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【摘 要】化归思想对学生数学学习具有非常重要的作用。本文探讨了如何将化归思想融入到课后练习，引导学生找到题目的目标模型，发现问题之间的本质联系以及如何利用模型规律轻松解决题目的同时，拓展和延伸学生的思维，实现实际问题与数学模型的相互转化的问题。
【关键词】化归思想；数学模型；设计；整体思想
在教学中，教师往往在新课教学中重视化归思想的渗透，但在练习中却很淡漠。笔者认为，化归思想更需要学生在练习运用中进行感悟，这也就需要围绕化归思想精心设计练习。下面以圆的练习为例，谈谈化归思想在本单元练习中的设计与运用。
一、关注思维来回，实现实际问题与数学模型的相互转化。
相信很多教师都深深觉得，学好一个知识板块不难，难在将一个知识点很好地融合在相关联的知识流中，或者如何把实际问题与数学问题想连接，从实际问题中构造相应的数学模型，用数学模型去解决实际问题，也是充分体现了“用数学”的意识。所以如何让学生有效地把问题转化为目标模型，是转化的关键，也是数学学习的精髓所在。
1. 操作抽象，架构实际问题到数学模型的桥梁
教材的设计，非常合理地安排了相关习题，如在学习了圆的周长后，就出现了这样的题目：（作业本P15）
本题最关键的就是寻找它的目标模型——求顶点A在旋转时所经过的路程。其实是简单的一条线段绕其端点旋转一定角度后，另一端点所经过的路程。而这个活动过程，其实就是圆的发生式定义——当一条线段绕着它的一个端点在平面内旋转一周时，它的另一个端点的轨迹叫做圆的真实诠释。所以可以进行如下设计：
第一层次：动手操作，发现本质联系
师：请你用学具演示三角形绕定点C顺时针旋转的过程。边旋转边思考：
①旋转时，关键是什么？三角形哪些地方是没有用的？去除这些部分结果还一样吗？
②这个过程和我们以前学过的什么是相似的？顶点A在旋转时所经过的路程是什么图形？
通过这样的操作，学生可以去除非本质信息，发现这和绳子画圆情况一样，也就是一条线绕着一个端点在旋转，为实际问题和目标模型的转化奠定基础。
第二层次：转化和解答，利用数学模型求解
有了上面的发现，学生就自然把实际问题转化为圆的知识，即经过的路程其实就是线段AC绕点C旋转后，点A所经过的路程其实就是圆弧，而旋转的角度和等边三角形的60°角有关，正好是120°，而120°是整个圆的三分之二。所以所走的路程是半径为1dm的圆周长的三分之二。把三角形绕一个顶点旋转后另一个顶点所走的路程，通过化归思想，转化为线段绕一个端点旋转后另一个端点所走的路程，也就是归结于圆的发生式定义，这样问题就迎刃而解了。
2. 有去有回，拓宽数学模型在实际问题中的应用
一种数学模型，往往不是只针对一题的，它其实在很多地方都适用，所以要引导学生进行反思，这样的数学模型可以解决哪些数学问题，让学生思维有去有回，才是真正的体现了这种数学思想的价值。
比如学生在进行圆的周长的巩固练习时，会碰到这样的题目：一个羊圈的半径是15米，要用多长的粗铁丝才能把羊圈围上3圈？解答此题时，肯定会让学生从实际问题中抽象出数学模型，也就是求3个半径为15米的圆的周长。学生利用模型规律轻松解决本题后，我们不妨反过来，让学生说说：像这样除了利用圆的周长解决此题之外，我们还能解决生活中哪些问题呢？你能举例说明吗？此时，学生在思考的是数学模型的具体直观现象。比如，一头羊用5米长的绳子栓在一棵树上，绕着走一圈，走的路径是多少；李爷爷用3米长的铁丝，围成一个圆形的菜园，它的半径是多少等等。
如果教师能在练习时，都能有意识地、持久地让学生的思维在数学模型和实际问题中来回穿梭，把实际问题转化为数学模型，数学模型可以解决哪一类实际问题。长此以往，持之以恒，不断加以训练，提高学生的洞察能力，就能更容易抓住实质，实现实际问题与数学模型的相互转化，这就是一个好的数学思想方法的魅力所在。
二、关注整体思想，实现形与形的互通
整体思想，就是指从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，把某些式子或图形通过重组，看成一个整体，从而有目的的、有意识的整体处理。这就需要学生在学习数学的过程中，不断地构建知识结构，将知识整合成一个整体。
1. 借助分割法，把不规则图形转化成规则图形，不断渗透化归思想
比如当学生遇到不规则图形时，不是盲目地进行计算，而是先进行分割，把不规则图形分割成若干份。然后尝试平移、旋转或对称等运动形式，抓住这些运动时大小是不会改变的。看看能否把不规则图形通过转换，重组成规则图形，从而解决问题，这样的方法就是化归思想的体现。
如上图，一看这个题目，有些学生觉得无从下手，部分学生会在中间加条辅助线，把阴影部分分成两部分，然后经过繁杂的过程计算出它的面积：
