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摘要：职业学校在数学教学中实施问题教学法，以问题解决方式来完成重点、难点的教学，将会明显提高学生学习数学的兴趣，使数学教学呈现出应有的活力。
关键词：问题教学法；职业学校；数控加工专业；数学教学
中图分类号：G712 文献标识码：A 文章编号：1672-5727（2013）09-0115-02
数学教师教学主张的选择是由其对数学的理解和学生成长、成才的要求决定的。1980年美国《数学月刊》发表了一篇题为《数学的心脏是问题与解》的文章，此文当年就被译载在《数学通报》上，在国际数学教育界产生极大的反响。1988年4月，美国数学教师全国联合会在《行动纲领——80年代数学教育的议程》中首次提出必须把问题解决作为学校数学教学的核心。在我国，教育部于2001年7月颁布的《义务教育阶段国家数学课程标准实验稿》中将“问题解决”正式作为课程目标提出。从20世纪80年代起，国内一大批学者和教师从事着“问题解决”教学方式在不同层面的数学教学实践研究，形成了风起云涌的态势。职业教育中的数学教学更应体现数学的力量，通过运用“问题解决”的教学方式提高学生解决生产技术问题的能力。
问题教学法是以问题为载体贯穿教学过程，使学生在设问和释问的过程中萌生自主学习的动机和欲望，进而逐渐养成自主学习的习惯，并在实践中不断优化自主学习方法，提高自主学习能力的一种教学方法。问题教学法充分体现了学生的主体地位，能有效激发学生自主学习的主动性和积极性。
职业学校毕业生将直接参加社会劳动，经常接触需应用数学的技术问题，其数学素养和数学技能的高低会直接反映出来，也成为适应岗位需求的重要标志。当然，问题教学法中的“问题”不是通常意义下的习题和考题，而是专业生产和岗位工作的客观要求。问题的展现方式是非常规的，不能靠模仿和重复训练来完成，它是一种客观需要，以解决客观现实困难为目标，其答案的开放性和结论的不确定性足以保证学生具备在承担社会角色中所需的必要数学能力。
数学教学中实施问题教学法的必要性
进行数控加工编程时，所需的几何尺寸计算常常使我院数控加工专业的毕业生在工作岗位上一筹莫展、无计可施。沈阳市毕业生招聘现场会上，数控加工企业工程师用数控加工零件图测试某大学机械加工专业的一名毕业生几何尺寸计算时，毕业生居然不能用勾股定理进行零件图的几何尺寸计算。
类似上述现象，笔者在多年的执教生涯里屡见不鲜。究其原因，职业学校的学生大多数学基础薄弱，入校后重专业、轻基础，虽能顺利就业，但数学知识的匮乏却成为学生继续深造时难以逾越的鸿沟。因此，数学课堂怎样吸引学生的注意力，有效激发学生的学习兴趣，成为职业学校数学教师教学面对的重要课题。
笔者经过多年的教学实践和经验总结，认为数学教学在结合相关专业的基础上，对重点、难点的讲解实施问题教学法，可以极大地调动学生的学习积极性，使学生在解决问题的过程中掌握相关的学习内容。
例如，由零件图进行计算来确定编程中的关键点坐标，是数控加工专业数学教学中的重点和难点问题。以往的教学是数学课堂只讲数学课本上的平面解析几何，如直线的倾斜角、直线的斜率、直线的横纵截距、直线的方程、直线位置关系的代数表达、线线交点的求解，学生理解书上的习题并回答正确，就能顺利完成数学课的学习。其实，学生并没有将数学知识应用到专业问题解决中的实际。到学习专业课时，教师又认为学生都已经学过，不必详细讲解。这样，学生学专业课用到相关数学知识时会遇到很多困难，进而影响专业课的学习。若能将基础课与专业课结合起来，并施以问题教学法，对学生掌握专业课的内容将大有益处。
问题教学法在数学教学中的具体应用
下面，笔者结合数控加工专业的几何尺寸计算问题，来探讨问题教学法在职业学校数学教学中的应用。
例题 在数控机床上加工一零件，已知编程用轮廓尺寸（如图1所示），试求其基点B，C及圆心D的坐标。
图1为机械加工专业实习操作中的实际零件图，是生产加工工程中原坯状的问题。这样的问题情境分散到数学教学训练中，能摒弃一些人为编制的习题和考题的训练，实现基础训练与专业成长的零距离融合。这个问题的解决方案的制定和实施充分体现了问题教学法的核心要义。
