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新课程背景下小学数学总复习是对学生第一、二学段数学学习的一个整理、总结与提高，其目的主要在于进一步落实知识与技能、过程与方法以及情感、态度、价值观等三个维度的目标，培养学生良好的思维品质，提高学生的可持续发展能力。在进行小学数学总复习时，教师应该做到明确要求，理清线索，凸显思想，科学训练，关注衔接。
一、明确要求
教师在进行小学数学总复习时，除了要关注课程标准关于第一、二学段数学教育的整体目标外，作为现实要求，我们特别提出，教师应关注课程标准及课标版教材与原义务教育教学大纲及相应教材在一些具体内容上的不同要求。例如，课程标准及课标版教材对“数的整除”这个内容的要求就明显低于原大纲及相应教材。1999年修订的教学大纲关于这部分内容的教学要求是：“掌握整除、约数和倍数、质数和合数等概念，知道它们之间的联系和区别。掌握能被2、3、5整除的数的特征。会分解质因数(一般不超过两位数)。会求最大公约数(限两个数的)和最小公倍数。”而课程标准关于这一部分内容的教学要求是：“在1～100的自然数中，能找出10以内某个自然数的所有倍数，并知道2、3、5的倍数的特征，能找出10以内两个自然数的公倍数和最小公倍数。在1～100的自然数中，能找出某个自然数的所有因数，能找出两个自然数的公因数和最大公因数。知道整数、奇数、偶数、质数、合数。”另外，课程标准及课标版教材在数学思考、解决问题方面的要求比大纲及相应的教材都要高。同时，概率、图形的运动与变换、确定位置等内容都是原来大纲版教材所不涉及的。
事实上，由于大多数教师没有组织新课程背景下小学数学总复习工作的经验，因而，提出要明确要求、不随意拔高要求，具有非常重要的现实意义。笔者认为，再一次重读课程标准和课标版教材，并与大纲和大纲教材作一些比较，把自己原有的关于总复习中的“重点、难点”和“目标要求”等方面的经验加以梳理重新认识，以明确复习要求，做到有针对性地复习，是做好新课程背景下小学数学复习工作首先要做的功课。
二、理清线索
总复习提供的是学生进行复习的基本线索，这些线索包括梳理知识的线索和进行数学活动的线索。教学时，要引导学生按照知识发生、发展的脉络和知识之间的纵横联系来梳理知识，并为学生创设适当的学习情境，让他们在具体的情境中综合地、创造性地应用所学的知识、方法和策略来解决问题。
以“空间与图形”领域为例。空间与图形部分主要涉及一些基本的几何概念，基本的计算（周长、面积、体积和角度等）以及几何对象的运动与变换。具体从几何概念方面来看，小学阶段主要涉及点、线、面、体的基本知识。教师可以用“点动成线、线动成面、面动成体”的观点来理一理这些概念之间的线索：点沿两个相反方向无限运动即成为直线，点朝一个方向无限运动即成射线，点朝一个方向有限运动即成线段，点绕另一点旋转一周即得圆（曲线）；一个长方形绕一条边旋转一周即得圆柱体，一个直角三角形绕一条直角边旋转一周即得圆锥，一个长方形朝一定方向平行移动即得长方体，一个圆朝一定方向平行移动即得圆柱，等等。
在理清知识间线索的基础上，学生就能建立起该部分知识的基本结构，他们对知识的理解就会更加深刻。在复习时，教师应通过表格、韦恩图等方式向学生揭示这种结构，并努力将教材知识结构转化成学生的认知结构。
三、凸显思想
所谓凸显思想，就是在组织复习的过程中，要特别注重渗透基本的数学思想方法。数学思想是数学知识内容的精髓，是对数学的本质认识，是从某些具体的数学内容和对数学的认识过程中提炼出来的数学观点。它在认识活动中被反复运用，带有普遍的指导意义，是构建数学理论和用数学理论解决问题的指导思想。注重渗透基本数学思想方法不仅能提高学生解决问题的能力，形成解决问题的基本策略，也能为以后进一步学习打好基础。
以小学数学中常见的转化思想为例。在复习数的运算时，应引导学生关注如下转化：计算小数乘除法时，是将小数乘除法转化为整数乘除法；计算异分母分数加减法时，转化成同分母分数加减法。在总复习时，我们要有意识地向学生呈现这些转化思想的应用实例，引导学生有意识地重温这种由未知到已知、由难到易、由繁到简、由一般到特殊的转化过程，让学生受到基本数学思想的熏陶。值得一提的是，“数形结合”有时也是实现转化的重要手段。如苏教版《数学》五年级下册有这样一题：
