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摘要 鲁教版七年级数学“勾股数”的教学设计中，由学生自主探究、实践验证，既加深了学生对基础知识的掌握，又发展了其合情推理能力，初步体会数形结合的思想。在授课进程中，教师有针对性的提出设问，引导学生更加深入的探究，思考，充分体现和谐高效，思维对话的理念。
关键词 学情教法和谐高效思维对话
一、教材与学情分析
（一）教材。
本节课是鲁教版七年级数学上册第二章《勾股定理》中第2节课内容。在循序渐进、螺旋上升原则的指导下，本章第1节通过数方格和割补图形的方法得到了勾股定理，本节则通过代数计算和作图验证的方法获得了一个三角形是直角三角形的有关边的条件，即勾股定理的逆定理。在设计上，让学生自主探索、实践验证，即加深了基础知识的掌握，又发展了合情推理能力，体会数形结合的思想。同时，教材在引入课题和例题设计上，重视体现所授知识的文化价值和实际应用，在提高学生学习兴趣的同时，又凸显了“人人学有价值的数学”的数学教育价值观，实现了三维目标的有机结合。
本节的教学重点：使学生掌握直角三角形的判别条件，即勾股定理的逆定理，并能进行简单的应用。教学难点：在实际问题中，准确地用数学符号语言表述判别条件以解决问题。
（二）学情。
学生在第1节的学习中，已经掌握了直角三角形三边的数量关系，这为本节学生自主探索给出的三个数之间存在的等量关系打下了坚实的基础。同时，在前面的学习中，学生的自主探究、合作交流的能力都得到一定的训练，在本节中，将进一步培养学生这些方面的能力。在学生的练习中发现不少学生不能用较准确地数学符号语言表述学过的知识来解决问题，因此本节继续加强这方面的教学和练习。
二、教学目标
（一）知识技能。
使学生掌握直角三角形的判别条件，并能进行简单的应用，同时，能熟记一些常用的勾股数。
（二）过程方法。
经历探索一个三角形是直角三角形的条件的过程，发展合情推理能力，体会数形结合的思想。
（三）情感态度与价值观。
通过介绍有关的历史资料，使学生感受所学知识的文化价值，激发学习的兴趣和解决问题的愿望。
三、教法和学法设计
（一）教法设计。
新课程教学理念特别关注探究学习，要求学生主动探究，获取知识，发展能力，逐步培养探索精神和创新意识。因此，本节主要采用自主探究的教学方法，充分发挥学生的主观能动性，在学习中教师只作适当的组织、引导，并且根据课堂的进度，教师有针对性的提出设问，引导学生更加深入的探究，思考，充分体现和谐高效，思维对话的理念。
（二）学法设计。
我国教育的指导思想是人的全面发展理论，强调主体发展是教育的最高目的。建构主义“学与教”理论也强调以学生为中心，要求学生由外部刺激的被动接受者和知识的灌输对象转变为信息加工的主体、知识意义的主动建构者。由此可知，教学的最高技巧在于，使学生能主动地借助已有的知识去获得新的知识，并能在知识的建构过程中，各方面的能力得到一定的发展和进步。因此，课堂上，可以利用学生已有的知识及其好奇心设疑、解惑，从而组织生动活泼的教学活动，促使学生积极参与、大胆猜想，使学生在自主探索和合作交流中发现问题、分析问题、解决问题，达到掌握本节知识的目标。
四、教学资源
多媒体及白板
五、教学实施过程
本节教学将按以下四个环节展开
（一）提出问题，自主探究。
1．知识回顾。
师：请回顾勾股定理的内容，举手回答。
生：认真回顾，然后抢答。
[设计意图]：组织教学，带动学生进入学习状态；及时复习学过的内容，并为本节探索给出的三个数之间的数量关系以铺垫。
2.创设情境，导入新课。
一个零件的形状如图1所示，技术员量得这个零件各边尺寸如图2所示，就能肯定∠A和∠DBC都是直角，这是为什么呢？
学过本节勾股数的知识，同学们就能轻松地解决这一问题了。
[设计意图]：爱因斯坦说过：“兴趣是最好的老师。”，通过问题情境，激发学生的求知欲，使得学生积极主动的投入到学习中，充分发挥学生的主体地位。同时，情境问题紧扣课题重点，并点明了知识的应用，学生明确了学什么，为什么要学，在学习中会起到事半功倍的效果。
3.运用你的才能，解决下面的问题。
1)下面的三組数中，每组中的三个数之间有怎样的等量关系？
A. 3 4 5B. 6 8 10 C. 5 1213
2)分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？
3)根据上面的实验，你能得到一个什么样的结论？请用文字语言表述。
