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摘要：几何直观可以帮助学生直观地理解数学，它在整个数学学习过程中都发挥着重要的作用，在计算教学中也不例外。笔者以“两位数乘两位数的笔算乘法（不进位）”为研究案例，借助几何直观，帮助学生理解抽象的算理，让学生清楚感受到“法中见理，理中得法，理法相融”，从而提高学生的计算能力。
关键词：几何直观;算理;算法
计算教学是小学阶段数学教学中的主要内容之一，而在目前的计算教学中，常常出现这样的现象：注重算法，忽视算理的理解。当学生经历了计算的过程后，总结出算法，然后围绕计算方法反复操练，以提高学生计算的准确率和计算速度。那么，在计算教学中怎样处理算法和算理的关系呢？在本文中，笔者结合几何直观就如何使学生对算理与算法进行有效融合做了相关探究。
一、几何直观的内涵
《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：“几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于学生探索解决问题的思路，预测结果。”当计算教学遇上几何直观时，抽象的算理有直观形象作支撑，帮助学生理解算法，理法并举，将计算教学落到实处，从而提高学生的计算能力。
二、算理算法相結合的重要性
算理，从字面上理解，即计算的道理或原理，主要解决“为什么这样算”的问题。它是计算的理论依据，是计算的灵魂。算法是说明计算过程中的规则和逻辑顺序，它通常是算理指导下的一些人为规定，主要解决“怎么算”的问题。算理和算法是相辅相成、缺一不可的。如果学生只理解算理，没有提炼出算法，就无法正确计算，无法确保实现运算能力的最低要求。如果学生只知道怎样算，不知道为什么这样算，那充其量只是搬弄数字的操作技能。
三、借助几何直观，“法”中见“理”
算理是隐性的，教师可以借助几何直观凸显出来。例如“两位数乘两位数不进位笔算乘法”的教学，在传统的教学中，教师不使用点子图，先讲解算理、算法，教会学生算法，然后用更多的练习来巩固算法。而新教材中增加了用点子图的编排，其依据是基于学生这一阶段的认知规律。小学三年级的学生仍以形象思维为主，需要有较多的动手操作和直观表象作为支撑，通过数形结合引导他们理解算理、掌握算法。而在“笔算两位数乘两位数”的教学中，如何使隐性的算理凸显出来呢？显然点子图这个直观模型为算法算理搭建起了桥梁，能将它们联结起来。当学生发现不能直接计算14×12时，教师适时引出点子图，学生利用点子图进行“拆数”。在此活动中，具有不同经验层次的学生有不同的分法：
方法1：把点子图竖着平均分成2份，也就是把12分成6和6，先算14×6=84，这就算到了上面的个数;然后用84×2=168就算到总的个数了。（如图1）方法2：把点子图竖着平均分成3份，也就是把12分成4、4和4，先算14×4=56，这就算到了上面的个数;然后用56×3=168就算到总的个数了。（如图2）
方法3：我把12分成10和2，先算14×10=140，就是上面这10行的个数;再算14×2=28，就是下面这两行的个数;最后算140+28=168，就是总共的个数了。（如图3）
方法4：一行有14个，把14分成10和4，先算12×10=120，就是左边这10列的个数;再算12×4=48，就是右边这两列的个数;最后算120+48=168，就是总共的个数了。（如图4）
学生在点子图的圈一圈、分一分、算一算等数学活动中体现了思考的过程，都是把两位数乘两位数转化成两位数乘一位数或一位数乘一位数得到计算结果。学生能通过点子图解释自己的算法，明白算理，充分感受算理的直观化和算法的多样化。尽管学生计算的方法不完全相同，但无非是采取了“先分后合”的思路，这一点恰恰就是乘法竖式计算的基本思路。因此，学生能在直观的模型中“法”中见“理”，从而有力促进了学生对算理的理解和建构。
四、借助几何直观，“理”中得“法”，“理”“法”相融
借助几何直观，学生既可以“法”中见“理”，又可以“理”中得“法”，“理”“法”相融。在计算14×12时，学生利用点子图都能计算出正确结果。当学生在全班交流后发现，把12拆成10和2的和这种算法，是和14×12的笔算乘法竖式格式相一致的。结合点子图，学生能直观地看出，可以先算2个14，即2×14=28，和竖式中第一次的积相一致;再算10个14，即10×14=140，和竖式中第二次的积相一致;最后算140+28=168，和竖式中最后一步算出两次积的和相一致。点子图与笔算的竖式相结合，沟通图形表征、算式表征与计算方法之间的联系。学生不但可以直观地感知竖式中的每一步计算结果表示的含义，归纳出计算方法，而且让学生清楚地感受到“法中见理，理中得法，”实现了算理与算法的有效融合。