①的面积：
3.14×102÷2=157（cm2）
②的面积：
3.14×102÷4=78.6（cm2）
20×10=200（cm2）
200-78.6×2=43（cm）
总面积：157 43=200（cm2）
然而细观察分析，这题我们完全可以运用化归思想，通过分割，把上面的半圆分成2部分，然后通过旋转，四分之一的扇形分块填补到下面的扇形中，这样把不规则的阴影部分重组成长方形，然后计算它的面积。如图：
这样，不规则的阴影部分通过平移，可以拼成一个完整的长方形。从而就可以简便计算：总面积：20×10=200（cm2）
这里的分割法就是此题的“关系键”，通过分割——尝试运动——重组，把不规则图形的计算转换成以前学过的、会计算的规则图形，不但降低了计算的难度，还能提高学生学习的兴趣。
2. 借助想象，把部分图形还原成整体图形，不断深化化归思想
在练习时，合理运用化归思想，可以帮助学生更简便地解决问题：
如：六年级上册《圆的周长》中有这样题目（图1）：求中间黑色部分的周长是多长？学生都能知道周长在哪里，却普遍感到束手无策，因为没学过求圆弧长度的方法。但是学生已经会求圆的周长，只是他们没有把两者联系起来。此时我们不妨先让学生进行想象：这个周长和我们学过的什么图像类似，能进行补一补，补成图2这个图像吗？它与这个图形有什么关系呢？学生通过想象，补形之后发现原来一条弧的长度是这个圆的周长的1/4，而圆的半径就是正方形的边长。把原本陌生的圆弧的长度，转变成学生熟悉的图形，从而使问题得以解决。
这里运用了先想象，再补形，然后转化，把陌生的圆弧转化成熟悉的圆的周长，明白求圆弧的长度计算，可以借助学生熟悉的圆的周长计算方法，计算出圆弧的长度。
其实，像这样将分散的或部分的知识放入整体中，会使解题更加的浅显易懂。如求右图阴影部分的面积，我们就可以关注其整体部分，将阴影部分放入三角形和小正方形中，就可以用S△BCG S□FCDE-S△BDE的方法求出面积。
如果教师经常引导学生从问题的整体性质出发，善于用“集成”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的、有意识的整体处理。长此以往，学生遇见类似的题目，就会自然而然地运用化归思想，这样才能做到授之以渔的目的。
培养化归思想不是一朝一夕的，它需要持之以恒，作为教师，必然都知道化归思想对学生学习的重要性。不仅是课堂教学要有意识地渗透化归思想，在练习时也要引导学生运用化归思想解决题目。通过练习的设计，让化归思想贯穿整堂课的始末，甚至是延续到课外。
【关键词】化归思想；数学模型；设计；整体思想
在教学中，教师往往在新课教学中重视化归思想的渗透，但在练习中却很淡漠。笔者认为，化归思想更需要学生在练习运用中进行感悟，这也就需要围绕化归思想精心设计练习。下面以圆的练习为例，谈谈化归思想在本单元练习中的设计与运用。
一、关注思维来回，实现实际问题与数学模型的相互转化。
相信很多教师都深深觉得，学好一个知识板块不难，难在将一个知识点很好地融合在相关联的知识流中，或者如何把实际问题与数学问题想连接，从实际问题中构造相应的数学模型，用数学模型去解决实际问题，也是充分体现了“用数学”的意识。所以如何让学生有效地把问题转化为目标模型，是转化的关键，也是数学学习的精髓所在。
1. 操作抽象，架构实际问题到数学模型的桥梁
教材的设计，非常合理地安排了相关习题，如在学习了圆的周长后，就出现了这样的题目：（作业本P15）
本题最关键的就是寻找它的目标模型——求顶点A在旋转时所经过的路程。其实是简单的一条线段绕其端点旋转一定角度后，另一端点所经过的路程。而这个活动过程，其实就是圆的发生式定义——当一条线段绕着它的一个端点在平面内旋转一周时，它的另一个端点的轨迹叫做圆的真实诠释。所以可以进行如下设计：
第一层次：动手操作，发现本质联系
师：请你用学具演示三角形绕定点C顺时针旋转的过程。边旋转边思考：
①旋转时，关键是什么？三角形哪些地方是没有用的？去除这些部分结果还一样吗？
②这个过程和我们以前学过的什么是相似的？顶点A在旋转时所经过的路程是什么图形？
通过这样的操作，学生可以去除非本质信息，发现这和绳子画圆情况一样，也就是一条线绕着一个端点在旋转，为实际问题和目标模型的转化奠定基础。
第二层次：转化和解答，利用数学模型求解
有了上面的发现，学生就自然把实际问题转化为圆的知识，即经过的路程其实就是线段AC绕点C旋转后，点A所经过的路程其实就是圆弧，而旋转的角度和等边三角形的60°角有关，正好是120°，而120°是整个圆的三分之二。所以所走的路程是半径为1dm的圆周长的三分之二。把三角形绕一个顶点旋转后另一个顶点所走的路程，通过化归思想，转化为线段绕一个端点旋转后另一个端点所走的路程，也就是归结于圆的发生式定义，这样问题就迎刃而解了。
