论文部分内容阅读
【摘 要】“钉子板上的多边形”一课的教学往往都是以数据为载体，课堂始终停留于低水平的操作、观察等层面，且实验探究的过程与结果都缺少科学性。因此，教师在数学实验教学中要强化“四个抓手”，即“价值体悟”“精选材料”“上位引领”“感悟方法”，以切实提高实验教学的有效性。
【关键词】数学实验 四个抓手 有效性
数学实验因其可以激活学生思维，使思维通过操作外显，又能让学生在“做中学”，激发学生的学习兴趣，成为学生学习数学的有效方式。数学实验教学，以实验探究为手段，承载着学生获取知识、积累经验、发展能力、学会思考等众多目标。如何挖掘与重组教材，让目标得到一一落实，切实提高数学实验教学的有效性，是值得我们深思的问题。
一、缘起
去年秋，笔者参加区实验联盟学校的教研活动，活动内容是同课异构苏教版五年级上册“钉子板上的多边形”。几位教师的教学流程基本相同，都是先组织学生用计算法、数格法得到点子图中几个多边形的面积，并引导发现“多边形的面积与边上钉子数有关”，初步得出结论；然后在对结论的验证中，发现“多边形的面积还与内部钉子数有关”，得出内部钉子数为2的面积表达式；接着分组研究多边形内部钉子数为3、4……的情况，分别得出几个面积表达式，并抽象出一个统一的表达式，即皮克公式；最后引导学生简略回顾探究过程，总结经验。
如此教学，就会使实验过程与结论都只能以数据为载体，始终停留于低水平的操作层面。如何让新知在本源处自然发生、生长？如何用上位知识解释规律，把握知识本质，发展学生能力？
基于以上的思考和认知，我们以该课教学内容为载体，开展了以“切实提高数学实验教学的有效性”为主题的微课题研究，试图列举出该课教学中容易发生的问题，分析问题产生的原因，并提出解决问题的办法，以提高数学实验教学的有效性。
二、解读
（一）从教学内容分析
这是一节探索规律的课，其教学重点不仅是找到规律本身，而且还要注重学生找规律的过程。教学中通过猜想、举例、验证、归纳、抽象等一系列数学活动，发现与总结规律，流程符合常规。但是从理论角度分析，其探索过程与结果都有不科学的地方。过程不科学表现在，格点与面积的关系是用不完全归纳法发现的，而规律具有“期间限制”，也就是说用不完全归纳法发现的规律未必为真。结果不科学表现在，皮克公式“s= m n÷2-1”表示的意思是多边形的面积等于内部钉子数加边上钉子数除以2的商，再减1，不同单位间的数值（平方厘米与枚数）是怎么相等的？缺少了钉子与格子（即面积）对应过程的感悟，以致对结果缺乏本质理解。
怎样既能照顾学生接受程度，又不犯科学性错误呢？严育洪老师指出：如果让格点之间的间隔越来越小，也就是使离散的格点连续化，也就是面积单位越来越小，也就是“微分”，则利用皮克公式可以求出一般多边形的面积。
当用一“点”代表一“格”时，皮克公式可以从画图的方法中得到验证。例如，将正方形（如右图）边上、角上、内部的9个点看作9个圆。多边形边上的圆面积只有一半属于这个多边形，多边形角上的圆面积只有四分之一属于这个多边形，多边形内部的圆面积全部属于多边形。8÷2默认多边形边上与角上每两个圆合并成一个整圆，实际情况是角上4个圆合起来只有1个圆属于这个多边形，多算了一个圆，所以减1，即s=m n÷2-1=1 8÷2-1=4。
实际上，多边形边上钉子数与面积的关系也可以借助内角和与外角和的知识验证。例如，设多边形是n边形（就有n个顶点），它的内角和是（n-2）×180°。图中（如右图）只有黑色区域属于多边形，众多黑色区域合并成一个个圆，就得到（n-2）×180°÷360°，即（n÷2-1）个圆。或者将多边形所有角的任意一边延长，与另一条边的夹角是外角，这些角上的所有圆中的外角部分（灰色区域）计算面积时多算了，要减去。因為多边形的外角和是360°，所以正好减去一个整圆。（注：苏教版教材将圆的知识安排在五年级下册，这里虽然用到“圆”，但是只涉及直角、平角、周角等知识，与圆面积的计算无关，不影响整节课的教学）
