最长的小棒为三角形的底，那么剩下的两根小棒长度的和一定要大于这根小棒，因为“两点之间的距离只有线段最短”。学生联系旧知竟有了这样的想法，我们教师若再不给学生一定的操作空间，情何以堪呢？
苏霍姆林斯基说“儿童的智慧集中在手指上”，这也就告诉我们学生各种能力的培养、提高是从动作开始的。课堂上，我们要让学生更多地关注学习过程，让学生带着数学思考去操作，让学生通过经历操作过程强化空间思维，培养学生的创新意识。让学生通过动手操作，体验知识的动态生成和建构过程，学生才能实现有效的可持续发展。
（张声涛，南京市江宁科学园小学，211100）
一、操作中融入数学思考
《数学课程标准（实验稿）》指出：动手实践、自主探索、合作交流是学生学习数学的重要方式。组织学生在实践操作中探究发现规律，可以充分调动学生的各种感官，从感性到理性，从实践到认识。因此，动手操作是帮助学生掌握知识，发展潜能的“金桥”，是学生求知增智的重要环节。
小学生思维以形象思维为主，又具有很强的好动性，所以动手操作时常进入我们的数学课堂也是司空见惯的事情。但笔者认为，学生的操作必须伴随着数学的思考，而不是对数学学具简单的触摸或拼摆。在一次教研活动中，笔者听到了这样的一节课，内容是五年级上册《解决问题的策略——一一列举》。有这样一道例题，大家并不陌生：王大叔用18根1米长的栅栏围成一个长方形羊圈，有多少种不同的围法？为了让学生能把所有围法一一列举出来，教师让每个小孩都准备了小棒。在老师的要求下，学生在小组内很快通过摆小棒获得了所有不同围法。坐在后面听课的我，对学生的操作异常感兴趣，于是就多留了一个心眼。我发现坐在我旁边的两个小组的孩子在摆的过程中，都是一种没有数学思考的简单的拼摆而已，反正只要把18跟小棒用完并拼成一个长方形就行，于是就在不断地调整长与宽。但对于如何理解“一条长与宽的和即周长的一半”这句话，这样的孩子并不清楚，因为他们不是带着这样的数学知识，带着这样的数学思考来动手操作的。教者应引导学生始终围绕这个“9米”展开自己的操作，我想学生才能在这种有效的组合下真正一一列举出来。我们的操作是要让学生真正动起来，通过不断的操作领悟数学知识的真谛，而不是为了得到这一结果而忽视学生有效的操作。
让学生带着数学思考去操作，学生学到的不仅是一种知识，更是一种数学思想方法。如一年级的数学《10的分与合》一课，教学完后，为了强化学生对这一知识的理解与掌握，我要求学生用数字卡片摆一摆，很快一学生上台摆出了图（一）的形状，但这时有一位小女孩说：老师，我摆的和他不一样！说着小女孩在黑板上把图（一）调整成了图（二）的形状。小朋友之间瞬间争论了起来，但多数还是认为图（二）的摆法比较好，这样有一定的顺序，不会漏掉！虽然，这两种摆法都摆出了10的分与合，但后者更具有数学思考价值，更体现了数学的有序性，更有利于学生后续的数学发展。
二、在动手操作中强化空间观念
小学生的思维是处于从具体形象思维向抽象思维的过渡阶段，而空间观念的培养，更有利于促进学生抽象思维能力的培养。
六年级上学期《长方体与正方体的展开图》一课，执教过此内容的老师都清楚，本节课就是让学生动手操作，学生也不易判断能否折叠成正方体，于是在这样的背景下很多教师干脆就剥夺了学生动手操作的权利，只让学生记住例题（见下图）中剪开后的正方体展开图的基本形状，记住这一本应动态后的静态图形，而后在今后的习题中再加以强化。
殊不知，您让学生记住的仅是一种最基本的展开图形状，数学是千变万化的，数学题型更是变化多端，学生记住了这唯一的结果对今后的学习有益吗？笔者不敢苟同！与其在后面的练习中空口说白话，与其在后面的练习中用操作来验证，倒不如教学时让学生真正经历这一操作过程。
本节课，教学时理应更多地关注正方体的平面展开图，因为它的每个面都完全一样，给学生的判断造成了一定的视觉障碍。在学生动手操作得出最基本的也是学生最容易判断的展开图后，不急于让学生再次操作，而是让学生观察这种四个连排的正方形展开图都可能有哪几种情况，左右两个正方形的位置会有什么变化？让学生充分大胆地去想象，在这种规律的启示下，让学生再大胆地操作，从而发现其它的一些“展开图”（指没有四个连排正方形的图形）是否能折叠成正方体。这样的动手操作，学生不仅掌握了多种判断的方法，而且真正经历了知识的形成过程，这一过程更能有效地帮助学生去正确地判断展开后的图形能否折叠成正方体或长方体。事实上，想象一个图形能否折叠成正方体，就是引导学生在头脑中想象将图形折叠的过程，虽然此时的想象脱离了具体的操作，但正是有了前面的有效操作，学生才能在持续的想象中不断强化空间观念。让学生牢记操作后的结果，不如让学生经历操作过程，因为这样更利于学生空间想象力的发展。
三、在动手操作中培养创新意识
动手操作作为一种学习方式，其价值是不言而喻的。动手操作能丰富学生的感性认识和直接经验，使他们对所学内容形成清晰的表象，从而形成新概念，掌握新的数学知识，从而培养学生的创新意识。在实践中，需要我们去有效引导。在教学“圆柱的体积”一课时，教学中，为了让学生真正理解圆柱体积计算方法的由来，非得让他们弄清楚“所以然”来，我采取了小组合作学习模式。课前搜集了学校所有的圆柱体积的教具，让每个小组在学习中都能动起来。学生在操作中发现，圆柱可以切拼成一个近似的长方体，并知道了其前后图形之间的联系。学生在操作中不仅发现了体积的基本计算方法——底面积×高，而且有的小组探索出了另一种体积的计算方法——侧面积的一半×底面半径，也有的小组发现切拼前后图形表面积的变化情况。总之，如果老师只是让学生记住圆柱体积计算公式，或只是让学生为了操作而操作，而更多地去关注于这一操作后得出的结论，试问会有后面学生的精彩创造吗？
再比如教学“三角形的两边之和必须大于第三条边”这一知识时，如果教者只是让学生记住这一抽象的结论，学生在后面的测试中也能应付自如。但笔者在教学时，为了让学生真正理解其中的知识，课堂上仍安排了学生的操作活动。学生在操作中不仅发现“两边之和小于第三边的”真的不能拼成一个三角形，而且知道若以最长的小棒为三角形的底，那么剩下的两根小棒长度的和一定要大于这根小棒，因为“两点之间的距离只有线段最短”。学生联系旧知竟有了这样的想法，我们教师若再不给学生一定的操作空间，情何以堪呢？
苏霍姆林斯基说“儿童的智慧集中在手指上”，这也就告诉我们学生各种能力的培养、提高是从动作开始的。课堂上，我们要让学生更多地关注学习过程，让学生带着数学思考去操作，让学生通过经历操作过程强化空间思维，培养学生的创新意识。让学生通过动手操作，体验知识的动态生成和建构过程，学生才能实现有效的可持续发展。
（张声涛，南京市江宁科学园小学，211100）