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1. 求给定可行域的最优解
图解法做题的一般步骤：画、移、求、答. 即画出线性约束条件所表示的可行域；在目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大、最小的直线；根据观察的结论，先求区域内特殊点的坐标，再求出最优解，作出答案.
例1 已知[x、y]满足约束条件[10y+3x-10≤0，12x+5y-12≤0，x≥0，0≤y≤1.]
（1）求[z=-x-y] 最小值；
（2）求[z=-310x-y]最小值；
（3）求[z=-110x-y]的最小值；
（4）求[z=-3x-y]最小值.
解 画出不等式组表示的可行域，如图所示.
[④] [①][③]
作直线[L]：[-x-y=0]，即[x+y=0]，平移直线[L]，从右图中可知，当直线过C点时，目标函数取得最小值，联立[12x+5y-12=0，10y+3x-10=0，]解得[x=23,y=45].
[∴]C点坐标为[23,45].
[∴zmin=-23-45=-2215].
（2）当[L]与直线[AC]重合时，满足题意. 即[zmin=-2215]，此时有无穷多个最优解.
（3）当[L]过[B]（0，1）时，[zmin=-0-1=-1]
（4）当[L]过[A]（1，0）时，[zmin=-3].
点拨 本题的可行域为封闭区域，因此还可分别将[A、B、C]三点代入目标函数中检验，得出最优解.
2. 给出可行域的最优解，求参数的范围
例2 已知[x、y]满足约束条件[10y+3y-10≤0，12x+5y-12≤0，x≥0，0≤y≤1，] 目标函数为[z=ax-y]，若当且仅当[x=23,y=45]时，目标函数[z]取最小值，则求[a]的取范围.
解 画出可行域如例1中所示，结合例1中①③④的分析知，当[a]的取值范围为[kAC,kBC]时，[z]仅在点[23,45]处取得最小值. 即[a∈-125,-310].
3. 简单线性规划的实际应用
线性规划在日常生活、生产中有着广泛的应用. 通过数学建模法将实际问题化成线性规划问题；解决难点的关键是根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，利用图解法求得最优解. 解决实际应用问题的一般步骤：设立所求未知数→建立目标函数→列出约束条件→作出可行域→运用图解法→求出最优解。
例3 某人有楼房一幢，室内面积共计[180m2]，拟分割成两类房间作为旅游客房. 大房间每间面积[18m2]，可住游客5名，每名游客每天住宿费40元；小房间每间面积[15m2]，可以住游客3名，每名游客每天住宿费为50元；装修大房间每间需要1000元，装修小房间每间需要600元. 如果他只能筹款8000元用于装修，且游客能住满客房，他隔出大房间和小房间各多少间，能获得最大收益？
分析 将已知数据列成下表：
[房间类型&面积[cm2]/间&人数/间&每天住宿
费（元）/人&装修费
（元）/间&大房间&18&5&40&1000&小房间&15&3&50&600&]
设大房间和小房间的数目分别为[x、y]，列出线性约束条件和目标函数，然后求目标函数的最大值.
解 设隔出大房间[x]间、小房间[y]间时收益为[z]元，则[x、y]满足[18x+15y≤180,1000x+600y≤8000,x,y∈z,x≥0,y≥0,]
且[z=200x+150y]. 所以[6x+5y≤60，5x+3y≤40，x,y∈z，x≥0，y≥0.]
可行域为如下图阴影（含边界）中的整点.
作直线[l]：[200x+150y=0]，即直线[l]：[4x+3y=0]. 把直线[l]向右上方平移至[l1]的位置时，直线经过可行域上的一点[B]，且与原点距离最大，此时，[z=200x+150y]取得最大值.
解方程组[6x+5y=60，5x+3y=40，]
得点[B]的坐标为[207,607].
由于点[B]的坐标不是整数，而最优解[x,y]中[x、y]必须都是整数，所以，可行域内点[B207,607]不是最优解. 可以验证，要求经过可行域内的整点，且使[z=200x+150y]取得最大值，经过的整点是（0，12）和（3，8）. 此时[z]取得最大值1800元.
所以，隔出小房间12间，或大房间3间、小房间8间，可以获得最大收益.
点拨 （1）解决此类问题的关键是将问题的文字语言转换成数学语言，本题通过表格将数据进行整理，使问题难度大大降低. （2）求整点最优解的方法称为“局部微调法”，此法的优点是思路清晰、操作简单、便于掌握. 用“局部微调法”求整点最优解的关键是“微调”，其步骤可用以下十二字概括：微调整、求交点、取范围、找整解.
4. 非线性目标函数的最优解问题
求非线性目标函数的最优解问题时，先要注意分析目标函数所表示的几何意义，再分析可行域的顶点或边界，从而找到最优解.
例4 已知[x,y]满足条件：[x-y+5≥0,x+y-5≥0,y≥2.]
求：（1）[z1=yx+1]的最大值；
（2）[z2=x2+y2]的最小值.
解 不等式组表示的平面区域如图所示：
（1）[z1]表示平面区域点[x,y]到定点[P-1,0]的连线的斜率. 结合不等式组表示的区域，不难看出，在[B]处[z1]取得最大值.
[z1max=5-00--1=5].
（2）[z2]为平角区域点[x,y]到原点（0，0）的距离的平方，作[ON⊥lAC于N.]
