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足球、篮球、排球、乒乓球等都是同学们喜爱的运动项目，可你们知道吗，球在运动中的某一过程形成的轨迹就是抛物线.利用我们学习的二次函数知识了解并认识其中的科学道理，将有助于我们对球类运动更深入的了解，从而科学地指导我们进行这方面的运动，提高运动成绩.
例1 一场篮球赛中，球员甲跳起投篮，如图1（1），已知球在A处出手时离地面 m，与篮筐中心C的水平距离是7 m，当球运行的水平距离是4 m时，达到最大高度4 m（B处），设篮球运行的路线为抛物线.篮筐距地面3 m.
（1） 问此球能否投中？
（2） 此时对方球员乙前来盖帽，已知乙跳起后摸到的最大高度为3.19 m，他如何做才能盖帽成功？
【分析】（1） 解答此题的关键是建立平面直角坐标系，用待定系数法确定二次函数的关系式，然后依据点（篮筐）的坐标是否满足函数关系式，从而判断球是否投中.（2） 由于对方球员乙跳起后摸到的最大高度为3.19 m，所以须确定此时乙离甲的距离s，在抛物线上升过程中，乙在离甲的距离小于s状况前来盖帽，则盖帽成功；在抛物线下降过程中，依据篮球比赛规则，不容许盖帽，否则无效，算对方投篮成功.
解：（1） 首先建立坐标系，如图1（2），由题意得A0， ，顶点B（4，4），设抛物线的解析式为y=a（x-4）2 4，∴ =a（0-4）2 4.解得：a=- .∴y=- （x-4）2 4.当x=7时，y=3.∴球能准确投中.
（2） 由（1）求得的函数解析式，当y=3.19时，3.19=- （x-4）2 4，解得：x1=6.7，x2=1.3.当x1=6.7时，球已过最高点开始下落，依据篮球规则，要想盖帽，必须在篮球下降前盖帽，否则无效，所以该舍去，
∴当球员乙与球员甲的距离小于1.3米时即可盖帽成功.
例2 （2015·湖北随州）如图2，某足球运动员站在点O处练习射门，将足球从离地面0.5 m的A处正对球门踢出（点A在y轴上），足球的飞行高度y（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间满足函数关系y=at2 5t c，已知足球飞行0.8 s时，离地面的高度为3.5 m.
（1）足球飞行的时间是多少时，足球离地面最高？最大高度是多少？
（2）若足球飞行的水平距离x（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系x=10t，已知球门的高度为2.44 m，如果该运动员正对球门射门时，离球门的水平距离为28 m，他能否将球直接射入球门？
【分析】（1） 将实际问题转化为数学问题，由题意得：函数y=at2 5t c的图像经过点A（0，0.5）和点（0.8，3.5），这样便可求出抛物线的解析式.足球离地面的最高点就是抛物线的顶点，所以求出抛物线的顶点坐标即可.
（2） 由于运动员离球门的水平距离为28 m，因此当抛物线解析式中取横坐标28时，其纵坐标只要在0～2.44之间，他就能将球直接射入球门.
解：（1） 由题意得：函数y=at2 5t c的图像经过点（0，0.5）和点（0.8，3.5），
∴0.5=c，3.5=0.82a 5×0.8 c，解得：a=- ，c= ，
∴抛物线的解析式为：y=- t2 5t ，
∴当t= 时，y最大=4.5；
（2） 把x=28代入x=10t，得t=2.8，
∴当t=2.8时，y=- ×2.82 5×2.8 =2.25<2.44，
∴他能将球直接射入球门.
例3 （2014·甘肃天水）如图3，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2 m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）满足关系式y=a（x-6）2 h.已知球网与O点的水平距离为9 m，高度为2.43 m，球场的边界距O点的水平距离为18 m.
（1） 当h=2.6时，求y与x的关系式.（不要求写出自变量x的取值范围）
（2） 当h=2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由.
（3） 若球一定能越过球网，又不出边界，求h的取值范围.
【分析】（1） 利用h=2.6，将点（0，2）代入解析式求出即可.
（2） 利用h=2.6，当x=9时，y=- （9-6）2 2.6=2.45与球网高度比较；当y=0时，解出x值与球场的边界距离比较，即可得出结论.
（3） 根据球经过点（0，2），得到a与h的关系式.由x=9时，球一定能越过球网得到y>2.43；由x=18时，球不出边界得到y≤0.分别得出h的取值范围，即可得出答案.