这里揭示的是从简单到复杂，通过观察、归纳、概括等思维方式获得猜想继而解决新问题的方法。而苏教版《数学》六年级下册还出现了处理这个问题的新手段：
显然，这里是引导学生将“计算一组分数的和”转化为“计算一组长方形（正方形）面积的和”，即通过数与形的相互转化来解决问题。
除转化外，集合与对应、符号化、模型化、方程、极限等基本数学思想方法在小学数学中也有体现，抽象、类比、联想、特殊化等一般科学思维方式也在小学数学中有所应用。在总复习时，这些基本思想方法应该引起教师
足够关注。
四、科学训练
数学知识的掌握与巩固、学习能力的形成与发展，都离不开一定的训练。数学教育家波利亚有过如下的论述：“掌握数学意味着什么呢？这就是说善于解题，不仅善于解一些标准的题目，而且善于解决一些要求独立思考、思路合理、见解独到和有发明创造的题目。”
在小学总复习阶段，对学生进行一定的训练是必不可少的。总复习阶段进行的训练，除了重视基础（如对基本概念的理解与记忆的训练，对基本计算的速度与准确率的训练，对解决问题的基本思路和方法的训练等）和注意层次等基本要求外，还要特别强调训练的科学性。训练的科学性主要体现为综合性、灵活性与开放性。
所谓综合性，是指训练内容不仅仅针对某一具体的知识点，而且应该注意适当的综合。这是复习训练中首先要注意的问题，也是复习训练与平常训练的主要区别所在。如把与分数有关的简单问题与有关比的问题结合起来，把列方程解决实际问题同空间与图形中的简单计算结合起来，等等。当然，在综合的过程中，也要注意不能超过课程标准的要求。
所谓灵活性，是指应该通过适当的训练，把学生从机械套用现成结论的习惯中解脱出来，使其初步学会灵活运用所学知识解决一些问题。例如：已知右图中等腰直角三角形的面积是20平方厘米，求圆的面积。如果学生只会套用圆面积计算公式s=πr2，并且形成思维定势：要求圆的面积，必须知道直径或半径。那么解决此题时就会碰到困难：只知道r2=40，无法求出半径。若学生通过训练学会了整体思考，则不需要求出半径，可以直接计算：s=πr2=3.14×40=125.6（平方厘米）。
所谓开放性，是指训练中可以适当增加一些开放性题目。这种题目的设计是开放的，学生可以从不同的角度、不同的侧面、不同的范围和不同的层次去分析、优化和选择解决问题的方法和途径，只要所做的答案是合理的，都可以认为是正确的，不存在唯一标准答案。课程改革以来，开放题的使用得到了重视，实践证明，这种题型能让学生思路开阔，能尽可能地激活学生的知识储备，沟通多方面知识和方法间的联系。
五、关注衔接
小学数学总复习是小学数学学习的最后阶段，紧连着学生中学数学学习。因此，在小学总复习阶段，应该适当关注中小学数学教育的衔接问题。事实上，这也是关注学生可持续发展的必然要求。在具体操作上，我们应该关注如下几点。
首先，在某些具体内容的复习过程中，应该关注中小学衔接。在具体内容上关注中小学的衔接，就是要为学生进入中学后学习相关内容埋下伏笔。比如“负数的认识”，就是从小学的“算术数”到“有理数、实数”的衔接点。在小学，只是初步认识其意义，进入中学就要开始研究其四则运算。因此，在复习这一部分内容时，要适当为“有理数的四则运算”埋下伏笔。一方面，我们可以引导学生关注一个现象：除负数外，我们学过的其他所有数都研究过其四则运算，由此类比得出负数也可以进行四则运算。另一方面，如果条件允许，我们也可以用一些比较形象的手段初步接触这些运算。
