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摘要：本文给出了高中数学中关于最优化问题的几个函数模型，包括二次函数模型，线性规划模型，不等式模型以及导数模型等等。通过对上述几种函数模型的探讨与研究，给出了在一定条件下求目标函数最优化问题的数学思想方法。
关键词：最优化；线性规划；导数；函数模型；不等式
一、引言
日常生活中常会遇到这样一类问题：在一定条件下怎样使产品最多，用料最省，成本最低等。这类问题都可归结为“最优化”问题。近年来高考中关于最优化问题不仅有过去常见的二次函数模型，不等式模型等等。还出现了一些以导数，向量，线性规划等为模型的应用问题。本文即结合新旧知识具体谈谈有关最优化问题的几种函数模型。
二、二次函数模型
二次函数是较多出现的一种模型，求解此类模型的最优值问题通常可分为两种情况：１．可以直接通过对其目标函数的单调区间讨论得解。２．当此类模型的最优值问题涉及分段函数时，应首先求出每一定义域中每一段上的极值，然后加以比较，最后得出最终的最优值。
三、线性规划函数模型
对于这种模型首先要根据约束条件作出可行域，然后根据目标函数找出相应可行域的顶点，最后把顶点代入目标函数经过比较即可求出其目标函数的最优值。例1设函数ｆ（ｘ）＝ａｘ２＋ｂｘ，且－１≤ｆ（－１）≤２，２≤ｆ（１）≤４，求ｆ（－２）的取值范围。
下面用线性规划的方法解决。
解：由题意得－１≤ａ－ｂ≤２， ２≤ａ＋ｂ≤４，设目标函数ｚ＝ｆ（－２）＝４a－２ｂ．
如图，作出上述约束条件的可行域，其中Ａ（■，■）、Ｂ（３，１），当平行直线系经过点Ａ（■，■）时，目标函数取得最小值ｚ＝４×■－２×■＝－１；当平行直线系经过点Ｂ（３，１）时，目标函数取得最大值ｚ＝４×３－２×１＝１０，因此ｆ（－２）∈－１，１０。
线性规划是现代数学中研究最优化理论的重要模型，而新教材增加简单线性规划内容，不仅给传统的高中数学注入了新鲜“血液”，而且给提供了学数学，用数学的实践机会。
四、函数ｆ（ｘ）＝ａｘ+■（ａ，ｂ＞０）模型
对于这类模型的应用问题，首先根据题意得出目标函数，再把目标函数变形为ｆ（ｘ）＝ａｘ＋■（ａ，ｂ＞０）的形式，最后根据ａｘ＋■≥２■（ａ，ｂ＞０）求出最优值。例2某森林出现火灾，火势正以每分钟１００ｍ２速度顺风蔓延，消防站接到警报立即派消防队员前去，在火灾发生后五分钟到达救火现场，已知消防队员在现场平均每人每分钟灭火５０ｍ２，所消耗的灭火材料，劳务津贴等费用为每人每分钟125元，另附加每次救火所耗损的车辆，器械和装备等费用平均每人100元，而烧毁１ｍ２森林损失费为60元，问应该派多少消防队员前去救火，才能使总损失最少？
此类模型的应用题出现频率较高，常常通过均值定理或函数的单调性求最值，此时要注意等号能否取到，必要时要讨论求之。
五、导数模型
对于这类模型首先应该根据题意列出目标函数式，再求出目标函数式的导函数，最后根据函数的单调性求出目标函数的最优值。例3统计表明，某种型号的汽车再匀速行驶中每小时的耗油量ｙ（升）关于行驶速度ｘ（千米/时）的函数解析式可以表示为：ｙ＝■ｘ３－■ｘ＋８（０＜ｘ≤１２０）．已知甲、乙两地相距１００千米。
⑴当汽车以４０千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？
⑵当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？
分析本小题主要考查函数，导数及其应用等基本知识，考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力。
近年来有关导数的试题已成为高考的一大热点，是文理科每年常考题型。
六、结论
本文结合新旧知识及日常生活实践具体介绍了有关最优化问题的几种函数模型,并把数形结合、分类讨论等一些重要的数学思想方法渗透进了求目标函数的最优化问题中，为最优化问题的求解提供了一些主要的思想方法，我们应该进一步积极思考,不断地探索研究和总结归纳。
【参考文献】
[1]姜家长.中学数学教学[M].安徽:安徽教育出版社.2006.（12）.
[2]武岩.线性规划在解题中的应用[J],中学数学杂志．2007，（０1）:12-13.