[设计意图]：根据《新课标》要求：学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的；有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆 ，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。由此我设计了上面3个问题，通过这3个问题，学生经历一定的思维过程，通过计算、操作验证、归纳猜想获得了对所要学的知识的初步认识。在此过程中，学生成了数学学习的主人，并能很好的发展推理能力和空间观念。
（二）合作交流，成果展示。
1.学生先交流上面3中1)的结论，然后继续下面两问的学习。
2.用实物展台展示学生的作品，及时予以肯定和表扬。
3.师：请同学们表述一下自己发现的结论。
生甲：如果三角形两条直角边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
师：一开始，你不知道这是直角三角形，怎么能说它的边是直角边呢？
生甲：如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
师：很好，表述语言简练而准确。
师：上面的结论我是这么记忆：如果三角形两条较小边的平方和等于最大边的平方，那么这个三角形是直角三角形。这样记忆的优点是我们应用的时候会很方便，稍后请同学们尝试一下。
师：习惯上，我们用a、b表示两条较小的边，用c表示最大边，那么上面的结论用数学符号语言怎么表述？
生乙：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。
师：很好。对于这个结论谁还有疑问吗？
生丙：老师，我们用几个例子得出这个结论能肯定正确吗？
师：丙同学很有数学思维，老师很欣赏你。我们得出的这个结论是正确的，因为在初三我们会学习这个结论的证明，而经过证明的结论就是正确的。
师：还有问题吗？没有了？那我问同学们一个问题：到现在为止，你学了哪些判断一个三角形是直角三角形的方法？
生丁：两种。一是：有一个角是直角的三角形是直角三角形。二是今天学的。
师：很好。丁同学很善于把所学的知识进行联系归纳，我们同学头脑中已经储存有很多知识，在学习新的知识后，要善于与已有的知识联系，这样才能掌握得牢、快。
师：现在，我们可以解决一开始的问题了。
学生给出答案，教师强调步骤。
师：用上面的判别方法判别一个三角形是直角三角形，主要的步骤是：首先计算a2+b2，接着计算c2 ，再看a2+b2是否等于c2，若相等，就做出是的结论。
学生记忆后，给出勾股数的概念。
师：我们今天学的知识，在古代，埃及人和中国人就已经掌握并可以应用于实际生活中了，同学们阅读课本提出的问题，小组内解决。
师：通过上面的例子，我们可以发现勾股定理和今天学习的判别方法在现实中有着广泛的应用和悠久的历史，它们的发现和应用水平也是评价一个民族文明的一个标志。这样的知识，下面我们就通过练习来掌握它。
[设计意图]：在上面的环节中，通过展示学生作品，让学生积极参与到学习中，并通过师生交流，及时发现学生的优点，予以肯定、表扬，使学生感受到成功的快乐，享受和谐的数学课堂。接着教师和学生进行思维对话，先通过直观准确地文字语言掌握重点，然后上升到符号语言，达到知识的符号化。在此过程中，使学生的才能得到充分的展示，并在潜移默化中强化学生的数学思维的严谨和逻辑性，同时帮助学生把新的知识融入到已有知识结构中，达到了使学生在自身现有水平的基础上得到最大的发展的目的。掌握了基础，在教师的强调中，水到渠成地突破了难点，实现高效、发展学生能力的目标。最后，解决课本的情境问题，凸显知识的价值，实现课堂三维目标的统一。
（三）应用新知，解决问题。
1．下列4组数中哪几组数能作为直角三角形的三边长，能的几组数中，哪些是勾股数？哪些不是？说说你的理由。
(1) 15,36,39(2) 0.7,2.4,2.5 (3) 6,9,11 (4) 6,8,10
学生练习后，教师立即点评。
师：判断第一组数，老师发现有更灵活、更快捷的方法，哪位同学也找到了这种方法，请说一下。
生戊：我发现计算三个数的平方和很麻烦，就倒用了平方差公式，先算
392-362=(39-36)(39+36)=225=152
师：很好啊。思维真灵活啊。公式a2+b2= c2当然可以变形为c2–b2=a2，同时你还注意到公式的倒用，真是了不起啊。其他同学会了吗？
生：会了。
师：第二组数可以作为直角三角形的三边长，可为什么不是勾股数呢？
生己：因为满足a2+b2= c2条件的三个数就可以作为三角形的三边长，而勾股数必须是满足上面条件的三个正整数。
师：真不错啊，你学习勾股数的概念是抓住了关键啊。我们学习有关概念就应当这样学习的。
2．如果将直角三角形的三条边长同时扩大一个相同的倍数，得到的三角形还是直角三角形吗？填写下表，并计算第一列每组数是否为勾股数，它们的2倍、3倍、10倍呢？对于勾股数你会有什么猜想？
3.如图3，⊿ABC中，AB=6，AC=8，BC=10,AD是BC边上的高，求AD.
