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中图分类号:G421
高考中的求数列通项公式问题,情景新颖别致,有广度,有深度,还有创新度,是高考的热考点之一,是一类考查学生思维能力的好题。要求考生进行严格的逻辑推理,找到数列的通项公式,为此介绍几种常见的求数列通项公式方法。
一、利用定义法求通项公式
直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法,这种方法适应于已知数列类型的题目.
点评:利用定义法求数列通项时要注意不用错定义,设法求出首项与公差(公比)后再写出通项。
二、利用公式法求通项公式
应用类型: ( 巧用 )
点评:利用公式求解时,要注意对n分类讨论,但若能合写时一定要合并.
三、利用累加法求通项公式
应用类型: (可以求和)
点评:利用累加法求数列通项公式时一定要注意等式组的个数,以方便于累加后右端求和。
四、利用累乘法求通项公式
应用类型: (可以求积)
点评:本题解题的关键是把递推关系转化为,进而求出,即得数列的通项公式。
五、利用待定常数法求通项公式
应用类型:
可将其转化为,其中,则数列为公比等于的等比数列,然后求即可。
点评:本题解题的关键是把递推关系式转化为,从而可知数列是等比数列,进而求出数列的通项公式,最后再求出数列的通项公式。
六、构建新数列法
应用类型: (其中,非常函数)
由递推公式两边同除以,得,即构建了新数列,再用累加法可求。
例6 已知数列满足,,求数列的通项公式。
解:等式两边同时除以,得,则,
故数列是以为首,以为公差的等差数列,所以由等差数列的通项公式,得,所以数列的通项公式为。
点评:本题解题的关键是把递推关系式转化为,从而可知数列是等差数列,进而求出数列的通项公式,最后再求出数列的通项公式。
七、恒等变形法
将给出式恒等变形,使之转化为与或有关的等差和等比数列,此法有一定的技巧性。
根据给出的公式,先求出数列的前n项,从中观察出规律,猜出通项公式,再用数学归纳法证明。
点评:解决此类问题需应用数学归纳法。
总之,求数列通项公式的方法并不满足以上所述,对于同一问题的求解也不仅是一种方法,只有在平时学习与探究过程中不断的体会与总结,将知识与方法学活,才可以做到游刃有余。
高考中的求数列通项公式问题,情景新颖别致,有广度,有深度,还有创新度,是高考的热考点之一,是一类考查学生思维能力的好题。要求考生进行严格的逻辑推理,找到数列的通项公式,为此介绍几种常见的求数列通项公式方法。
一、利用定义法求通项公式
直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法,这种方法适应于已知数列类型的题目.
点评:利用定义法求数列通项时要注意不用错定义,设法求出首项与公差(公比)后再写出通项。
二、利用公式法求通项公式
应用类型: ( 巧用 )
点评:利用公式求解时,要注意对n分类讨论,但若能合写时一定要合并.
三、利用累加法求通项公式
应用类型: (可以求和)
点评:利用累加法求数列通项公式时一定要注意等式组的个数,以方便于累加后右端求和。
四、利用累乘法求通项公式
应用类型: (可以求积)
点评:本题解题的关键是把递推关系转化为,进而求出,即得数列的通项公式。
五、利用待定常数法求通项公式
应用类型:
可将其转化为,其中,则数列为公比等于的等比数列,然后求即可。
点评:本题解题的关键是把递推关系式转化为,从而可知数列是等比数列,进而求出数列的通项公式,最后再求出数列的通项公式。
六、构建新数列法
应用类型: (其中,非常函数)
由递推公式两边同除以,得,即构建了新数列,再用累加法可求。
例6 已知数列满足,,求数列的通项公式。
解:等式两边同时除以,得,则,
故数列是以为首,以为公差的等差数列,所以由等差数列的通项公式,得,所以数列的通项公式为。
点评:本题解题的关键是把递推关系式转化为,从而可知数列是等差数列,进而求出数列的通项公式,最后再求出数列的通项公式。
七、恒等变形法
将给出式恒等变形,使之转化为与或有关的等差和等比数列,此法有一定的技巧性。
根据给出的公式,先求出数列的前n项,从中观察出规律,猜出通项公式,再用数学归纳法证明。
点评:解决此类问题需应用数学归纳法。
总之,求数列通项公式的方法并不满足以上所述,对于同一问题的求解也不仅是一种方法,只有在平时学习与探究过程中不断的体会与总结,将知识与方法学活,才可以做到游刃有余。