解：（1） 把x=0，y=2及h=2.6代入到y=a（x-6）2 h，即2=a（0-6）2 2.6，∴a=- .
∴当h=2.6时，y与x的关系式为y=- （x-6）2 2.6.
（2） 当h=2.6时，y=- （x-6）2 2.6，
∵当x=9时，y=- （9-6）2 2.6=2.45>2.43， ∴球能越过网.
∵当y=0时，即- （x-6）2 2.6=0，解得x1=6 2 >18，x2=6-2 （舍去），
∴球会过界.
（3） 把x=0，y=2代入到y=a（x-6）2 h得a= .
当x=9时，y= （9-6）2 h= >2.43，①
当x=18时，y= （18-6）2 h=8-3h≤0， ②
由① ②解得h≥ .
∴若球一定能越过球网，又不出边界， h的取值范围为h≥ .
【反思】利用二次函数解决实物抛物线形问题时，要把实际问题中的已知条件转化为点的坐标，代入解析式求解，最后根据求解的结果转化为实际问题的答案.
【感悟】数学来源于生活，通过构建数学模型，将实际问题转化为数学问题，用我们掌握的数学知识，解答数学问题，从而解决实际问题.加强这方面的训练不仅能培养同学们的应用数学能力，而且能培养同学们的灵活解题能力，为未来奠定扎实的基础.
小试身手
1. 2013年5月26日，中国羽毛球队蝉联苏迪曼杯团体赛冠军，成就了首个五连冠霸业. 比赛中羽毛球的某次运动路线可以看作是一条抛物线（如图4）.若不考虑外力因素，羽毛球行进高度y（米）与水平距离x（米）之间满足关系y=- x2 x ，则羽毛球飞出的水平距离为________米.
2. 如图5，足球场上守门员在O处开出一高球，球从离地面1米的A处飞出（A在y轴上），运动员乙在距O点6米的B处发现球在自己头的正上方达到最高点M，距地面约4米高，球落地后又一次弹起.据实验测算，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半.
（1） 求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式.
（2） 足球第一次落地点C距守门员多少米？（取4 =7）
（3） 运动员乙要抢到第二个落地点D，他应再向前跑多少米？（取2 =5）
答案：
1. 5
2. （1） y=- （x-6）2 4（或y=- x2 x 1） （2） 13米 （3） 17米
（作者单位：江苏省泗阳县教育局教研室）
例1 一场篮球赛中，球员甲跳起投篮，如图1（1），已知球在A处出手时离地面 m，与篮筐中心C的水平距离是7 m，当球运行的水平距离是4 m时，达到最大高度4 m（B处），设篮球运行的路线为抛物线.篮筐距地面3 m.
（1） 问此球能否投中？
（2） 此时对方球员乙前来盖帽，已知乙跳起后摸到的最大高度为3.19 m，他如何做才能盖帽成功？
【分析】（1） 解答此题的关键是建立平面直角坐标系，用待定系数法确定二次函数的关系式，然后依据点（篮筐）的坐标是否满足函数关系式，从而判断球是否投中.（2） 由于对方球员乙跳起后摸到的最大高度为3.19 m，所以须确定此时乙离甲的距离s，在抛物线上升过程中，乙在离甲的距离小于s状况前来盖帽，则盖帽成功；在抛物线下降过程中，依据篮球比赛规则，不容许盖帽，否则无效，算对方投篮成功.
解：（1） 首先建立坐标系，如图1（2），由题意得A0， ，顶点B（4，4），设抛物线的解析式为y=a（x-4）2 4，∴ =a（0-4）2 4.解得：a=- .∴y=- （x-4）2 4.当x=7时，y=3.∴球能准确投中.
（2） 由（1）求得的函数解析式，当y=3.19时，3.19=- （x-4）2 4，解得：x1=6.7，x2=1.3.当x1=6.7时，球已过最高点开始下落，依据篮球规则，要想盖帽，必须在篮球下降前盖帽，否则无效，所以该舍去，
∴当球员乙与球员甲的距离小于1.3米时即可盖帽成功.
例2 （2015·湖北随州）如图2，某足球运动员站在点O处练习射门，将足球从离地面0.5 m的A处正对球门踢出（点A在y轴上），足球的飞行高度y（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间满足函数关系y=at2 5t c，已知足球飞行0.8 s时，离地面的高度为3.5 m.
