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一、 启发式教学的基本内容
启发式教学法是教师依据学习过程的客观规律，引导学生主动、积极、自觉地掌握知识；是教师遵循认识规律，从学生的实际出发，在充分发挥教师指导作用的前提下，激发学生的求知欲和学习兴趣，引导学生积极发展思维活动，主动获得知识的一种教学方法.这种教学法是在对传统注入式教学深刻批判的背景下产生的，在教学研究和实践中取得了许多成果.然而，启发式教学法不同于其它具体的教学法.具体的教学方法都有一套固定的教学格式和具体的教学环节，操作性、程序性很强.启发式教学法，更主要的是一种教学思想，在实际应用中，还没有一套固定的模式可循，缺乏程序性和可操作性.因而在教学实践中，也有它的不足.
教学改革的关键是教学思想的改革.数学思想对数学活动起着定向的作用.只有在正确的教学思想指导下，教学活动才能符合教学规律，才能调动学生的积极性和主动性，培养学生的独立性和创造精神.启发式教学法应是中学教学中最重要、最基本、最为广泛应用的一种教学方法.数学教师确立启发式教学思想是其教学取得成功的根本保证.启发式教学思想的核心是教师视学生为完整的人，根据认知目标与情感目标并重的要求安排教学过程，充分调动学生的知、情、意、行等诸方面的积极性，引导学生独立自主地开展思维活动，融会贯通地掌握知识、发展能力、培养创新精神和创造能力.
启发式教学思想由来已久.孔子主张“不愤不启，不悱不发”.“启发”两字由此而来.孟子也主张启发式教学，《学记》上说：“导而弗牵，强而弗抑，开而弗达.”所以启发式教学是我国传统的教学方法.捷克教育家夸美纽斯说：“知识的获得在于求知者的志愿，这是不能强迫的”.启发的方法多种多样.可分为质疑启发、情绪启发、直观启发、类比启发、变换启发、板书启发等多种基本方式.“启”是“发”的条件，“发”是“启”的结果.在教学过程中，激发学生学习的动机和兴趣，培养学生的求知欲望和主动性是确保教学成功的关键.所以，数学教学应是教师启发诱导和学生积极参与并重.只有师生的默契配合，才能达到教与学共鸣，才是教与学的完美结合，也是教学的理想境界.
二、 启发式教学的基本要求
启发式数学教学的基本要求可以从数学学习材料、教学目的、教学过程及学习规律等方面总结.
（一） 由学习材料决定的要求
简言之，学习材料即是教材，是实行启发式教学的基础对象.数学具有内容的抽象性、应用的广泛性、推理的严谨性和结论的明确性的特点，而抽象性是其最基本的特性.数学的对象是抽象思维的产物.数学教科书所表达的是数学知识的逻辑体系，是一些经过加工整理的数学抽象（思维）结果.而数学的抽象思维的活动过程大都被抽象的理论结果掩盖起来了，这就是教师在数学教学过程中容易出现重视数学结果而忽视数学思维活动过程的倾向.教学中，教师三言两语地向学生介绍概念，然后举几个关于概念应用的例子，接着就要求学生应用概念解答问题的情况是很常见的.事实上这是在学生没有真正获得概念时就要求学生应用概念.显然，这种认识是没有基础的，也就不可能取得好的效果.而启发式教学要求教师能够克服教材对教学产生的不利影响，根据教材提供的线索，安排适当的数学情境，向学生展示相应的数学思维过程，让学生通过经历适当的情境，明了相应的数学思维过程，从而经历数学的各个抽象阶段，真正掌握所学.
（二） 由教学目的决定的要求
促进学生的发展是数学教学最重要的目的.既要促进学生的数学认知发展，又要促进学生的抽象思维、创造精神和创造力的发展.
数学教学是在教师的指导下，有目的、有计划、有组织地学习数学知识、培养数学能力、发展智力的过程，是学生数学认知结构发展的主要途径.学生的数学认知结构在教学中的不断发展是由低水平向高水平建构的过程；是知识由浅入深，知识面由窄到宽，知识系统不断充实、丰富，数学能力不断提高的过程.
启发式教学对学生数学认知结构的发展在两个方面发挥作用：
第一，确定方向和目标.数学教学的目的是引导学生对学者构建学科理论、原理、法则时所用的思维模式和策略的模仿，引导学生概括所学的知识，了解科学现实.因此，在启发式教学中，教师应当根据学生现有数学认知结构的特点和水平，把掌握数学的基本概念、基本原理和法则，以及它们所蕴涵的数学思想、方法作为教学的最主要目标.