则[z2min=ON2=-522=252].
图解法做题的一般步骤：画、移、求、答. 即画出线性约束条件所表示的可行域；在目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大、最小的直线；根据观察的结论，先求区域内特殊点的坐标，再求出最优解，作出答案.
例1 已知[x、y]满足约束条件[10y+3x-10≤0，12x+5y-12≤0，x≥0，0≤y≤1.]
（1）求[z=-x-y] 最小值；
（2）求[z=-310x-y]最小值；
（3）求[z=-110x-y]的最小值；
（4）求[z=-3x-y]最小值.
解 画出不等式组表示的可行域，如图所示.
[④] [①][③]
作直线[L]：[-x-y=0]，即[x+y=0]，平移直线[L]，从右图中可知，当直线过C点时，目标函数取得最小值，联立[12x+5y-12=0，10y+3x-10=0，]解得[x=23,y=45].
[∴]C点坐标为[23,45].
[∴zmin=-23-45=-2215].
（2）当[L]与直线[AC]重合时，满足题意. 即[zmin=-2215]，此时有无穷多个最优解.
（3）当[L]过[B]（0，1）时，[zmin=-0-1=-1]
（4）当[L]过[A]（1，0）时，[zmin=-3].
点拨 本题的可行域为封闭区域，因此还可分别将[A、B、C]三点代入目标函数中检验，得出最优解.
2. 给出可行域的最优解，求参数的范围
例2 已知[x、y]满足约束条件[10y+3y-10≤0，12x+5y-12≤0，x≥0，0≤y≤1，] 目标函数为[z=ax-y]，若当且仅当[x=23,y=45]时，目标函数[z]取最小值，则求[a]的取范围.
解 画出可行域如例1中所示，结合例1中①③④的分析知，当[a]的取值范围为[kAC,kBC]时，[z]仅在点[23,45]处取得最小值. 即[a∈-125,-310].
3. 简单线性规划的实际应用
线性规划在日常生活、生产中有着广泛的应用. 通过数学建模法将实际问题化成线性规划问题；解决难点的关键是根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，利用图解法求得最优解. 解决实际应用问题的一般步骤：设立所求未知数→建立目标函数→列出约束条件→作出可行域→运用图解法→求出最优解。
例3 某人有楼房一幢，室内面积共计[180m2]，拟分割成两类房间作为旅游客房. 大房间每间面积[18m2]，可住游客5名，每名游客每天住宿费40元；小房间每间面积[15m2]，可以住游客3名，每名游客每天住宿费为50元；装修大房间每间需要1000元，装修小房间每间需要600元. 如果他只能筹款8000元用于装修，且游客能住满客房，他隔出大房间和小房间各多少间，能获得最大收益？
分析 将已知数据列成下表：
[房间类型&面积[cm2]/间&人数/间&每天住宿
费（元）/人&装修费
（元）/间&大房间&18&5&40&1000&小房间&15&3&50&600&]
设大房间和小房间的数目分别为[x、y]，列出线性约束条件和目标函数，然后求目标函数的最大值.
解 设隔出大房间[x]间、小房间[y]间时收益为[z]元，则[x、y]满足[18x+15y≤180,1000x+600y≤8000,x,y∈z,x≥0,y≥0,]
且[z=200x+150y]. 所以[6x+5y≤60，5x+3y≤40，x,y∈z，x≥0，y≥0.]
可行域为如下图阴影（含边界）中的整点.
作直线[l]：[200x+150y=0]，即直线[l]：[4x+3y=0]. 把直线[l]向右上方平移至[l1]的位置时，直线经过可行域上的一点[B]，且与原点距离最大，此时，[z=200x+150y]取得最大值.
解方程组[6x+5y=60，5x+3y=40，]
得点[B]的坐标为[207,607].
由于点[B]的坐标不是整数，而最优解[x,y]中[x、y]必须都是整数，所以，可行域内点[B207,607]不是最优解. 可以验证，要求经过可行域内的整点，且使[z=200x+150y]取得最大值，经过的整点是（0，12）和（3，8）. 此时[z]取得最大值1800元.
所以，隔出小房间12间，或大房间3间、小房间8间，可以获得最大收益.
点拨 （1）解决此类问题的关键是将问题的文字语言转换成数学语言，本题通过表格将数据进行整理，使问题难度大大降低. （2）求整点最优解的方法称为“局部微调法”，此法的优点是思路清晰、操作简单、便于掌握. 用“局部微调法”求整点最优解的关键是“微调”，其步骤可用以下十二字概括：微调整、求交点、取范围、找整解.
4. 非线性目标函数的最优解问题
求非线性目标函数的最优解问题时，先要注意分析目标函数所表示的几何意义，再分析可行域的顶点或边界，从而找到最优解.
例4 已知[x,y]满足条件：[x-y+5≥0,x+y-5≥0,y≥2.]
求：（1）[z1=yx+1]的最大值；
（2）[z2=x2+y2]的最小值.
解 不等式组表示的平面区域如图所示：
（1）[z1]表示平面区域点[x,y]到定点[P-1,0]的连线的斜率. 结合不等式组表示的区域，不难看出，在[B]处[z1]取得最大值.
[z1max=5-00--1=5].
（2）[z2]为平角区域点[x,y]到原点（0，0）的距离的平方，作[ON⊥lAC于N.]
则[z2min=ON2=-522=252].