[设计意图]：“人人参与有价值的练习,人人都能获得必需的练习,不同的人在练习中得到不同的发展。”是我根据新课标的基本理念在课堂中所追求的。通过上面的练习，强化学生对判别条件和勾股数的概念的掌握，使学生系统的巩固所学知识。学生根据自己的实际情况多能多得，人人都能得到最大的发展。
（四）自我評价，检测反馈。
1．学习体会，本节课学习你有哪些收获，还有哪些疑惑？
[设计意图]：通过思考，使学生明确这节课学了什么内容，自己掌握了吗？培养学生的归纳表达、分析概括能力，并使学生头脑中的知识结构更加清晰。
2. 当堂检测
下面几组数中，不能作为直角三角形三边长的是（）
A9,12,15B8,15,17 C2,4.8,5.2 D7,12,15
如图4，小明要检验桌子表面的AD边是否垂直于AB边，他用皮尺量得AD长60厘米，AB长45厘米，他还要怎样做，才能得到正确的结论呢？
[设计意图]：课堂教学的检测是教学过程中必不可少的环节,是课堂教学的有机整体,它能促进学生对知识与技能的掌握及自身素质的发展。检测对于师生双方都起着反馈信息的作用，通过检测，教师了解了学生掌握知识的情况，并会反思自己的教学，以争取更高效的教学活动。而学生通过检测，明确自己知识的掌握情况、灵活运用的情况，会在今后的学习中发扬自己的优点，有针对性的改正缺点，以取得更有效地发展。针对这些要求，我设计的两个练习中第一个练习，是考察学生基础掌握情况，而第二个练习，则是考察学生灵活应用知识的能力。
六、教后反思
本节教学中，我力争做到教与学的活动建立在学生的认知发展水平和已有经验的基础上，充分发挥学生的积极性和求知欲望，向学生提供了从事数学活动的机会，构建了学生自主探究、合作实践与交流的平台；教学中，我恰当的评价学生的学习过程，不仅关注学生在学习过程中的表现行为、态度情感，更关注对学生激励评价及学生的自我评价感受。我精细准备的导学案，在授课中起到了使学生掌握基础和发展能力并行的效果。学生通过学习，很好的掌握了本节的重点知识，数学思维有了一定的发展，教学目标基本达成。美中不足的是不能很好的体现数形结合的思想，需要在数学思想方法方面更加努力。
（编辑王立建）
关键词 学情教法和谐高效思维对话
一、教材与学情分析
（一）教材。
本节课是鲁教版七年级数学上册第二章《勾股定理》中第2节课内容。在循序渐进、螺旋上升原则的指导下，本章第1节通过数方格和割补图形的方法得到了勾股定理，本节则通过代数计算和作图验证的方法获得了一个三角形是直角三角形的有关边的条件，即勾股定理的逆定理。在设计上，让学生自主探索、实践验证，即加深了基础知识的掌握，又发展了合情推理能力，体会数形结合的思想。同时，教材在引入课题和例题设计上，重视体现所授知识的文化价值和实际应用，在提高学生学习兴趣的同时，又凸显了“人人学有价值的数学”的数学教育价值观，实现了三维目标的有机结合。
本节的教学重点：使学生掌握直角三角形的判别条件，即勾股定理的逆定理，并能进行简单的应用。教学难点：在实际问题中，准确地用数学符号语言表述判别条件以解决问题。
（二）学情。
学生在第1节的学习中，已经掌握了直角三角形三边的数量关系，这为本节学生自主探索给出的三个数之间存在的等量关系打下了坚实的基础。同时，在前面的学习中，学生的自主探究、合作交流的能力都得到一定的训练，在本节中，将进一步培养学生这些方面的能力。在学生的练习中发现不少学生不能用较准确地数学符号语言表述学过的知识来解决问题，因此本节继续加强这方面的教学和练习。
二、教学目标
（一）知识技能。
使学生掌握直角三角形的判别条件，并能进行简单的应用，同时，能熟记一些常用的勾股数。
（二）过程方法。
经历探索一个三角形是直角三角形的条件的过程，发展合情推理能力，体会数形结合的思想。
（三）情感态度与价值观。
通过介绍有关的历史资料，使学生感受所学知识的文化价值，激发学习的兴趣和解决问题的愿望。
三、教法和学法设计
（一）教法设计。