第二，提供良好环境和条件.首先，教师根据教学目的、学生的现有认知发展水平以及数学的逻辑体系来精选数学内容，编排出一种概括性强、操作性好的数学教材结构，以利于学生理解和学习.其次，在教学中，教师利用学生现有数学认知结构，以此作为同化新知识的基础，设置一定的教学情境，引导学生的认知活动.在学习概念、原理时，教师给学生提供典型有效、积极主动的思维活动，达到对概念的理性认识，并进一步指导学生将获得的概念进行归类、组合，构成一个便于操作的概念体系.在应用知识解决数学问题时，教师为学生提供一定的线索，在思维方法、认知策略上给以指导，以便学生能顺利地解决问题，并从中体验数学思想、方法，深化知识结构，获得数学能力，使智力得到很好的发展，从而使学生的数学认知结构获得良好发展.前苏联心理学家维果斯基认为，学生的发展水平可以分为两种，一种是“现有发展区”，它是评定学生已经达到的发展程度，这是教学的出发点；第二种“最近发展区”，它是一种潜在的、可能的发展水平，是经过教师的启发指导和学生自己的努力所能达到的发展水平，这是教学要努力追求的目标.只有以学生的现有发展水平为基础，以“最近发展区”为定向，才能有效地促进学生的发展.所以，启发式教学应当充分发挥学生现有发展水平的积极作用，在学生的“最近发展区”上去帮助学生解决认知矛盾，促进学生“最近发展区”的转化，使学生经常处于“跳一跳摘果子”的状态.既使学生有适度的紧张感，又使学生觉得压力不太大，问题可以解决，从而激发学生的求知欲，经过他们自己主动积极地探索而获得知识、发展能力. （三） 由学习规律决定的要求
学生的学习过程是一个能动的反应过程.只有当教学符合学生的学习规律时，才能充分调动学生的主观能动性，使他们通过自己积极主动的自我活动来达到学习目的.因此，启发式教学必须符合学习规律的要求.学生数学学习过程有如下特点：
第一，学生的数学学习过程是一个数学知识的“再创造”过程.由于学生认知水平的限制，他们不可能独立地完成“再发现”过程，而必须通过教师的启发引导.所以，教学中，教师应当为“再发现”创造条件，使学生能大致经历数学家获得发现时的思维过程，在一种自然、主动的状态下完成“再发现”过程.
第二，学生的数学学习是从理论或间接经验到实践，再由实践上升到理论的过程.在教师的帮助下，学生把理论或间接经验与自己已有的经验（包括过去学过的知识和日常生活经验）进行同化，经过一定的实践（模型操作、观察、试验、做数学习题、参加社会实践等），使之内化，从而上升为理论知识.
数学学习的这一特点要求教师在启发式教学中，努力为学生提供使所学的数学知识与已有的经验建立内部联系的实践机会.具体地说，教师在教学之前，要充分了解学生的学习基础.数学是一门逻辑性、系统性很强的学科，学习基础不够，数学将无法进行.所以，在启发式教学中，教师要根据相应的数学知识的逻辑顺序，以及知识所蕴涵的数学思想、方法，为学生提供适量的、具有典型意义的材料，让学生在数学理论知识的导引下，对这些材料进行充分地感知，并在此基础上再进行抽象概括，使新知识与已有的数学知识经验建立起内在联系，成为一个有机的知识整体，达到对数学理论的理性认识.
在启发式教学中，教师应当采取切实有效的措施，努力调动和发挥学生的非智力因素的积极性.教师根据学生的现有认知发展水平、数学知识之间的逻辑联系，创设一定的教学情境，激发学生的好奇心和学习兴趣，引起学生学习动机，使他们兴趣盎然地投入学习.教师应当鼓励学生通过自己积极主动的思维活动去获取知识，并且在思考方向、思考方法、思维策略上加以适当的点拨，使学生真正通过自己的努力，克服学习中的困难而达到学习的目的，让学生有施展自己才华的机会，使他们看到自己数学方面的长处，看到自己坚持不懈地努力的结果，从而培养学生的自信心、意志力和对数学的情感；教师要为学生创造一种适合于学生身心发展水平的、有利于学生求异创新的良好学习环境，以利于培养学生的坚韧不拔、勇于创新的优秀品质，让学生经常得到成功的体验，感受到学习数学是一种精神享受，以利于培养学生学习兴趣和情感.教师还可以利用数学发展的历史、数学在现代社会发展中的地位和作用等来激发学生学习数学的兴趣.