事实上，图1的几何关系都是依据加工过程中的绘图要求给出的，其关系是隐性表达的，尺寸都是加工零件图的国标标注方式。如，图中？覫60、？覫20等均指相应圆柱的底面直径，50°、24°角均指相应圆锥的锥角。这就给解决生产加工的计算或编程带来了难度，首先要分析透彻隐性的几何关系和尺寸大小，如，α1=■=12°，（锥角24°的一半刚好是与直线倾斜角相等的内错角），α4=180°-■=155°（锥角50°的一半刚好与直线l4的倾斜角α4互为补角），b1=-70tan12°=-14.879，b2=b1-■=-14.879-■=-30.214。这其中包含解两个直角三角形和直线纵横截距几何意义的问题。这样的几何关系识别需要把图1放大延长，甚至添加几何辅助线才能分析清楚，与传统的几何解题训练形成极大的反差。这样的计算过程在编程计算中比比皆是，有时还需还原成工件的立体图形。因此，平面图和零件的立体图交错出现，在教学过程中为师生带来的思维挑战可想而知。
在讲解过程中，首先应明确基点是基准点或基础点的含义，是指构成零件轮廓的不同素线交点或切点。因此，确定基点B、C、D的坐标应通过以下四个问题的解决使学生最终理清解题思路，学会解题方法，进而掌握知识点：（1）分析图1，明确几何尺寸关系，将此图转化成图2，如50°、24°角均指锥角等；（2）建立适当的直角坐标系，坐标系的不同选择会直接影响解决问题时计算过程的复杂或简单；（3）由图1的已知条件（长度、角度、几何关系）确定已知点的坐标或建立直线（曲线）的方程；（4）用相应的几何结论或解方程组的方法求得所需尺寸或基点的坐标。 解：如图2所示建立直角坐标系。
因为α1=■=12°，则：k1=tan12°。
又因为b1=-14.879，
所以直线l1的斜截式方程为：y=0.2131x-14.879。
因为直线l4过0（0，0），α4=180°-■=155°，
所以得直线l2的方程为：y=-0.466x。
因为建立直线l2的斜截式方程所需的截距b2= -30.214，而k1=k2（l1∥l2），
所以直线l2的斜截式方程为：y=0.213x-30.214。
所以解方程组：y=0.213x-30.214y=-20
得：x=49.95y=-20，即圆心D的坐标为（47.95，-20）。
所以，圆方程为：（x-47.95）2+（y+20）2=152，
直线BD的方程为：
y+20=-■（x-47.95）（BD⊥l1），
整理得：y=-4.695x+205.125。
解方程组：y=0.466x（x-47.95）2+（y+20）2=152
得：x=33.59y=-15.6或x=60.51y=-28.20（几何直观说明此解舍）
即点C的坐标为（33.59，-15.66）。
解方程组：y=0.213x-14.879y=-4.695x+205.125
得x=44.83y=-5.33
即点B的坐标为（44.83，-5.33）。
所以，基点和圆心的坐标分别是：B（44.83，-5.33），C（33.59，-15.66），D（47.95，-20）。
综合如上举例可知，在专业实习和生产中，一些有关测量、检验尺寸及点（圆心、切点、交点）的坐标并不在零件图中标注，而在实际加工时却必须知道。这时可用解析法和数形结合的思想来制定实际问题的解决方案。现有职教数学教学（基础模块）培养的学生和现有师范院校培养的数学教师在数学教学中，能适应这样的问题解决都有一定的困难。
以上问题的解决过程，其难点是师生共同面对由零件图转换成计算图的制定问题解决方案的过程，这也正是数学教学问题教学法的精华之所在。
今后需解决的问题
在数控加工专业数学教学过程中，应用问题教学法还要解决以下问题。
一是与专业学习和岗位要求相一致的问题源的开发，如试题库。可以校本开发（结合不同专业要求），也可以依据区域、工艺水平、行业要求等方面的不同，进行行业和区域的问题源开发，以供不同层次问题解决的数学教学要求，从而形成专业成长（岗位要求）指向清楚的校本教材、行业或区域教材。有很多一线教师认真研究和开发这样的教学课件、挂图和多媒体等教学技术手段，为这一模式的教学提供软件支持。
二是师资水平亟待提高。教学中应用问题教学法对教师提出了更高的要求，教师首先要进行工程技术的学习，适应这种教学形式的客观要求，从而形成具有一定专业背景基础知识，能够适应解决相应问题源要求的职教数学教师队伍。
早在1972年，联合国教科文组织就在《学会生存——教育世界的今天和明天》中明确提出：“教学过程变化时，学习过程应该趋向于代替教学过程”。显然，师生共同开发出岗位生产中的各种现实数学问题，必将成为职教数学教学的核心要义和价值取向。
参考文献：
[1]李智杰.职业教育中数学教学观念的转变问题[J].科技创新与应用，2012（17）.
[2]联合国教科文组织.学会生存——教育世界的今天和明天[M].北京：教育科学出版社，1972.
[3]曹晓蔚.专业数学（机械建筑类）[M].北京：中国劳动社会保障出版社，2010.
