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【摘 要】 微专题是培养学生数学核心素养的优良载体，其中也蕴含着丰富的数学文化内涵，本文以一堂微专题课的教学为例，从文化的视角进行了微专题教学问题链设计的些许尝试.
【关键词】 微专题;问题链;数学文化
微专题教学是以某个知识点或数学思想方法等作为一个研究主题为中心，退到该知识的“最原始”概念、定义处学习，再通过一条清晰主线串起这些问题，循序渐进，逐步深入需要解决的问题[1].微专题教学的特征是切口微，挖掘深，注重知识的系统性和知识之间的联系性，需要将各种支离破碎的知识进行梳理和重组.那么用什么方式可以将这些零散的知识自然地衔接起来，而且学生还喜闻乐见？徐利治教授给出了精准的答案：“教师要从文化的角度和高度，引导学生亲近数学、理解数学、赏玩数学，领略数学的魅力”[2].众所周知，数学文化内涵丰富，它既包括数学史，数学美，也包括数学的精神、思想等.数学微专题教学的对象是人，数学文化形成的主体也是人，二者本身就很合拍;同时，人类最早对数学知识的认识就是“碎片化”的，在经过历史长河的积淀后，才慢慢形成了一套套完整的知识体系，因此，通过再现人类发现数学知识的过程，可以自然地将这些“碎片化”的知识串联起来;再者，通过数学思想、数学精神以及数学美等文化元素的全方位渗透，可以促进学生对所学内容的深度理解，而这正是微专题教学所期望达到的目标.因此，在数学文化视角下开展微专题教学是非常有必要的.本文以笔者在浙江省“基于学科核心素养的高中数学课堂构建与展示”活动中开设的一节微专题研讨课“向量中神奇的三点共线”为例，与各位同行分享一下文化视角下的微专题问题链设计的些许尝试，希望能抛砖引玉.
1 教学过程解析
1.1 课堂引入，厘清数学发展脉络
问题1 大家知道证明三点共线有哪些方法？
生1：可以运用平角的定义来证明.
师：很好，生1用的是平面几何方法进行证明.证明三点共线从本质上看是个纯几何问题，因此用平面几何知识进行证明是非常直接的.当然，用平面几何知识证明三点共线的方法有很多，比如古希腊数学家梅涅劳斯的著作《球面学》中给出的梅涅劳斯定理，以及古希腊的数学家帕普斯发现的帕普斯定理等，都可以证明三点共线.那除了平面几何方法之外，你还有其他途径来证明三点共线吗？
生2：建立坐標系.
师：建立坐标系就是将几何问题进行代数化，那大家知道最早使用坐标系的是谁吗？
生（众）：笛卡尔.
师：对，这位法国的大数学家笛卡尔创立了解析几何，开辟了用代数方法解决几何问题的先河，因此他被誉为“近代科学的始祖”.人类最早是用纯几何方法研究几何问题的，后来发明了坐标系，就可以用代数方法研究几何问题了.再往后人们又发现，在几何与代数之间还存在着一个中间地带，这个中间地带就是向量.欧拉最早从形的角度来研究向量，而哈密顿则从代数的角度来表示向量，这使得向量同时具有几何和代数的双重属性，因此用向量方法研究几何问题，也有其得天独厚的优势.
师：大家知道什么是欧拉线吗？
课堂活动：教师播放课前录制的欧拉线微课，介绍欧拉线发现的曲折历史，说明欧拉线上任意三角形的外心O、重心G、垂心H三点共线，且2OG=GH，并给出历史上各种繁琐的证明过程，最后再展示向量法简洁的证明过程，从而凸显出向量法的先进性.
师：我们刚刚利用向量法轻松地证明了欧拉线中的三点共线定理，我们不得不惊叹向量方法之简洁与神奇，今天就让我们一起来研究一下向量中这“神奇的三点共线”！
设计意图 美国著名数学教育家M·克莱因认为，知识是一个整体，数学是这个整体的一部分.每一个时代的数学都是这个时代更广阔的文化运动的一部分[3].因此数学微专题的教学要依托数学文化的大背景，从整体视角展开教学.本教学环节中，教师通过问题1的设置，让课堂重现人类几何研究史上的三个重要的里程碑：平面几何，解析几何，向量.课堂以数学史为载体，通过对相关历史背景及历史上的关键事件和关键人物的介绍，将几种看似孤立的数学方法和谐地镶嵌在数学发展史这个生动的大舞台中.这样的设计不但开阔了学生的视野，还帮助他们在脑海中构建清晰的数学知识的发展脉络.