（四） 由数学教学过程的特征决定的要求
数学教学过程是学生在教师的指导下，通过数学思维活动，对教材进行学习的过程.在这一过程中，包含着教师与学生、教师与教材、学生与教材等一系列矛盾，这些矛盾相互制约、相互联系的活动就构成了数学过程的发展.其中，学生与教材的矛盾是数学过程的主要矛盾.辩证唯物主义告诉我们，矛盾的转化，外因是条件，内因是根据，外因通过内因而起作用.所以，教师只有根据学生的内因进行教学才能真正促进数学过程的主要矛盾的转化.由此，在启发式教学中，教师必须根据学生的内因（主要有学生的学习动机、已有的知识基础、数学思维水平、数学能力等），给以适宜的条件，启发学生的内因发生变化，使学生真正掌握知识，而不是把知识强加给学生，让学生死记硬背.要注意到数学教材的抽象性特点，认真分析知识所反映的数学思维过程，分析和把握学生的数学思维过程，并以这两个过程为依据，设置适当的教学情境，使这两个协调过程同步地进行，使学生在解决这两个之间的矛盾的过程中去认识教材、掌握知识、发展思维和智力.
启发式思想指导下的数学课堂教学是教师与学生共同参与、相互作用、创造性地实现教学目标的过程.在启发式教学思想指导下设计的问题能够调动起学生自己的经验、意向和创造力，通过发现、选择或重组等多种过程形成答案.这表现出教师重视学生主动获取、形成、发现知识的过程，这是一个真正关注人的发展的数学设计.它既能充分体现教师的创造力，又能为学生在教学过程中发挥创造性提供条件；它是每个学生主动积极活动的保证；它能使每个学生对自己的学习进程有明确的自我意识，对学习过程进行积极的自我调控；它能形成师生之间及时地信息反馈.
总之，启发式数学教学能够使教师根据教学过程中的具体情况采取灵活的行动，使学生创造性地学习，发展他们的创造能力，成为二十一世纪真正的人才.
启发式教学法是教师依据学习过程的客观规律，引导学生主动、积极、自觉地掌握知识；是教师遵循认识规律，从学生的实际出发，在充分发挥教师指导作用的前提下，激发学生的求知欲和学习兴趣，引导学生积极发展思维活动，主动获得知识的一种教学方法.这种教学法是在对传统注入式教学深刻批判的背景下产生的，在教学研究和实践中取得了许多成果.然而，启发式教学法不同于其它具体的教学法.具体的教学方法都有一套固定的教学格式和具体的教学环节，操作性、程序性很强.启发式教学法，更主要的是一种教学思想，在实际应用中，还没有一套固定的模式可循，缺乏程序性和可操作性.因而在教学实践中，也有它的不足.
教学改革的关键是教学思想的改革.数学思想对数学活动起着定向的作用.只有在正确的教学思想指导下，教学活动才能符合教学规律，才能调动学生的积极性和主动性，培养学生的独立性和创造精神.启发式教学法应是中学教学中最重要、最基本、最为广泛应用的一种教学方法.数学教师确立启发式教学思想是其教学取得成功的根本保证.启发式教学思想的核心是教师视学生为完整的人，根据认知目标与情感目标并重的要求安排教学过程，充分调动学生的知、情、意、行等诸方面的积极性，引导学生独立自主地开展思维活动，融会贯通地掌握知识、发展能力、培养创新精神和创造能力.
启发式教学思想由来已久.孔子主张“不愤不启，不悱不发”.“启发”两字由此而来.孟子也主张启发式教学，《学记》上说：“导而弗牵，强而弗抑，开而弗达.”所以启发式教学是我国传统的教学方法.捷克教育家夸美纽斯说：“知识的获得在于求知者的志愿，这是不能强迫的”.启发的方法多种多样.可分为质疑启发、情绪启发、直观启发、类比启发、变换启发、板书启发等多种基本方式.“启”是“发”的条件，“发”是“启”的结果.在教学过程中，激发学生学习的动机和兴趣，培养学生的求知欲望和主动性是确保教学成功的关键.所以，数学教学应是教师启发诱导和学生积极参与并重.只有师生的默契配合，才能达到教与学共鸣，才是教与学的完美结合，也是教学的理想境界.