其次，在解决问题的方法上，也应关注中小学的衔接。特别是用方程的方法解决问题与用算术方法解决问题。小学主要用算术方法，第二学段才开始引入方程。于是在解决问题过程中，方程方法与算术方法应并行。进入到中学，算术方法很少见，基本上应用方程的方法。方程的方法通常是把未知量用字母来表示，且和已知量放在平等的位置上，设法找出等量关系，列出方程，求出未知量。这种方法通常要比用算术方法更直接、更自然，因而更具有优越性。因此，在总复习阶段，教师应该引导学生以代数的观点来看待一些小学数学中的结论。以梯形面积公式 （a+b）h为例，如果没有代数的观点，可能会把这个公式仅仅看成是求面积的公式，即已知上底、下底和高，可以通过这个公式求得梯形的面积。若用代数的观点看，这个公式揭示的是梯形面积与上底、下底和高之间的关系，任何一个梯形，其面积与上底、下底和高都满足这样一个关系，这与谁是已知的、谁是未知的没有关系。把已知条件代入这个公式，就可以得到关于未知量的方程，如果只有一个未知量，这个方程就可以解出唯一的解来。这种观点看起来简单，其实是代数思想的核心所在，在总复习时尤其要引导学生体会这种思想。
第三，要逐步引导学生逻辑地说理。这在空间与图形领域中尤其重要。事实上，在小学阶段，空间与图形领域主要依靠直观形象、实验验证等说理手段，而进入中学后，这种说理方式将逐渐被逻辑论证所取代。因此，在小学总复习阶段，应该逐步引导学生能逻辑地说理。特别要指出的是，由于小学数学教师整天和小学生打交道，每天接触（很多老师还是“仅接触”）小学数学内容，教师自己的思维方式也不断“稚化”，自己的说理方式往往也不那么“逻辑”。以下是一个六年级数学总复习课堂的案例，复习的内容为平面图形。在练习时，教师出示了两道判断题：（1）四条边相等的四边形是正方形。（2）两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
下面是教师教学这两道题的教学实录：
师：先看第一题，对吗？
生：不对！
师：为什么？
生：我知道棱形也是四边相等，但不是正方形。
师：说得好！第二题呢？
生：不对！
师：不对吗？
生：不对！
师：为什么呢？
生：……
师：（指着黑板上画着的一个平行四边形的一组对边）大家看，这组对边平行吗？
生：平行。
师：（指着黑板上画着的一个平行四边形的另一组对边）这组对边呢？
生：也平行。
师：那这道题对吗？
生：……
师：对吗？
生：对。
……
案例中，教师试图用一个具体的平行四边形的两组对边分别平行来说明“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”的正确性，显然在逻辑上是站不住脚的，因而距逻辑地说理就更远了。（作者单位：湖南省长沙市岳麓区教研室）
□责任编辑 邓园生
E-mail: jxjydys@126.com
一、明确要求
教师在进行小学数学总复习时，除了要关注课程标准关于第一、二学段数学教育的整体目标外，作为现实要求，我们特别提出，教师应关注课程标准及课标版教材与原义务教育教学大纲及相应教材在一些具体内容上的不同要求。例如，课程标准及课标版教材对“数的整除”这个内容的要求就明显低于原大纲及相应教材。1999年修订的教学大纲关于这部分内容的教学要求是：“掌握整除、约数和倍数、质数和合数等概念，知道它们之间的联系和区别。掌握能被2、3、5整除的数的特征。会分解质因数(一般不超过两位数)。会求最大公约数(限两个数的)和最小公倍数。”而课程标准关于这一部分内容的教学要求是：“在1～100的自然数中，能找出10以内某个自然数的所有倍数，并知道2、3、5的倍数的特征，能找出10以内两个自然数的公倍数和最小公倍数。在1～100的自然数中，能找出某个自然数的所有因数，能找出两个自然数的公因数和最大公因数。知道整数、奇数、偶数、质数、合数。”另外，课程标准及课标版教材在数学思考、解决问题方面的要求比大纲及相应的教材都要高。同时，概率、图形的运动与变换、确定位置等内容都是原来大纲版教材所不涉及的。
事实上，由于大多数教师没有组织新课程背景下小学数学总复习工作的经验，因而，提出要明确要求、不随意拔高要求，具有非常重要的现实意义。笔者认为，再一次重读课程标准和课标版教材，并与大纲和大纲教材作一些比较，把自己原有的关于总复习中的“重点、难点”和“目标要求”等方面的经验加以梳理重新认识，以明确复习要求，做到有针对性地复习，是做好新课程背景下小学数学复习工作首先要做的功课。
二、理清线索
总复习提供的是学生进行复习的基本线索，这些线索包括梳理知识的线索和进行数学活动的线索。教学时，要引导学生按照知识发生、发展的脉络和知识之间的纵横联系来梳理知识，并为学生创设适当的学习情境，让他们在具体的情境中综合地、创造性地应用所学的知识、方法和策略来解决问题。