算理、算法是运算能力的一体两翼，尤其是在小学数学中，两者相辅相成，不可偏废。在教学中，教师可以借助几何直观具体的、直观的“形”，在算理和算法之间架起一座互通的桥梁，促进学生明算理，“法”中见“理”，又可以“理”中得“法”，“理”“法”相融，从而真正提高学生的运算能力。
关键词：几何直观;算理;算法
计算教学是小学阶段数学教学中的主要内容之一，而在目前的计算教学中，常常出现这样的现象：注重算法，忽视算理的理解。当学生经历了计算的过程后，总结出算法，然后围绕计算方法反复操练，以提高学生计算的准确率和计算速度。那么，在计算教学中怎样处理算法和算理的关系呢？在本文中，笔者结合几何直观就如何使学生对算理与算法进行有效融合做了相关探究。
一、几何直观的内涵
《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：“几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于学生探索解决问题的思路，预测结果。”当计算教学遇上几何直观时，抽象的算理有直观形象作支撑，帮助学生理解算法，理法并举，将计算教学落到实处，从而提高学生的计算能力。
二、算理算法相結合的重要性
算理，从字面上理解，即计算的道理或原理，主要解决“为什么这样算”的问题。它是计算的理论依据，是计算的灵魂。算法是说明计算过程中的规则和逻辑顺序，它通常是算理指导下的一些人为规定，主要解决“怎么算”的问题。算理和算法是相辅相成、缺一不可的。如果学生只理解算理，没有提炼出算法，就无法正确计算，无法确保实现运算能力的最低要求。如果学生只知道怎样算，不知道为什么这样算，那充其量只是搬弄数字的操作技能。
三、借助几何直观，“法”中见“理”
算理是隐性的，教师可以借助几何直观凸显出来。例如“两位数乘两位数不进位笔算乘法”的教学，在传统的教学中，教师不使用点子图，先讲解算理、算法，教会学生算法，然后用更多的练习来巩固算法。而新教材中增加了用点子图的编排，其依据是基于学生这一阶段的认知规律。小学三年级的学生仍以形象思维为主，需要有较多的动手操作和直观表象作为支撑，通过数形结合引导他们理解算理、掌握算法。而在“笔算两位数乘两位数”的教学中，如何使隐性的算理凸显出来呢？显然点子图这个直观模型为算法算理搭建起了桥梁，能将它们联结起来。当学生发现不能直接计算14×12时，教师适时引出点子图，学生利用点子图进行“拆数”。在此活动中，具有不同经验层次的学生有不同的分法：
方法1：把点子图竖着平均分成2份，也就是把12分成6和6，先算14×6=84，这就算到了上面的个数;然后用84×2=168就算到总的个数了。（如图1）方法2：把点子图竖着平均分成3份，也就是把12分成4、4和4，先算14×4=56，这就算到了上面的个数;然后用56×3=168就算到总的个数了。（如图2）
方法3：我把12分成10和2，先算14×10=140，就是上面这10行的个数;再算14×2=28，就是下面这两行的个数;最后算140+28=168，就是总共的个数了。（如图3）
方法4：一行有14个，把14分成10和4，先算12×10=120，就是左边这10列的个数;再算12×4=48，就是右边这两列的个数;最后算120+48=168，就是总共的个数了。（如图4）
学生在点子图的圈一圈、分一分、算一算等数学活动中体现了思考的过程，都是把两位数乘两位数转化成两位数乘一位数或一位数乘一位数得到计算结果。学生能通过点子图解释自己的算法，明白算理，充分感受算理的直观化和算法的多样化。尽管学生计算的方法不完全相同，但无非是采取了“先分后合”的思路，这一点恰恰就是乘法竖式计算的基本思路。因此，学生能在直观的模型中“法”中见“理”，从而有力促进了学生对算理的理解和建构。
四、借助几何直观，“理”中得“法”，“理”“法”相融
借助几何直观，学生既可以“法”中见“理”，又可以“理”中得“法”，“理”“法”相融。在计算14×12时，学生利用点子图都能计算出正确结果。当学生在全班交流后发现，把12拆成10和2的和这种算法，是和14×12的笔算乘法竖式格式相一致的。结合点子图，学生能直观地看出，可以先算2个14，即2×14=28，和竖式中第一次的积相一致;再算10个14，即10×14=140，和竖式中第二次的积相一致;最后算140+28=168，和竖式中最后一步算出两次积的和相一致。点子图与笔算的竖式相结合，沟通图形表征、算式表征与计算方法之间的联系。学生不但可以直观地感知竖式中的每一步计算结果表示的含义，归纳出计算方法，而且让学生清楚地感受到“法中见理，理中得法，”实现了算理与算法的有效融合。
算理、算法是运算能力的一体两翼，尤其是在小学数学中，两者相辅相成，不可偏废。在教学中，教师可以借助几何直观具体的、直观的“形”，在算理和算法之间架起一座互通的桥梁，促进学生明算理，“法”中见“理”，又可以“理”中得“法”，“理”“法”相融，从而真正提高学生的运算能力。