课堂上，老师问：小猫看见鱼，小狗看见骨头，会怎样向着食物运动?
　　学生：沿直线运动．
　　师：其中蕴含什么道理吗?
　　生：两点之间，线段最短．
　　师：寻求优化是人类的一种本能，整个大自然都充斥这一现象．现在让我们起来探讨路径最短的问题．
　　问题1：如图1-1，已知A、B在直线l的两侧，在直线l上求一点P，使PA PB最小．
　　生(纷纷举手)：根据“两点之间，线段最短”，连接AB，AB与直线l的交点P就是所求的点．(如图1-2)
　　
　　师：这个问题较容易，它是解决路径最短问题的基础．下面我们来看平面几何中的“将军饮马问题”．
　　问题2：相传，古希腊亚历山大里亚城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思未得其解的问题：从图2-1中的A地出发，到笔直的河岸边去饮马，然后再去B地，怎样走距离最短?
　　生1(思考一会儿)：是不是过点A作河岸的垂线，垂足为M，MA MB最短?(如图2-2)
　　师(微笑地说)：是吗?尝试在河岸线上找一些点比较．
　　生2：不对，我在河岸线上另取一点M′，测量到M′A M′B比他提供的还要小．
　　师：能否把问题2转化成问题1?在河岸线另一侧找一点A′，在河岸线上任一点到A、A′的距离相等．
　　生1(恍然大悟)：噢，可作点A关于河岸线的对称点A′，连接A′B，A′B与河岸线的交点为M，则从A地到M点去饮马，再从M点到B地去距离最短．(如图2-3)
　　
　　师：我为你们而骄傲．当时海伦稍加思考，也是这样圆满解答了这个问题，并给出说明．如图2-4，因为对于河岸上任何异于M点的N点都有AN NB=A′N NB>A′B=A′M MB=AM MB．(如图2-4)此题利用轴对称将直线同侧点最短路径问题转化为直线异侧点最短路径问题．下面请同学们继续探讨．
　　问题3：如图3-1，A、B两村在一条河的两边，该河的两岸平，要在河上造一座桥，使A、B之间行走的路线最短．问：桥址应选在什么地方?(注意从经济角度考虑，桥必须与河岸垂直)
　　生(沉默一会儿，自言自语)：连接AB不行，作对称点也不行……
　　师：我们一起来分析。可假设桥在某一位置，如图3-2，从A村到桥头的距离AE加上桥长(河的宽度)EF再加上B村到桥头的距离BF最短，即AE EF FB最短，意味着什么最短?
　　生：由于河的宽度不变，不论修到哪里，桥是必经之路，且桥长为一定值，只要AE FB最短．
　　师：很好，AE FB最短能否转化成直线问题，即问题1呢?
　　生(思考)：可平移FB至EC，转化为在直线l₁上找一点E使EA EC最短．(如图3-3)
　　
　　师：真棒!找这样的点E，必须先找到这样的点C，怎样找呢?大家讨论．
　　生(讨论后)：连接BC．四边形EFBC为平行四边形，BC∥EF，BC=EE．所以从B村沿垂直于河岸l₂方向走完桥长就能找到点C．(如图3-4)
　　师：真聪明!现在你们能设计桥址吗?
　　生：过点B作河岸的垂线，在垂线上截取BC的长等于河宽，连AC交A村一侧的河岸l₁于E点，作EF垂直于另一岸l₂于F点，则EF为架桥的位置，也就是说，AE EF FB是最短路径．(如图3－5)
　　师：这道题可假设河的宽度为零，将河岸l₂与B村一起向河岸l₁平移，l₂与l₁重合，相应地，点B平移至点C，这样就转化成问题1．(如图3-6)
　　师：这节课，同学们探索的热情很高，思维很活跃．我们通过轴对称、平移等方法转化成直线问题来寻求最佳路径．“两点之间，线段最短”真是奥妙无穷，以后我们还会探索不在同一平面上的最短路径问题．下面的一道思考题，相信聪明的你会找到最佳的路径．
　　某班举行文艺晚会，桌子摆成两条直线(如图4中OA、OB)，AO桌面上摆满了橘子，OB桌面上摆满糖果，坐在C处的学生小明先拿橘子，再拿糖果，然后回到座位，请你帮他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短．
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