二、 启发式教学的基本要求
启发式数学教学的基本要求可以从数学学习材料、教学目的、教学过程及学习规律等方面总结.
（一） 由学习材料决定的要求
简言之，学习材料即是教材，是实行启发式教学的基础对象.数学具有内容的抽象性、应用的广泛性、推理的严谨性和结论的明确性的特点，而抽象性是其最基本的特性.数学的对象是抽象思维的产物.数学教科书所表达的是数学知识的逻辑体系，是一些经过加工整理的数学抽象（思维）结果.而数学的抽象思维的活动过程大都被抽象的理论结果掩盖起来了，这就是教师在数学教学过程中容易出现重视数学结果而忽视数学思维活动过程的倾向.教学中，教师三言两语地向学生介绍概念，然后举几个关于概念应用的例子，接着就要求学生应用概念解答问题的情况是很常见的.事实上这是在学生没有真正获得概念时就要求学生应用概念.显然，这种认识是没有基础的，也就不可能取得好的效果.而启发式教学要求教师能够克服教材对教学产生的不利影响，根据教材提供的线索，安排适当的数学情境，向学生展示相应的数学思维过程，让学生通过经历适当的情境，明了相应的数学思维过程，从而经历数学的各个抽象阶段，真正掌握所学.
（二） 由教学目的决定的要求
促进学生的发展是数学教学最重要的目的.既要促进学生的数学认知发展，又要促进学生的抽象思维、创造精神和创造力的发展.
数学教学是在教师的指导下，有目的、有计划、有组织地学习数学知识、培养数学能力、发展智力的过程，是学生数学认知结构发展的主要途径.学生的数学认知结构在教学中的不断发展是由低水平向高水平建构的过程；是知识由浅入深，知识面由窄到宽，知识系统不断充实、丰富，数学能力不断提高的过程.
启发式教学对学生数学认知结构的发展在两个方面发挥作用：
第一，确定方向和目标.数学教学的目的是引导学生对学者构建学科理论、原理、法则时所用的思维模式和策略的模仿，引导学生概括所学的知识，了解科学现实.因此，在启发式教学中，教师应当根据学生现有数学认知结构的特点和水平，把掌握数学的基本概念、基本原理和法则，以及它们所蕴涵的数学思想、方法作为教学的最主要目标.
第二，提供良好环境和条件.首先，教师根据教学目的、学生的现有认知发展水平以及数学的逻辑体系来精选数学内容，编排出一种概括性强、操作性好的数学教材结构，以利于学生理解和学习.其次，在教学中，教师利用学生现有数学认知结构，以此作为同化新知识的基础，设置一定的教学情境，引导学生的认知活动.在学习概念、原理时，教师给学生提供典型有效、积极主动的思维活动，达到对概念的理性认识，并进一步指导学生将获得的概念进行归类、组合，构成一个便于操作的概念体系.在应用知识解决数学问题时，教师为学生提供一定的线索，在思维方法、认知策略上给以指导，以便学生能顺利地解决问题，并从中体验数学思想、方法，深化知识结构，获得数学能力，使智力得到很好的发展，从而使学生的数学认知结构获得良好发展.前苏联心理学家维果斯基认为，学生的发展水平可以分为两种，一种是“现有发展区”，它是评定学生已经达到的发展程度，这是教学的出发点；第二种“最近发展区”，它是一种潜在的、可能的发展水平，是经过教师的启发指导和学生自己的努力所能达到的发展水平，这是教学要努力追求的目标.只有以学生的现有发展水平为基础，以“最近发展区”为定向，才能有效地促进学生的发展.所以，启发式教学应当充分发挥学生现有发展水平的积极作用，在学生的“最近发展区”上去帮助学生解决认知矛盾，促进学生“最近发展区”的转化，使学生经常处于“跳一跳摘果子”的状态.既使学生有适度的紧张感，又使学生觉得压力不太大，问题可以解决，从而激发学生的求知欲，经过他们自己主动积极地探索而获得知识、发展能力. （三） 由学习规律决定的要求
学生的学习过程是一个能动的反应过程.只有当教学符合学生的学习规律时，才能充分调动学生的主观能动性，使他们通过自己积极主动的自我活动来达到学习目的.因此，启发式教学必须符合学习规律的要求.学生数学学习过程有如下特点：
第一，学生的数学学习过程是一个数学知识的“再创造”过程.由于学生认知水平的限制，他们不可能独立地完成“再发现”过程，而必须通过教师的启发引导.所以，教学中，教师应当为“再发现”创造条件，使学生能大致经历数学家获得发现时的思维过程，在一种自然、主动的状态下完成“再发现”过程.