用画图的方法验证规律具有特殊性，而有了多边形内角和、外角和知识的支撑，就能使验证从具体到抽象，从特殊走向一般。
以上对皮克定理进行验证、解释，除了能培养学生严谨、追本溯源的数学精神，还可以使学生更好地理解“不同单位间的数值（平方厘米与枚数）是怎么相等的”这一问题——因为“微分”使钉子与格子（即面积）产生了对应关系。
（二）从编排意图分析
在学习该课前，学生已经掌握了用割补法、数格法以及平面图形的面积公式求多边形的面积。在学了众多方法之后，教材还编排这部分内容，其意图并不是让学生多掌握一种求面积的方法，而是要在矛盾冲突中凸显新知识的学习价值。数学的教与学不是为了形成某个数学概念或记住某种法则，而是让学生在数学活动中积累探索规律的经验。更为重要的是，教学的最终目标要落脚于方法的习得、思维的拓展、能力的提高。因此，教师要重视总结，让学生积累探究的经验，提升思想。
三、重建
通过对教学内容及编排意图的分析，笔者认为，在实验教学的“提出问题”环节要注意价值体悟，促主动学习；在“提出猜想”环节要精选材料，促合理猜想；在“举例验证”环节要上位引领，促本质理解；在“总结反思”环节要感悟方法，促经验积累。
（一）价值体悟，促主动学习
【教学场景1】问题引发思考
出示：
师：钉子板上有一个三角形，你能说出它的面积吗？（不能）
师：以前，奥地利有一个叫皮克的年轻人发现了一个公式，用来计算钉子板上多边形的面积可方便了。这个神奇的公式，是老师告诉你们，还是你们自己研究？
生：我们自己研究。
好奇是学习、探索的最大动力。由于三角形在钉子板上摆放位置特殊，使得学生积累、掌握的知识与经验失去了用武之地。皮克发现的公式能方便地解决眼前的难题，从而在矛盾冲突中初步凸显皮克公式的学习价值，激起学生探究的兴趣，促使学生积极主动地投入学习。 在巩固练习环节，教师可出示以下计算平面图形面积的练习。
第一个三角形可以用面积计算公式求出面积，也可以用皮克公式来求；第二个三角形一般用皮克公式求面积；第三个三角形只能用面积计算公式求面积。这样的练习，进一步凸显了皮克公式的价值，又让学生认识到新知识也是有局限性的，使学生感受到数学知识、解题方法本身没有优劣之分，只不过各自的适用范围、环境不同而已，促使学生用新的眼光来审视数学、思考数学。
（二）精选材料，促合理猜想
【教学场景2】从猜想开始
出示：
师：观察上图，你认为多边形面积与什么有关？有什么根据？
生：边上的钉子数越多，面积越大，说明面积与边上的钉子数有关。
出示：
生：内部的钉子数越多，面积越大，说明面积与内部的钉子数有关。
小结：钉子板上的多边形的面积不仅与边上的钉子数有关，而且与内部的钉子数有关。
上述环节中，在不改变三角形边上钉子数的前提下，把底边中心往下分别拉1格、2格成为四边形，直观地看出多边形面积还与多边形内部的钉子数有关。合理的素材选择，有利于学生在直观观察中进行问题聚焦，在对比中作出合理、适时的猜想。
（三）上位引领，促本质理解
【教学场景3】开启探究之旅
师：钉子板上的多边形的面积与边上的钉子数、内部的钉子数有什么关系？大家打算怎么研究？
学生思考、交流，统一意见：从简单的入手，先研究内部的钉子数为1时的情况。（出示教材第108页图）学生数出图中4个多边形的钉子数，运用面积公式算出各个图形的面积，并填写书中表格，再与同学交流自己的发现。