以“空间与图形”领域为例。空间与图形部分主要涉及一些基本的几何概念，基本的计算（周长、面积、体积和角度等）以及几何对象的运动与变换。具体从几何概念方面来看，小学阶段主要涉及点、线、面、体的基本知识。教师可以用“点动成线、线动成面、面动成体”的观点来理一理这些概念之间的线索：点沿两个相反方向无限运动即成为直线，点朝一个方向无限运动即成射线，点朝一个方向有限运动即成线段，点绕另一点旋转一周即得圆（曲线）；一个长方形绕一条边旋转一周即得圆柱体，一个直角三角形绕一条直角边旋转一周即得圆锥，一个长方形朝一定方向平行移动即得长方体，一个圆朝一定方向平行移动即得圆柱，等等。
在理清知识间线索的基础上，学生就能建立起该部分知识的基本结构，他们对知识的理解就会更加深刻。在复习时，教师应通过表格、韦恩图等方式向学生揭示这种结构，并努力将教材知识结构转化成学生的认知结构。
三、凸显思想
所谓凸显思想，就是在组织复习的过程中，要特别注重渗透基本的数学思想方法。数学思想是数学知识内容的精髓，是对数学的本质认识，是从某些具体的数学内容和对数学的认识过程中提炼出来的数学观点。它在认识活动中被反复运用，带有普遍的指导意义，是构建数学理论和用数学理论解决问题的指导思想。注重渗透基本数学思想方法不仅能提高学生解决问题的能力，形成解决问题的基本策略，也能为以后进一步学习打好基础。
以小学数学中常见的转化思想为例。在复习数的运算时，应引导学生关注如下转化：计算小数乘除法时，是将小数乘除法转化为整数乘除法；计算异分母分数加减法时，转化成同分母分数加减法。在总复习时，我们要有意识地向学生呈现这些转化思想的应用实例，引导学生有意识地重温这种由未知到已知、由难到易、由繁到简、由一般到特殊的转化过程，让学生受到基本数学思想的熏陶。值得一提的是，“数形结合”有时也是实现转化的重要手段。如苏教版《数学》五年级下册有这样一题：
这里揭示的是从简单到复杂，通过观察、归纳、概括等思维方式获得猜想继而解决新问题的方法。而苏教版《数学》六年级下册还出现了处理这个问题的新手段：
显然，这里是引导学生将“计算一组分数的和”转化为“计算一组长方形（正方形）面积的和”，即通过数与形的相互转化来解决问题。
除转化外，集合与对应、符号化、模型化、方程、极限等基本数学思想方法在小学数学中也有体现，抽象、类比、联想、特殊化等一般科学思维方式也在小学数学中有所应用。在总复习时，这些基本思想方法应该引起教师
足够关注。
四、科学训练
数学知识的掌握与巩固、学习能力的形成与发展，都离不开一定的训练。数学教育家波利亚有过如下的论述：“掌握数学意味着什么呢？这就是说善于解题，不仅善于解一些标准的题目，而且善于解决一些要求独立思考、思路合理、见解独到和有发明创造的题目。”
在小学总复习阶段，对学生进行一定的训练是必不可少的。总复习阶段进行的训练，除了重视基础（如对基本概念的理解与记忆的训练，对基本计算的速度与准确率的训练，对解决问题的基本思路和方法的训练等）和注意层次等基本要求外，还要特别强调训练的科学性。训练的科学性主要体现为综合性、灵活性与开放性。
所谓综合性，是指训练内容不仅仅针对某一具体的知识点，而且应该注意适当的综合。这是复习训练中首先要注意的问题，也是复习训练与平常训练的主要区别所在。如把与分数有关的简单问题与有关比的问题结合起来，把列方程解决实际问题同空间与图形中的简单计算结合起来，等等。当然，在综合的过程中，也要注意不能超过课程标准的要求。
所谓灵活性，是指应该通过适当的训练，把学生从机械套用现成结论的习惯中解脱出来，使其初步学会灵活运用所学知识解决一些问题。例如：已知右图中等腰直角三角形的面积是20平方厘米，求圆的面积。如果学生只会套用圆面积计算公式s=πr2，并且形成思维定势：要求圆的面积，必须知道直径或半径。那么解决此题时就会碰到困难：只知道r2=40，无法求出半径。若学生通过训练学会了整体思考，则不需要求出半径，可以直接计算：s=πr2=3.14×40=125.6（平方厘米）。