作者简介：
李智杰（1961—），男，吉林舒兰人，抚顺市技师学院高级讲师，研究方向为数学教学。
关键词：问题教学法；职业学校；数控加工专业；数学教学
中图分类号：G712 文献标识码：A 文章编号：1672-5727（2013）09-0115-02
数学教师教学主张的选择是由其对数学的理解和学生成长、成才的要求决定的。1980年美国《数学月刊》发表了一篇题为《数学的心脏是问题与解》的文章，此文当年就被译载在《数学通报》上，在国际数学教育界产生极大的反响。1988年4月，美国数学教师全国联合会在《行动纲领——80年代数学教育的议程》中首次提出必须把问题解决作为学校数学教学的核心。在我国，教育部于2001年7月颁布的《义务教育阶段国家数学课程标准实验稿》中将“问题解决”正式作为课程目标提出。从20世纪80年代起，国内一大批学者和教师从事着“问题解决”教学方式在不同层面的数学教学实践研究，形成了风起云涌的态势。职业教育中的数学教学更应体现数学的力量，通过运用“问题解决”的教学方式提高学生解决生产技术问题的能力。
问题教学法是以问题为载体贯穿教学过程，使学生在设问和释问的过程中萌生自主学习的动机和欲望，进而逐渐养成自主学习的习惯，并在实践中不断优化自主学习方法，提高自主学习能力的一种教学方法。问题教学法充分体现了学生的主体地位，能有效激发学生自主学习的主动性和积极性。
职业学校毕业生将直接参加社会劳动，经常接触需应用数学的技术问题，其数学素养和数学技能的高低会直接反映出来，也成为适应岗位需求的重要标志。当然，问题教学法中的“问题”不是通常意义下的习题和考题，而是专业生产和岗位工作的客观要求。问题的展现方式是非常规的，不能靠模仿和重复训练来完成，它是一种客观需要，以解决客观现实困难为目标，其答案的开放性和结论的不确定性足以保证学生具备在承担社会角色中所需的必要数学能力。
数学教学中实施问题教学法的必要性
进行数控加工编程时，所需的几何尺寸计算常常使我院数控加工专业的毕业生在工作岗位上一筹莫展、无计可施。沈阳市毕业生招聘现场会上，数控加工企业工程师用数控加工零件图测试某大学机械加工专业的一名毕业生几何尺寸计算时，毕业生居然不能用勾股定理进行零件图的几何尺寸计算。
类似上述现象，笔者在多年的执教生涯里屡见不鲜。究其原因，职业学校的学生大多数学基础薄弱，入校后重专业、轻基础，虽能顺利就业，但数学知识的匮乏却成为学生继续深造时难以逾越的鸿沟。因此，数学课堂怎样吸引学生的注意力，有效激发学生的学习兴趣，成为职业学校数学教师教学面对的重要课题。
笔者经过多年的教学实践和经验总结，认为数学教学在结合相关专业的基础上，对重点、难点的讲解实施问题教学法，可以极大地调动学生的学习积极性，使学生在解决问题的过程中掌握相关的学习内容。
例如，由零件图进行计算来确定编程中的关键点坐标，是数控加工专业数学教学中的重点和难点问题。以往的教学是数学课堂只讲数学课本上的平面解析几何，如直线的倾斜角、直线的斜率、直线的横纵截距、直线的方程、直线位置关系的代数表达、线线交点的求解，学生理解书上的习题并回答正确，就能顺利完成数学课的学习。其实，学生并没有将数学知识应用到专业问题解决中的实际。到学习专业课时，教师又认为学生都已经学过，不必详细讲解。这样，学生学专业课用到相关数学知识时会遇到很多困难，进而影响专业课的学习。若能将基础课与专业课结合起来，并施以问题教学法，对学生掌握专业课的内容将大有益处。
问题教学法在数学教学中的具体应用
下面，笔者结合数控加工专业的几何尺寸计算问题，来探讨问题教学法在职业学校数学教学中的应用。
例题 在数控机床上加工一零件，已知编程用轮廓尺寸（如图1所示），试求其基点B，C及圆心D的坐标。
图1为机械加工专业实习操作中的实际零件图，是生产加工工程中原坯状的问题。这样的问题情境分散到数学教学训练中，能摒弃一些人为编制的习题和考题的训练，实现基础训练与专业成长的零距离融合。这个问题的解决方案的制定和实施充分体现了问题教学法的核心要义。
事实上，图1的几何关系都是依据加工过程中的绘图要求给出的，其关系是隐性表达的，尺寸都是加工零件图的国标标注方式。如，图中？覫60、？覫20等均指相应圆柱的底面直径，50°、24°角均指相应圆锥的锥角。这就给解决生产加工的计算或编程带来了难度，首先要分析透彻隐性的几何关系和尺寸大小，如，α1=■=12°，（锥角24°的一半刚好是与直线倾斜角相等的内错角），α4=180°-■=155°（锥角50°的一半刚好与直线l4的倾斜角α4互为补角），b1=-70tan12°=-14.879，b2=b1-■=-14.879-■=-30.214。这其中包含解两个直角三角形和直线纵横截距几何意义的问题。这样的几何关系识别需要把图1放大延长，甚至添加几何辅助线才能分析清楚，与传统的几何解题训练形成极大的反差。这样的计算过程在编程计算中比比皆是，有时还需还原成工件的立体图形。因此，平面图和零件的立体图交错出现，在教学过程中为师生带来的思维挑战可想而知。