小结：内部的钉子数是1时，多边形的面积等于边上的钉子数除以2。如果用字母a、s、n分别表示内部的钉子数、多边形的面积、边上的钉子数，三者之间的关系可表示为：a=1时，s=n÷2。
师：下面该研究什么？（a=2时的情况）用刚才的方法继续去发现！
学生自主研究，并得出a=2时，s=n÷2 1。
接着，学生自主研究a=3，a=4……时的情况，分别得出几个面积表达式，并在教师引导下抽象出皮克公式：s=m n÷2-1。
师：刚才，我们是怎样得到皮克定理的？（生回答略）
师：这种研究方法叫“不完全归纳法”，是数学实验常用方法之一。除了举例验证，还有方法验证皮克定理，想知道吗？（生：想！）
师：如果把“钉子”放大就变成一个个“圆”。（出示下图）
师：看，正方形4个角上的圆是否都属于这个正方形？
生1：不是。角上的圆只有四分之一属于这个正方形。
生2：我发现角上的圆属于这个正方形的部分（即黑色区域）合起来正好1个整圆。（动画演示）
师：这张图呢？（出示下图）
生：边上的圆只有一半属于这个正方形，角上的圆只有四分之一属于这个正方形，内部的圆全部属于正方形。
生：我发现边上、角上、内部的圆属于这个正方形的部分（即黑色区域）合起来正好是4个整圆。（动画演示）
生：我还发现正方形的面积与整圆的个数是相等的。
师：你的发现很有价值！虽然面积与圆的个数的单位不同，但数值却相等。因此，计算钉子板上多边形的面积就可以转化成求整圆的个数，即钉子数。
师：其他图形也可以用画图法验证吗？大家试试看。（学生活动，再次用画图法验证皮克公式）
教师组织学生汇报，其中有不少学生在点子图上画出了三角形、平行四边形以及其他不规则的图形。这时，教师可相机抛出用多边形内角和、外角和知识验证皮克公式的方法，并布置课后研究任务。
師：实际上，除了用举例法、画图法验证皮克定理，还可以用多边形内角和、外角和知识去验证。有兴趣从一个全新的角度再去研究吗？
生（众）：有！
师：课后分小组研究，把研究的过程与结果写成一份报告。
为了兼顾小学生的知识基础和知识教学科学性原则，该课教学可以再向前进一步，即引导学生用已有的知识来解释规律，以发展学生的数学思考力，培养学生追本溯源的数学精神。上述教学过程，在用不完全归纳法得出皮克公式之后，学生用画图法进行验证。其一，使教学从低水平的操作层面，上升到以形释数、有一定数学思考的较高水平的思维层面，让知识教学更严谨、更科学；其二，使学生在活动中发现“面积”与“钉子数”的对应关系，达到对知识本质的理解。但是，受教学目标、教学时间、学生差异等因素的影响，验证并探寻皮克公式背后的原理可以采取“延时研究 长作业”的形式，在适当时机开展探究原理的活动，用开放的时间、空间，让数学实验更加丰富，更加深刻。
（四）感悟方法，促经验积累
【教学场景4】回顾实验历程
师：今天我们一起研究了钉子板上多边形面积与钉子数之间的关系。回顾一下，我们是怎样一步步找到规律的。（生发言略）
小结：在研究的过程中，我们从简单入手，通过画图、观察、收集、比较、猜想、验证等活动，发现了规律。这就是找规律的过程。
课尾的总结，有研究方法的总结——先简单后复杂，向学生渗透“天下难事，必作于易”的思想；有研究策略的总结——画图、列举、列表等，多种策略参与规律探究的全过程，培养学生运用知识解决问题的能力；有实验程序的总结——提出问题、收集数据、作出猜想、验证猜想、总结反思，引导学生再次回顾实验历程，积累探索规律的经验，提升思想，发展能力。
综上所述，数学实验对培养学生的自主学习能力，发展学生的思维，具有重要的作用。所以，在实验教学中要强化“四个抓手”，即“价值体悟”“精选材料”“上位引领”“感悟方法”，以切实提高实验教学的有效性，让学生在实验中获取知识、积累经验、发展能力，成为学习的主人。