1.2 新知探究，渗透数学多样美感
设计意图 数学理性精神是数学教育的核心一环，在某种程度上说，数学发展史就是一部数学理性精神的发展史，数学在形成人的理性思维、科学精神和促进个人智力发展的过程中发挥着不可替代的作用.本教学环节中，第一道例题的突破口是对系数实行“凑1”，两位同学通过不同的途径进行“凑1”，可谓殊途同归，这是从数的角度寻求思路;第二道例题则通过延长AP来寻找三点共线，这是从形的角度进行分析，两道例题相辅相成，从数和形两个不同的角度培养了学生的理性思维.
1.4 课堂小结，提升数学思维层级
问题7 你能总结一下今天学习了哪些内容，其中渗透了哪些数学思想吗？
生：今天学习了平面向量中的共线定理，并且研究了定理中λ，u的几何意义，以及它们的取值范围.其中渗透了等价转化、数形结合、特殊与一般等数学思想.
师：在这节课堂中，我们还经历了数据分析、直观想象，请大家细细体会.
随后，教师呈现如下课堂小结图片：
问题8 你能将今天学习的二维共线定理类比到空间三维的情形吗？请在课后进行探究.
设计意图 在微专题教学中，教师可以通过恰当问题链的设计，引导学生进行深度思考，从而提升学生的思维层级.在本教学环节中，问题7旨在引导学生进行自我梳理，培养了他们善于反思的习惯，而教师提纲挈领的总结，打开了学生的思路，让学生的思维得以升华.课堂小结以向量的“向”字为载体，将数学知识、数学思想、数学核心素养融于一体，可谓是画龙点睛.而问题8则将定理从二维升级到三维，让学生的知识体系更加完整，这种注重整体教学的问题设计，在无形中提升了学生的思维层级.
参考文献
[1] 李宽珍.数学微专题教学的特征、策略及方法[J]. 教学月刊，2016（09）.
[2] 徐利治. 数学文化教养对人生的作用[J]. 教育研究与评论：中学教育教学， 2014（01）.
[3] 王建磐，汪晓勤，洪燕君. 中、法、美高中数学教科书中的数学文化比较研究[J]. 教育发展研究，2015（20）.
作者简介 毛浙东（1978—），男，汉族，浙江宁波人，全国“高质量课堂展示活动”特等奖获得者，浙派名师，浙江省教坛新秀，宁波市领军拔尖人才，宁波市名师，宁波大学兼职教授，北仑中学科研处负责人，公开发表论文五十余篇. 研究方向：数学教育.
【关键词】 微专题;问题链;数学文化
微专题教学是以某个知识点或数学思想方法等作为一个研究主题为中心，退到该知识的“最原始”概念、定义处学习，再通过一条清晰主线串起这些问题，循序渐进，逐步深入需要解决的问题[1].微专题教学的特征是切口微，挖掘深，注重知识的系统性和知识之间的联系性，需要将各种支离破碎的知识进行梳理和重组.那么用什么方式可以将这些零散的知识自然地衔接起来，而且学生还喜闻乐见？徐利治教授给出了精准的答案：“教师要从文化的角度和高度，引导学生亲近数学、理解数学、赏玩数学，领略数学的魅力”[2].众所周知，数学文化内涵丰富，它既包括数学史，数学美，也包括数学的精神、思想等.数学微专题教学的对象是人，数学文化形成的主体也是人，二者本身就很合拍;同时，人类最早对数学知识的认识就是“碎片化”的，在经过历史长河的积淀后，才慢慢形成了一套套完整的知识体系，因此，通过再现人类发现数学知识的过程，可以自然地将这些“碎片化”的知识串联起来;再者，通过数学思想、数学精神以及数学美等文化元素的全方位渗透，可以促进学生对所学内容的深度理解，而这正是微专题教学所期望达到的目标.因此，在数学文化视角下开展微专题教学是非常有必要的.本文以笔者在浙江省“基于学科核心素养的高中数学课堂构建与展示”活动中开设的一节微专题研讨课“向量中神奇的三点共线”为例，与各位同行分享一下文化视角下的微专题问题链设计的些许尝试，希望能抛砖引玉.
1 教学过程解析
1.1 课堂引入，厘清数学发展脉络
问题1 大家知道证明三点共线有哪些方法？
生1：可以运用平角的定义来证明.
师：很好，生1用的是平面几何方法进行证明.证明三点共线从本质上看是个纯几何问题，因此用平面几何知识进行证明是非常直接的.当然，用平面几何知识证明三点共线的方法有很多，比如古希腊数学家梅涅劳斯的著作《球面学》中给出的梅涅劳斯定理，以及古希腊的数学家帕普斯发现的帕普斯定理等，都可以证明三点共线.那除了平面几何方法之外，你还有其他途径来证明三点共线吗？
生2：建立坐標系.