2. 有去有回，拓宽数学模型在实际问题中的应用
一种数学模型，往往不是只针对一题的，它其实在很多地方都适用，所以要引导学生进行反思，这样的数学模型可以解决哪些数学问题，让学生思维有去有回，才是真正的体现了这种数学思想的价值。
比如学生在进行圆的周长的巩固练习时，会碰到这样的题目：一个羊圈的半径是15米，要用多长的粗铁丝才能把羊圈围上3圈？解答此题时，肯定会让学生从实际问题中抽象出数学模型，也就是求3个半径为15米的圆的周长。学生利用模型规律轻松解决本题后，我们不妨反过来，让学生说说：像这样除了利用圆的周长解决此题之外，我们还能解决生活中哪些问题呢？你能举例说明吗？此时，学生在思考的是数学模型的具体直观现象。比如，一头羊用5米长的绳子栓在一棵树上，绕着走一圈，走的路径是多少；李爷爷用3米长的铁丝，围成一个圆形的菜园，它的半径是多少等等。
如果教师能在练习时，都能有意识地、持久地让学生的思维在数学模型和实际问题中来回穿梭，把实际问题转化为数学模型，数学模型可以解决哪一类实际问题。长此以往，持之以恒，不断加以训练，提高学生的洞察能力，就能更容易抓住实质，实现实际问题与数学模型的相互转化，这就是一个好的数学思想方法的魅力所在。
二、关注整体思想，实现形与形的互通
整体思想，就是指从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，把某些式子或图形通过重组，看成一个整体，从而有目的的、有意识的整体处理。这就需要学生在学习数学的过程中，不断地构建知识结构，将知识整合成一个整体。
1. 借助分割法，把不规则图形转化成规则图形，不断渗透化归思想
比如当学生遇到不规则图形时，不是盲目地进行计算，而是先进行分割，把不规则图形分割成若干份。然后尝试平移、旋转或对称等运动形式，抓住这些运动时大小是不会改变的。看看能否把不规则图形通过转换，重组成规则图形，从而解决问题，这样的方法就是化归思想的体现。
如上图，一看这个题目，有些学生觉得无从下手，部分学生会在中间加条辅助线，把阴影部分分成两部分，然后经过繁杂的过程计算出它的面积：
①的面积：
3.14×102÷2=157（cm2）
②的面积：
3.14×102÷4=78.6（cm2）
20×10=200（cm2）
200-78.6×2=43（cm）
总面积：157 43=200（cm2）
然而细观察分析，这题我们完全可以运用化归思想，通过分割，把上面的半圆分成2部分，然后通过旋转，四分之一的扇形分块填补到下面的扇形中，这样把不规则的阴影部分重组成长方形，然后计算它的面积。如图：
这样，不规则的阴影部分通过平移，可以拼成一个完整的长方形。从而就可以简便计算：总面积：20×10=200（cm2）
这里的分割法就是此题的“关系键”，通过分割——尝试运动——重组，把不规则图形的计算转换成以前学过的、会计算的规则图形，不但降低了计算的难度，还能提高学生学习的兴趣。
2. 借助想象，把部分图形还原成整体图形，不断深化化归思想
在练习时，合理运用化归思想，可以帮助学生更简便地解决问题：
如：六年级上册《圆的周长》中有这样题目（图1）：求中间黑色部分的周长是多长？学生都能知道周长在哪里，却普遍感到束手无策，因为没学过求圆弧长度的方法。但是学生已经会求圆的周长，只是他们没有把两者联系起来。此时我们不妨先让学生进行想象：这个周长和我们学过的什么图像类似，能进行补一补，补成图2这个图像吗？它与这个图形有什么关系呢？学生通过想象，补形之后发现原来一条弧的长度是这个圆的周长的1/4，而圆的半径就是正方形的边长。把原本陌生的圆弧的长度，转变成学生熟悉的图形，从而使问题得以解决。
这里运用了先想象，再补形，然后转化，把陌生的圆弧转化成熟悉的圆的周长，明白求圆弧的长度计算，可以借助学生熟悉的圆的周长计算方法，计算出圆弧的长度。
其实，像这样将分散的或部分的知识放入整体中，会使解题更加的浅显易懂。如求右图阴影部分的面积，我们就可以关注其整体部分，将阴影部分放入三角形和小正方形中，就可以用S△BCG S□FCDE-S△BDE的方法求出面积。
如果教师经常引导学生从问题的整体性质出发，善于用“集成”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的、有意识的整体处理。长此以往，学生遇见类似的题目，就会自然而然地运用化归思想，这样才能做到授之以渔的目的。
培养化归思想不是一朝一夕的，它需要持之以恒，作为教师，必然都知道化归思想对学生学习的重要性。不仅是课堂教学要有意识地渗透化归思想，在练习时也要引导学生运用化归思想解决题目。通过练习的设计，让化归思想贯穿整堂课的始末，甚至是延续到课外。