新课程教学理念特别关注探究学习，要求学生主动探究，获取知识，发展能力，逐步培养探索精神和创新意识。因此，本节主要采用自主探究的教学方法，充分发挥学生的主观能动性，在学习中教师只作适当的组织、引导，并且根据课堂的进度，教师有针对性的提出设问，引导学生更加深入的探究，思考，充分体现和谐高效，思维对话的理念。
（二）学法设计。
我国教育的指导思想是人的全面发展理论，强调主体发展是教育的最高目的。建构主义“学与教”理论也强调以学生为中心，要求学生由外部刺激的被动接受者和知识的灌输对象转变为信息加工的主体、知识意义的主动建构者。由此可知，教学的最高技巧在于，使学生能主动地借助已有的知识去获得新的知识，并能在知识的建构过程中，各方面的能力得到一定的发展和进步。因此，课堂上，可以利用学生已有的知识及其好奇心设疑、解惑，从而组织生动活泼的教学活动，促使学生积极参与、大胆猜想，使学生在自主探索和合作交流中发现问题、分析问题、解决问题，达到掌握本节知识的目标。
四、教学资源
多媒体及白板
五、教学实施过程
本节教学将按以下四个环节展开
（一）提出问题，自主探究。
1．知识回顾。
师：请回顾勾股定理的内容，举手回答。
生：认真回顾，然后抢答。
[设计意图]：组织教学，带动学生进入学习状态；及时复习学过的内容，并为本节探索给出的三个数之间的数量关系以铺垫。
2.创设情境，导入新课。
一个零件的形状如图1所示，技术员量得这个零件各边尺寸如图2所示，就能肯定∠A和∠DBC都是直角，这是为什么呢？
学过本节勾股数的知识，同学们就能轻松地解决这一问题了。
[设计意图]：爱因斯坦说过：“兴趣是最好的老师。”，通过问题情境，激发学生的求知欲，使得学生积极主动的投入到学习中，充分发挥学生的主体地位。同时，情境问题紧扣课题重点，并点明了知识的应用，学生明确了学什么，为什么要学，在学习中会起到事半功倍的效果。
3.运用你的才能，解决下面的问题。
1)下面的三組数中，每组中的三个数之间有怎样的等量关系？
A. 3 4 5B. 6 8 10 C. 5 1213
2)分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？
3)根据上面的实验，你能得到一个什么样的结论？请用文字语言表述。
[设计意图]：根据《新课标》要求：学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的；有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆 ，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。由此我设计了上面3个问题，通过这3个问题，学生经历一定的思维过程，通过计算、操作验证、归纳猜想获得了对所要学的知识的初步认识。在此过程中，学生成了数学学习的主人，并能很好的发展推理能力和空间观念。
（二）合作交流，成果展示。
1.学生先交流上面3中1)的结论，然后继续下面两问的学习。
2.用实物展台展示学生的作品，及时予以肯定和表扬。
3.师：请同学们表述一下自己发现的结论。
生甲：如果三角形两条直角边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
师：一开始，你不知道这是直角三角形，怎么能说它的边是直角边呢？
生甲：如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
师：很好，表述语言简练而准确。
师：上面的结论我是这么记忆：如果三角形两条较小边的平方和等于最大边的平方，那么这个三角形是直角三角形。这样记忆的优点是我们应用的时候会很方便，稍后请同学们尝试一下。
师：习惯上，我们用a、b表示两条较小的边，用c表示最大边，那么上面的结论用数学符号语言怎么表述？
生乙：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。
师：很好。对于这个结论谁还有疑问吗？
生丙：老师，我们用几个例子得出这个结论能肯定正确吗？
师：丙同学很有数学思维，老师很欣赏你。我们得出的这个结论是正确的，因为在初三我们会学习这个结论的证明，而经过证明的结论就是正确的。