师：建立坐标系就是将几何问题进行代数化，那大家知道最早使用坐标系的是谁吗？
生（众）：笛卡尔.
师：对，这位法国的大数学家笛卡尔创立了解析几何，开辟了用代数方法解决几何问题的先河，因此他被誉为“近代科学的始祖”.人类最早是用纯几何方法研究几何问题的，后来发明了坐标系，就可以用代数方法研究几何问题了.再往后人们又发现，在几何与代数之间还存在着一个中间地带，这个中间地带就是向量.欧拉最早从形的角度来研究向量，而哈密顿则从代数的角度来表示向量，这使得向量同时具有几何和代数的双重属性，因此用向量方法研究几何问题，也有其得天独厚的优势.
师：大家知道什么是欧拉线吗？
课堂活动：教师播放课前录制的欧拉线微课，介绍欧拉线发现的曲折历史，说明欧拉线上任意三角形的外心O、重心G、垂心H三点共线，且2OG=GH，并给出历史上各种繁琐的证明过程，最后再展示向量法简洁的证明过程，从而凸显出向量法的先进性.
师：我们刚刚利用向量法轻松地证明了欧拉线中的三点共线定理，我们不得不惊叹向量方法之简洁与神奇，今天就让我们一起来研究一下向量中这“神奇的三点共线”！
设计意图 美国著名数学教育家M·克莱因认为，知识是一个整体，数学是这个整体的一部分.每一个时代的数学都是这个时代更广阔的文化运动的一部分[3].因此数学微专题的教学要依托数学文化的大背景，从整体视角展开教学.本教学环节中，教师通过问题1的设置，让课堂重现人类几何研究史上的三个重要的里程碑：平面几何，解析几何，向量.课堂以数学史为载体，通过对相关历史背景及历史上的关键事件和关键人物的介绍，将几种看似孤立的数学方法和谐地镶嵌在数学发展史这个生动的大舞台中.这样的设计不但开阔了学生的视野，还帮助他们在脑海中构建清晰的数学知识的发展脉络.
1.2 新知探究，渗透数学多样美感
设计意图 数学理性精神是数学教育的核心一环，在某种程度上说，数学发展史就是一部数学理性精神的发展史，数学在形成人的理性思维、科学精神和促进个人智力发展的过程中发挥着不可替代的作用.本教学环节中，第一道例题的突破口是对系数实行“凑1”，两位同学通过不同的途径进行“凑1”，可谓殊途同归，这是从数的角度寻求思路;第二道例题则通过延长AP来寻找三点共线，这是从形的角度进行分析，两道例题相辅相成，从数和形两个不同的角度培养了学生的理性思维.
1.4 课堂小结，提升数学思维层级
问题7 你能总结一下今天学习了哪些内容，其中渗透了哪些数学思想吗？
生：今天学习了平面向量中的共线定理，并且研究了定理中λ，u的几何意义，以及它们的取值范围.其中渗透了等价转化、数形结合、特殊与一般等数学思想.
师：在这节课堂中，我们还经历了数据分析、直观想象，请大家细细体会.
随后，教师呈现如下课堂小结图片：
问题8 你能将今天学习的二维共线定理类比到空间三维的情形吗？请在课后进行探究.
设计意图 在微专题教学中，教师可以通过恰当问题链的设计，引导学生进行深度思考，从而提升学生的思维层级.在本教学环节中，问题7旨在引导学生进行自我梳理，培养了他们善于反思的习惯，而教师提纲挈领的总结，打开了学生的思路，让学生的思维得以升华.课堂小结以向量的“向”字为载体，将数学知识、数学思想、数学核心素养融于一体，可谓是画龙点睛.而问题8则将定理从二维升级到三维，让学生的知识体系更加完整，这种注重整体教学的问题设计，在无形中提升了学生的思维层级.
参考文献
[1] 李宽珍.数学微专题教学的特征、策略及方法[J]. 教学月刊，2016（09）.
[2] 徐利治. 数学文化教养对人生的作用[J]. 教育研究与评论：中学教育教学， 2014（01）.
[3] 王建磐，汪晓勤，洪燕君. 中、法、美高中数学教科书中的数学文化比较研究[J]. 教育发展研究，2015（20）.
作者简介 毛浙东（1978—），男，汉族，浙江宁波人，全国“高质量课堂展示活动”特等奖获得者，浙派名师，浙江省教坛新秀，宁波市领军拔尖人才，宁波市名师，宁波大学兼职教授，北仑中学科研处负责人，公开发表论文五十余篇. 研究方向：数学教育.