第二，学生的数学学习是从理论或间接经验到实践，再由实践上升到理论的过程.在教师的帮助下，学生把理论或间接经验与自己已有的经验（包括过去学过的知识和日常生活经验）进行同化，经过一定的实践（模型操作、观察、试验、做数学习题、参加社会实践等），使之内化，从而上升为理论知识.
数学学习的这一特点要求教师在启发式教学中，努力为学生提供使所学的数学知识与已有的经验建立内部联系的实践机会.具体地说，教师在教学之前，要充分了解学生的学习基础.数学是一门逻辑性、系统性很强的学科，学习基础不够，数学将无法进行.所以，在启发式教学中，教师要根据相应的数学知识的逻辑顺序，以及知识所蕴涵的数学思想、方法，为学生提供适量的、具有典型意义的材料，让学生在数学理论知识的导引下，对这些材料进行充分地感知，并在此基础上再进行抽象概括，使新知识与已有的数学知识经验建立起内在联系，成为一个有机的知识整体，达到对数学理论的理性认识.
在启发式教学中，教师应当采取切实有效的措施，努力调动和发挥学生的非智力因素的积极性.教师根据学生的现有认知发展水平、数学知识之间的逻辑联系，创设一定的教学情境，激发学生的好奇心和学习兴趣，引起学生学习动机，使他们兴趣盎然地投入学习.教师应当鼓励学生通过自己积极主动的思维活动去获取知识，并且在思考方向、思考方法、思维策略上加以适当的点拨，使学生真正通过自己的努力，克服学习中的困难而达到学习的目的，让学生有施展自己才华的机会，使他们看到自己数学方面的长处，看到自己坚持不懈地努力的结果，从而培养学生的自信心、意志力和对数学的情感；教师要为学生创造一种适合于学生身心发展水平的、有利于学生求异创新的良好学习环境，以利于培养学生的坚韧不拔、勇于创新的优秀品质，让学生经常得到成功的体验，感受到学习数学是一种精神享受，以利于培养学生学习兴趣和情感.教师还可以利用数学发展的历史、数学在现代社会发展中的地位和作用等来激发学生学习数学的兴趣.
（四） 由数学教学过程的特征决定的要求
数学教学过程是学生在教师的指导下，通过数学思维活动，对教材进行学习的过程.在这一过程中，包含着教师与学生、教师与教材、学生与教材等一系列矛盾，这些矛盾相互制约、相互联系的活动就构成了数学过程的发展.其中，学生与教材的矛盾是数学过程的主要矛盾.辩证唯物主义告诉我们，矛盾的转化，外因是条件，内因是根据，外因通过内因而起作用.所以，教师只有根据学生的内因进行教学才能真正促进数学过程的主要矛盾的转化.由此，在启发式教学中，教师必须根据学生的内因（主要有学生的学习动机、已有的知识基础、数学思维水平、数学能力等），给以适宜的条件，启发学生的内因发生变化，使学生真正掌握知识，而不是把知识强加给学生，让学生死记硬背.要注意到数学教材的抽象性特点，认真分析知识所反映的数学思维过程，分析和把握学生的数学思维过程，并以这两个过程为依据，设置适当的教学情境，使这两个协调过程同步地进行，使学生在解决这两个之间的矛盾的过程中去认识教材、掌握知识、发展思维和智力.
启发式思想指导下的数学课堂教学是教师与学生共同参与、相互作用、创造性地实现教学目标的过程.在启发式教学思想指导下设计的问题能够调动起学生自己的经验、意向和创造力，通过发现、选择或重组等多种过程形成答案.这表现出教师重视学生主动获取、形成、发现知识的过程，这是一个真正关注人的发展的数学设计.它既能充分体现教师的创造力，又能为学生在教学过程中发挥创造性提供条件；它是每个学生主动积极活动的保证；它能使每个学生对自己的学习进程有明确的自我意识，对学习过程进行积极的自我调控；它能形成师生之间及时地信息反馈.
总之，启发式数学教学能够使教师根据教学过程中的具体情况采取灵活的行动，使学生创造性地学习，发展他们的创造能力，成为二十一世纪真正的人才.