所谓开放性，是指训练中可以适当增加一些开放性题目。这种题目的设计是开放的，学生可以从不同的角度、不同的侧面、不同的范围和不同的层次去分析、优化和选择解决问题的方法和途径，只要所做的答案是合理的，都可以认为是正确的，不存在唯一标准答案。课程改革以来，开放题的使用得到了重视，实践证明，这种题型能让学生思路开阔，能尽可能地激活学生的知识储备，沟通多方面知识和方法间的联系。
五、关注衔接
小学数学总复习是小学数学学习的最后阶段，紧连着学生中学数学学习。因此，在小学总复习阶段，应该适当关注中小学数学教育的衔接问题。事实上，这也是关注学生可持续发展的必然要求。在具体操作上，我们应该关注如下几点。
首先，在某些具体内容的复习过程中，应该关注中小学衔接。在具体内容上关注中小学的衔接，就是要为学生进入中学后学习相关内容埋下伏笔。比如“负数的认识”，就是从小学的“算术数”到“有理数、实数”的衔接点。在小学，只是初步认识其意义，进入中学就要开始研究其四则运算。因此，在复习这一部分内容时，要适当为“有理数的四则运算”埋下伏笔。一方面，我们可以引导学生关注一个现象：除负数外，我们学过的其他所有数都研究过其四则运算，由此类比得出负数也可以进行四则运算。另一方面，如果条件允许，我们也可以用一些比较形象的手段初步接触这些运算。
其次，在解决问题的方法上，也应关注中小学的衔接。特别是用方程的方法解决问题与用算术方法解决问题。小学主要用算术方法，第二学段才开始引入方程。于是在解决问题过程中，方程方法与算术方法应并行。进入到中学，算术方法很少见，基本上应用方程的方法。方程的方法通常是把未知量用字母来表示，且和已知量放在平等的位置上，设法找出等量关系，列出方程，求出未知量。这种方法通常要比用算术方法更直接、更自然，因而更具有优越性。因此，在总复习阶段，教师应该引导学生以代数的观点来看待一些小学数学中的结论。以梯形面积公式 （a+b）h为例，如果没有代数的观点，可能会把这个公式仅仅看成是求面积的公式，即已知上底、下底和高，可以通过这个公式求得梯形的面积。若用代数的观点看，这个公式揭示的是梯形面积与上底、下底和高之间的关系，任何一个梯形，其面积与上底、下底和高都满足这样一个关系，这与谁是已知的、谁是未知的没有关系。把已知条件代入这个公式，就可以得到关于未知量的方程，如果只有一个未知量，这个方程就可以解出唯一的解来。这种观点看起来简单，其实是代数思想的核心所在，在总复习时尤其要引导学生体会这种思想。
第三，要逐步引导学生逻辑地说理。这在空间与图形领域中尤其重要。事实上，在小学阶段，空间与图形领域主要依靠直观形象、实验验证等说理手段，而进入中学后，这种说理方式将逐渐被逻辑论证所取代。因此，在小学总复习阶段，应该逐步引导学生能逻辑地说理。特别要指出的是，由于小学数学教师整天和小学生打交道，每天接触（很多老师还是“仅接触”）小学数学内容，教师自己的思维方式也不断“稚化”，自己的说理方式往往也不那么“逻辑”。以下是一个六年级数学总复习课堂的案例，复习的内容为平面图形。在练习时，教师出示了两道判断题：（1）四条边相等的四边形是正方形。（2）两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
下面是教师教学这两道题的教学实录：
师：先看第一题，对吗？
生：不对！
师：为什么？
生：我知道棱形也是四边相等，但不是正方形。
师：说得好！第二题呢？
生：不对！
师：不对吗？
生：不对！
师：为什么呢？
生：……
师：（指着黑板上画着的一个平行四边形的一组对边）大家看，这组对边平行吗？
生：平行。
师：（指着黑板上画着的一个平行四边形的另一组对边）这组对边呢？
生：也平行。
师：那这道题对吗？
生：……
师：对吗？
生：对。
……
案例中，教师试图用一个具体的平行四边形的两组对边分别平行来说明“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”的正确性，显然在逻辑上是站不住脚的，因而距逻辑地说理就更远了。（作者单位：湖南省长沙市岳麓区教研室）
□责任编辑 邓园生
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