（1）足球飞行的时间是多少时，足球离地面最高？最大高度是多少？
（2）若足球飞行的水平距离x（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系x=10t，已知球门的高度为2.44 m，如果该运动员正对球门射门时，离球门的水平距离为28 m，他能否将球直接射入球门？
【分析】（1） 将实际问题转化为数学问题，由题意得：函数y=at2 5t c的图像经过点A（0，0.5）和点（0.8，3.5），这样便可求出抛物线的解析式.足球离地面的最高点就是抛物线的顶点，所以求出抛物线的顶点坐标即可.
（2） 由于运动员离球门的水平距离为28 m，因此当抛物线解析式中取横坐标28时，其纵坐标只要在0～2.44之间，他就能将球直接射入球门.
解：（1） 由题意得：函数y=at2 5t c的图像经过点（0，0.5）和点（0.8，3.5），
∴0.5=c，3.5=0.82a 5×0.8 c，解得：a=- ，c= ，
∴抛物线的解析式为：y=- t2 5t ，
∴当t= 时，y最大=4.5；
（2） 把x=28代入x=10t，得t=2.8，
∴当t=2.8时，y=- ×2.82 5×2.8 =2.25<2.44，
∴他能将球直接射入球门.
例3 （2014·甘肃天水）如图3，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2 m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）满足关系式y=a（x-6）2 h.已知球网与O点的水平距离为9 m，高度为2.43 m，球场的边界距O点的水平距离为18 m.
（1） 当h=2.6时，求y与x的关系式.（不要求写出自变量x的取值范围）
（2） 当h=2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由.
（3） 若球一定能越过球网，又不出边界，求h的取值范围.
【分析】（1） 利用h=2.6，将点（0，2）代入解析式求出即可.
（2） 利用h=2.6，当x=9时，y=- （9-6）2 2.6=2.45与球网高度比较；当y=0时，解出x值与球场的边界距离比较，即可得出结论.
（3） 根据球经过点（0，2），得到a与h的关系式.由x=9时，球一定能越过球网得到y>2.43；由x=18时，球不出边界得到y≤0.分别得出h的取值范围，即可得出答案.
解：（1） 把x=0，y=2及h=2.6代入到y=a（x-6）2 h，即2=a（0-6）2 2.6，∴a=- .
∴当h=2.6时，y与x的关系式为y=- （x-6）2 2.6.
（2） 当h=2.6时，y=- （x-6）2 2.6，
∵当x=9时，y=- （9-6）2 2.6=2.45>2.43， ∴球能越过网.
∵当y=0时，即- （x-6）2 2.6=0，解得x1=6 2 >18，x2=6-2 （舍去），
∴球会过界.
（3） 把x=0，y=2代入到y=a（x-6）2 h得a= .
当x=9时，y= （9-6）2 h= >2.43，①
当x=18时，y= （18-6）2 h=8-3h≤0， ②
由① ②解得h≥ .
∴若球一定能越过球网，又不出边界， h的取值范围为h≥ .
【反思】利用二次函数解决实物抛物线形问题时，要把实际问题中的已知条件转化为点的坐标，代入解析式求解，最后根据求解的结果转化为实际问题的答案.
【感悟】数学来源于生活，通过构建数学模型，将实际问题转化为数学问题，用我们掌握的数学知识，解答数学问题，从而解决实际问题.加强这方面的训练不仅能培养同学们的应用数学能力，而且能培养同学们的灵活解题能力，为未来奠定扎实的基础.
小试身手
1. 2013年5月26日，中国羽毛球队蝉联苏迪曼杯团体赛冠军，成就了首个五连冠霸业. 比赛中羽毛球的某次运动路线可以看作是一条抛物线（如图4）.若不考虑外力因素，羽毛球行进高度y（米）与水平距离x（米）之间满足关系y=- x2 x ，则羽毛球飞出的水平距离为________米.
2. 如图5，足球场上守门员在O处开出一高球，球从离地面1米的A处飞出（A在y轴上），运动员乙在距O点6米的B处发现球在自己头的正上方达到最高点M，距地面约4米高，球落地后又一次弹起.据实验测算，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半.
（1） 求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式.
（2） 足球第一次落地点C距守门员多少米？（取4 =7）
（3） 运动员乙要抢到第二个落地点D，他应再向前跑多少米？（取2 =5）
答案：
1. 5
2. （1） y=- （x-6）2 4（或y=- x2 x 1） （2） 13米 （3） 17米
（作者单位：江苏省泗阳县教育局教研室）