（江苏省扬州市邗江区运西小学 225128）
【关键词】数学实验 四个抓手 有效性
数学实验因其可以激活学生思维，使思维通过操作外显，又能让学生在“做中学”，激发学生的学习兴趣，成为学生学习数学的有效方式。数学实验教学，以实验探究为手段，承载着学生获取知识、积累经验、发展能力、学会思考等众多目标。如何挖掘与重组教材，让目标得到一一落实，切实提高数学实验教学的有效性，是值得我们深思的问题。
一、缘起
去年秋，笔者参加区实验联盟学校的教研活动，活动内容是同课异构苏教版五年级上册“钉子板上的多边形”。几位教师的教学流程基本相同，都是先组织学生用计算法、数格法得到点子图中几个多边形的面积，并引导发现“多边形的面积与边上钉子数有关”，初步得出结论；然后在对结论的验证中，发现“多边形的面积还与内部钉子数有关”，得出内部钉子数为2的面积表达式；接着分组研究多边形内部钉子数为3、4……的情况，分别得出几个面积表达式，并抽象出一个统一的表达式，即皮克公式；最后引导学生简略回顾探究过程，总结经验。
如此教学，就会使实验过程与结论都只能以数据为载体，始终停留于低水平的操作层面。如何让新知在本源处自然发生、生长？如何用上位知识解释规律，把握知识本质，发展学生能力？
基于以上的思考和认知，我们以该课教学内容为载体，开展了以“切实提高数学实验教学的有效性”为主题的微课题研究，试图列举出该课教学中容易发生的问题，分析问题产生的原因，并提出解决问题的办法，以提高数学实验教学的有效性。
二、解读
（一）从教学内容分析
这是一节探索规律的课，其教学重点不仅是找到规律本身，而且还要注重学生找规律的过程。教学中通过猜想、举例、验证、归纳、抽象等一系列数学活动，发现与总结规律，流程符合常规。但是从理论角度分析，其探索过程与结果都有不科学的地方。过程不科学表现在，格点与面积的关系是用不完全归纳法发现的，而规律具有“期间限制”，也就是说用不完全归纳法发现的规律未必为真。结果不科学表现在，皮克公式“s= m n÷2-1”表示的意思是多边形的面积等于内部钉子数加边上钉子数除以2的商，再减1，不同单位间的数值（平方厘米与枚数）是怎么相等的？缺少了钉子与格子（即面积）对应过程的感悟，以致对结果缺乏本质理解。
怎样既能照顾学生接受程度，又不犯科学性错误呢？严育洪老师指出：如果让格点之间的间隔越来越小，也就是使离散的格点连续化，也就是面积单位越来越小，也就是“微分”，则利用皮克公式可以求出一般多边形的面积。
当用一“点”代表一“格”时，皮克公式可以从画图的方法中得到验证。例如，将正方形（如右图）边上、角上、内部的9个点看作9个圆。多边形边上的圆面积只有一半属于这个多边形，多边形角上的圆面积只有四分之一属于这个多边形，多边形内部的圆面积全部属于多边形。8÷2默认多边形边上与角上每两个圆合并成一个整圆，实际情况是角上4个圆合起来只有1个圆属于这个多边形，多算了一个圆，所以减1，即s=m n÷2-1=1 8÷2-1=4。
实际上，多边形边上钉子数与面积的关系也可以借助内角和与外角和的知识验证。例如，设多边形是n边形（就有n个顶点），它的内角和是（n-2）×180°。图中（如右图）只有黑色区域属于多边形，众多黑色区域合并成一个个圆，就得到（n-2）×180°÷360°，即（n÷2-1）个圆。或者将多边形所有角的任意一边延长，与另一条边的夹角是外角，这些角上的所有圆中的外角部分（灰色区域）计算面积时多算了，要减去。因為多边形的外角和是360°，所以正好减去一个整圆。（注：苏教版教材将圆的知识安排在五年级下册，这里虽然用到“圆”，但是只涉及直角、平角、周角等知识，与圆面积的计算无关，不影响整节课的教学）