[3]孙芸．从一道高考题的解答谈分类讨论思想[J]．数学通报．2006，（０１）:18-20.
关键词：最优化；线性规划；导数；函数模型；不等式
一、引言
日常生活中常会遇到这样一类问题：在一定条件下怎样使产品最多，用料最省，成本最低等。这类问题都可归结为“最优化”问题。近年来高考中关于最优化问题不仅有过去常见的二次函数模型，不等式模型等等。还出现了一些以导数，向量，线性规划等为模型的应用问题。本文即结合新旧知识具体谈谈有关最优化问题的几种函数模型。
二、二次函数模型
二次函数是较多出现的一种模型，求解此类模型的最优值问题通常可分为两种情况：１．可以直接通过对其目标函数的单调区间讨论得解。２．当此类模型的最优值问题涉及分段函数时，应首先求出每一定义域中每一段上的极值，然后加以比较，最后得出最终的最优值。
三、线性规划函数模型
对于这种模型首先要根据约束条件作出可行域，然后根据目标函数找出相应可行域的顶点，最后把顶点代入目标函数经过比较即可求出其目标函数的最优值。例1设函数ｆ（ｘ）＝ａｘ２＋ｂｘ，且－１≤ｆ（－１）≤２，２≤ｆ（１）≤４，求ｆ（－２）的取值范围。
下面用线性规划的方法解决。
解：由题意得－１≤ａ－ｂ≤２， ２≤ａ＋ｂ≤４，设目标函数ｚ＝ｆ（－２）＝４a－２ｂ．
如图，作出上述约束条件的可行域，其中Ａ（■，■）、Ｂ（３，１），当平行直线系经过点Ａ（■，■）时，目标函数取得最小值ｚ＝４×■－２×■＝－１；当平行直线系经过点Ｂ（３，１）时，目标函数取得最大值ｚ＝４×３－２×１＝１０，因此ｆ（－２）∈－１，１０。
线性规划是现代数学中研究最优化理论的重要模型，而新教材增加简单线性规划内容，不仅给传统的高中数学注入了新鲜“血液”，而且给提供了学数学，用数学的实践机会。
四、函数ｆ（ｘ）＝ａｘ+■（ａ，ｂ＞０）模型
对于这类模型的应用问题，首先根据题意得出目标函数，再把目标函数变形为ｆ（ｘ）＝ａｘ＋■（ａ，ｂ＞０）的形式，最后根据ａｘ＋■≥２■（ａ，ｂ＞０）求出最优值。例2某森林出现火灾，火势正以每分钟１００ｍ２速度顺风蔓延，消防站接到警报立即派消防队员前去，在火灾发生后五分钟到达救火现场，已知消防队员在现场平均每人每分钟灭火５０ｍ２，所消耗的灭火材料，劳务津贴等费用为每人每分钟125元，另附加每次救火所耗损的车辆，器械和装备等费用平均每人100元，而烧毁１ｍ２森林损失费为60元，问应该派多少消防队员前去救火，才能使总损失最少？
此类模型的应用题出现频率较高，常常通过均值定理或函数的单调性求最值，此时要注意等号能否取到，必要时要讨论求之。
五、导数模型
对于这类模型首先应该根据题意列出目标函数式，再求出目标函数式的导函数，最后根据函数的单调性求出目标函数的最优值。例3统计表明，某种型号的汽车再匀速行驶中每小时的耗油量ｙ（升）关于行驶速度ｘ（千米/时）的函数解析式可以表示为：ｙ＝■ｘ３－■ｘ＋８（０＜ｘ≤１２０）．已知甲、乙两地相距１００千米。
⑴当汽车以４０千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？
⑵当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？
分析本小题主要考查函数，导数及其应用等基本知识，考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力。
近年来有关导数的试题已成为高考的一大热点，是文理科每年常考题型。
六、结论
本文结合新旧知识及日常生活实践具体介绍了有关最优化问题的几种函数模型,并把数形结合、分类讨论等一些重要的数学思想方法渗透进了求目标函数的最优化问题中，为最优化问题的求解提供了一些主要的思想方法，我们应该进一步积极思考,不断地探索研究和总结归纳。
【参考文献】
[1]姜家长.中学数学教学[M].安徽:安徽教育出版社.2006.（12）.
[2]武岩.线性规划在解题中的应用[J],中学数学杂志．2007，（０1）:12-13.
[3]孙芸．从一道高考题的解答谈分类讨论思想[J]．数学通报．2006，（０１）:18-20.