在讲解过程中，首先应明确基点是基准点或基础点的含义，是指构成零件轮廓的不同素线交点或切点。因此，确定基点B、C、D的坐标应通过以下四个问题的解决使学生最终理清解题思路，学会解题方法，进而掌握知识点：（1）分析图1，明确几何尺寸关系，将此图转化成图2，如50°、24°角均指锥角等；（2）建立适当的直角坐标系，坐标系的不同选择会直接影响解决问题时计算过程的复杂或简单；（3）由图1的已知条件（长度、角度、几何关系）确定已知点的坐标或建立直线（曲线）的方程；（4）用相应的几何结论或解方程组的方法求得所需尺寸或基点的坐标。 解：如图2所示建立直角坐标系。
因为α1=■=12°，则：k1=tan12°。
又因为b1=-14.879，
所以直线l1的斜截式方程为：y=0.2131x-14.879。
因为直线l4过0（0，0），α4=180°-■=155°，
所以得直线l2的方程为：y=-0.466x。
因为建立直线l2的斜截式方程所需的截距b2= -30.214，而k1=k2（l1∥l2），
所以直线l2的斜截式方程为：y=0.213x-30.214。
所以解方程组：y=0.213x-30.214y=-20
得：x=49.95y=-20，即圆心D的坐标为（47.95，-20）。
所以，圆方程为：（x-47.95）2+（y+20）2=152，
直线BD的方程为：
y+20=-■（x-47.95）（BD⊥l1），
整理得：y=-4.695x+205.125。
解方程组：y=0.466x（x-47.95）2+（y+20）2=152
得：x=33.59y=-15.6或x=60.51y=-28.20（几何直观说明此解舍）
即点C的坐标为（33.59，-15.66）。
解方程组：y=0.213x-14.879y=-4.695x+205.125
得x=44.83y=-5.33
即点B的坐标为（44.83，-5.33）。
所以，基点和圆心的坐标分别是：B（44.83，-5.33），C（33.59，-15.66），D（47.95，-20）。
综合如上举例可知，在专业实习和生产中，一些有关测量、检验尺寸及点（圆心、切点、交点）的坐标并不在零件图中标注，而在实际加工时却必须知道。这时可用解析法和数形结合的思想来制定实际问题的解决方案。现有职教数学教学（基础模块）培养的学生和现有师范院校培养的数学教师在数学教学中，能适应这样的问题解决都有一定的困难。
以上问题的解决过程，其难点是师生共同面对由零件图转换成计算图的制定问题解决方案的过程，这也正是数学教学问题教学法的精华之所在。
今后需解决的问题
在数控加工专业数学教学过程中，应用问题教学法还要解决以下问题。
一是与专业学习和岗位要求相一致的问题源的开发，如试题库。可以校本开发（结合不同专业要求），也可以依据区域、工艺水平、行业要求等方面的不同，进行行业和区域的问题源开发，以供不同层次问题解决的数学教学要求，从而形成专业成长（岗位要求）指向清楚的校本教材、行业或区域教材。有很多一线教师认真研究和开发这样的教学课件、挂图和多媒体等教学技术手段，为这一模式的教学提供软件支持。
二是师资水平亟待提高。教学中应用问题教学法对教师提出了更高的要求，教师首先要进行工程技术的学习，适应这种教学形式的客观要求，从而形成具有一定专业背景基础知识，能够适应解决相应问题源要求的职教数学教师队伍。
早在1972年，联合国教科文组织就在《学会生存——教育世界的今天和明天》中明确提出：“教学过程变化时，学习过程应该趋向于代替教学过程”。显然，师生共同开发出岗位生产中的各种现实数学问题，必将成为职教数学教学的核心要义和价值取向。
参考文献：
[1]李智杰.职业教育中数学教学观念的转变问题[J].科技创新与应用，2012（17）.
[2]联合国教科文组织.学会生存——教育世界的今天和明天[M].北京：教育科学出版社，1972.
[3]曹晓蔚.专业数学（机械建筑类）[M].北京：中国劳动社会保障出版社，2010.
作者简介：
李智杰（1961—），男，吉林舒兰人，抚顺市技师学院高级讲师，研究方向为数学教学。