用画图的方法验证规律具有特殊性，而有了多边形内角和、外角和知识的支撑，就能使验证从具体到抽象，从特殊走向一般。
以上对皮克定理进行验证、解释，除了能培养学生严谨、追本溯源的数学精神，还可以使学生更好地理解“不同单位间的数值（平方厘米与枚数）是怎么相等的”这一问题——因为“微分”使钉子与格子（即面积）产生了对应关系。
（二）从编排意图分析
在学习该课前，学生已经掌握了用割补法、数格法以及平面图形的面积公式求多边形的面积。在学了众多方法之后，教材还编排这部分内容，其意图并不是让学生多掌握一种求面积的方法，而是要在矛盾冲突中凸显新知识的学习价值。数学的教与学不是为了形成某个数学概念或记住某种法则，而是让学生在数学活动中积累探索规律的经验。更为重要的是，教学的最终目标要落脚于方法的习得、思维的拓展、能力的提高。因此，教师要重视总结，让学生积累探究的经验，提升思想。
三、重建
通过对教学内容及编排意图的分析，笔者认为，在实验教学的“提出问题”环节要注意价值体悟，促主动学习；在“提出猜想”环节要精选材料，促合理猜想；在“举例验证”环节要上位引领，促本质理解；在“总结反思”环节要感悟方法，促经验积累。
（一）价值体悟，促主动学习
【教学场景1】问题引发思考
出示：
师：钉子板上有一个三角形，你能说出它的面积吗？（不能）
师：以前，奥地利有一个叫皮克的年轻人发现了一个公式，用来计算钉子板上多边形的面积可方便了。这个神奇的公式，是老师告诉你们，还是你们自己研究？
生：我们自己研究。
好奇是学习、探索的最大动力。由于三角形在钉子板上摆放位置特殊，使得学生积累、掌握的知识与经验失去了用武之地。皮克发现的公式能方便地解决眼前的难题，从而在矛盾冲突中初步凸显皮克公式的学习价值，激起学生探究的兴趣，促使学生积极主动地投入学习。 在巩固练习环节，教师可出示以下计算平面图形面积的练习。
第一个三角形可以用面积计算公式求出面积，也可以用皮克公式来求；第二个三角形一般用皮克公式求面积；第三个三角形只能用面积计算公式求面积。这样的练习，进一步凸显了皮克公式的价值，又让学生认识到新知识也是有局限性的，使学生感受到数学知识、解题方法本身没有优劣之分，只不过各自的适用范围、环境不同而已，促使学生用新的眼光来审视数学、思考数学。
（二）精选材料，促合理猜想
【教学场景2】从猜想开始
出示：
师：观察上图，你认为多边形面积与什么有关？有什么根据？
生：边上的钉子数越多，面积越大，说明面积与边上的钉子数有关。
出示：
生：内部的钉子数越多，面积越大，说明面积与内部的钉子数有关。
小结：钉子板上的多边形的面积不仅与边上的钉子数有关，而且与内部的钉子数有关。
上述环节中，在不改变三角形边上钉子数的前提下，把底边中心往下分别拉1格、2格成为四边形，直观地看出多边形面积还与多边形内部的钉子数有关。合理的素材选择，有利于学生在直观观察中进行问题聚焦，在对比中作出合理、适时的猜想。
（三）上位引领，促本质理解
【教学场景3】开启探究之旅
师：钉子板上的多边形的面积与边上的钉子数、内部的钉子数有什么关系？大家打算怎么研究？
学生思考、交流，统一意见：从简单的入手，先研究内部的钉子数为1时的情况。（出示教材第108页图）学生数出图中4个多边形的钉子数，运用面积公式算出各个图形的面积，并填写书中表格，再与同学交流自己的发现。
小结：内部的钉子数是1时，多边形的面积等于边上的钉子数除以2。如果用字母a、s、n分别表示内部的钉子数、多边形的面积、边上的钉子数，三者之间的关系可表示为：a=1时，s=n÷2。
师：下面该研究什么？（a=2时的情况）用刚才的方法继续去发现！
学生自主研究，并得出a=2时，s=n÷2 1。
接着，学生自主研究a=3，a=4……时的情况，分别得出几个面积表达式，并在教师引导下抽象出皮克公式：s=m n÷2-1。
师：刚才，我们是怎样得到皮克定理的？（生回答略）
师：这种研究方法叫“不完全归纳法”，是数学实验常用方法之一。除了举例验证，还有方法验证皮克定理，想知道吗？（生：想！）
师：如果把“钉子”放大就变成一个个“圆”。（出示下图）
师：看，正方形4个角上的圆是否都属于这个正方形？
生1：不是。角上的圆只有四分之一属于这个正方形。
生2：我发现角上的圆属于这个正方形的部分（即黑色区域）合起来正好1个整圆。（动画演示）
师：这张图呢？（出示下图）
生：边上的圆只有一半属于这个正方形，角上的圆只有四分之一属于这个正方形，内部的圆全部属于正方形。
生：我发现边上、角上、内部的圆属于这个正方形的部分（即黑色区域）合起来正好是4个整圆。（动画演示）
生：我还发现正方形的面积与整圆的个数是相等的。
师：你的发现很有价值！虽然面积与圆的个数的单位不同，但数值却相等。因此，计算钉子板上多边形的面积就可以转化成求整圆的个数，即钉子数。
师：其他图形也可以用画图法验证吗？大家试试看。（学生活动，再次用画图法验证皮克公式）
教师组织学生汇报，其中有不少学生在点子图上画出了三角形、平行四边形以及其他不规则的图形。这时，教师可相机抛出用多边形内角和、外角和知识验证皮克公式的方法，并布置课后研究任务。
師：实际上，除了用举例法、画图法验证皮克定理，还可以用多边形内角和、外角和知识去验证。有兴趣从一个全新的角度再去研究吗？
生（众）：有！
师：课后分小组研究，把研究的过程与结果写成一份报告。
为了兼顾小学生的知识基础和知识教学科学性原则，该课教学可以再向前进一步，即引导学生用已有的知识来解释规律，以发展学生的数学思考力，培养学生追本溯源的数学精神。上述教学过程，在用不完全归纳法得出皮克公式之后，学生用画图法进行验证。其一，使教学从低水平的操作层面，上升到以形释数、有一定数学思考的较高水平的思维层面，让知识教学更严谨、更科学；其二，使学生在活动中发现“面积”与“钉子数”的对应关系，达到对知识本质的理解。但是，受教学目标、教学时间、学生差异等因素的影响，验证并探寻皮克公式背后的原理可以采取“延时研究 长作业”的形式，在适当时机开展探究原理的活动，用开放的时间、空间，让数学实验更加丰富，更加深刻。
（四）感悟方法，促经验积累
【教学场景4】回顾实验历程
师：今天我们一起研究了钉子板上多边形面积与钉子数之间的关系。回顾一下，我们是怎样一步步找到规律的。（生发言略）
小结：在研究的过程中，我们从简单入手，通过画图、观察、收集、比较、猜想、验证等活动，发现了规律。这就是找规律的过程。
课尾的总结，有研究方法的总结——先简单后复杂，向学生渗透“天下难事，必作于易”的思想；有研究策略的总结——画图、列举、列表等，多种策略参与规律探究的全过程，培养学生运用知识解决问题的能力；有实验程序的总结——提出问题、收集数据、作出猜想、验证猜想、总结反思，引导学生再次回顾实验历程，积累探索规律的经验，提升思想，发展能力。
综上所述，数学实验对培养学生的自主学习能力，发展学生的思维，具有重要的作用。所以，在实验教学中要强化“四个抓手”，即“价值体悟”“精选材料”“上位引领”“感悟方法”，以切实提高实验教学的有效性，让学生在实验中获取知识、积累经验、发展能力，成为学习的主人。
（江苏省扬州市邗江区运西小学 225128）