师：还有问题吗？没有了？那我问同学们一个问题：到现在为止，你学了哪些判断一个三角形是直角三角形的方法？
生丁：两种。一是：有一个角是直角的三角形是直角三角形。二是今天学的。
师：很好。丁同学很善于把所学的知识进行联系归纳，我们同学头脑中已经储存有很多知识，在学习新的知识后，要善于与已有的知识联系，这样才能掌握得牢、快。
师：现在，我们可以解决一开始的问题了。
学生给出答案，教师强调步骤。
师：用上面的判别方法判别一个三角形是直角三角形，主要的步骤是：首先计算a2+b2，接着计算c2 ，再看a2+b2是否等于c2，若相等，就做出是的结论。
学生记忆后，给出勾股数的概念。
师：我们今天学的知识，在古代，埃及人和中国人就已经掌握并可以应用于实际生活中了，同学们阅读课本提出的问题，小组内解决。
师：通过上面的例子，我们可以发现勾股定理和今天学习的判别方法在现实中有着广泛的应用和悠久的历史，它们的发现和应用水平也是评价一个民族文明的一个标志。这样的知识，下面我们就通过练习来掌握它。
[设计意图]：在上面的环节中，通过展示学生作品，让学生积极参与到学习中，并通过师生交流，及时发现学生的优点，予以肯定、表扬，使学生感受到成功的快乐，享受和谐的数学课堂。接着教师和学生进行思维对话，先通过直观准确地文字语言掌握重点，然后上升到符号语言，达到知识的符号化。在此过程中，使学生的才能得到充分的展示，并在潜移默化中强化学生的数学思维的严谨和逻辑性，同时帮助学生把新的知识融入到已有知识结构中，达到了使学生在自身现有水平的基础上得到最大的发展的目的。掌握了基础，在教师的强调中，水到渠成地突破了难点，实现高效、发展学生能力的目标。最后，解决课本的情境问题，凸显知识的价值，实现课堂三维目标的统一。
（三）应用新知，解决问题。
1．下列4组数中哪几组数能作为直角三角形的三边长，能的几组数中，哪些是勾股数？哪些不是？说说你的理由。
(1) 15,36,39(2) 0.7,2.4,2.5 (3) 6,9,11 (4) 6,8,10
学生练习后，教师立即点评。
师：判断第一组数，老师发现有更灵活、更快捷的方法，哪位同学也找到了这种方法，请说一下。
生戊：我发现计算三个数的平方和很麻烦，就倒用了平方差公式，先算
392-362=(39-36)(39+36)=225=152
师：很好啊。思维真灵活啊。公式a2+b2= c2当然可以变形为c2–b2=a2，同时你还注意到公式的倒用，真是了不起啊。其他同学会了吗？
生：会了。
师：第二组数可以作为直角三角形的三边长，可为什么不是勾股数呢？
生己：因为满足a2+b2= c2条件的三个数就可以作为三角形的三边长，而勾股数必须是满足上面条件的三个正整数。
师：真不错啊，你学习勾股数的概念是抓住了关键啊。我们学习有关概念就应当这样学习的。
2．如果将直角三角形的三条边长同时扩大一个相同的倍数，得到的三角形还是直角三角形吗？填写下表，并计算第一列每组数是否为勾股数，它们的2倍、3倍、10倍呢？对于勾股数你会有什么猜想？
3.如图3，⊿ABC中，AB=6，AC=8，BC=10,AD是BC边上的高，求AD.
[设计意图]：“人人参与有价值的练习,人人都能获得必需的练习,不同的人在练习中得到不同的发展。”是我根据新课标的基本理念在课堂中所追求的。通过上面的练习，强化学生对判别条件和勾股数的概念的掌握，使学生系统的巩固所学知识。学生根据自己的实际情况多能多得，人人都能得到最大的发展。
（四）自我評价，检测反馈。
1．学习体会，本节课学习你有哪些收获，还有哪些疑惑？
[设计意图]：通过思考，使学生明确这节课学了什么内容，自己掌握了吗？培养学生的归纳表达、分析概括能力，并使学生头脑中的知识结构更加清晰。
2. 当堂检测
下面几组数中，不能作为直角三角形三边长的是（）
A9,12,15B8,15,17 C2,4.8,5.2 D7,12,15
如图4，小明要检验桌子表面的AD边是否垂直于AB边，他用皮尺量得AD长60厘米，AB长45厘米，他还要怎样做，才能得到正确的结论呢？
[设计意图]：课堂教学的检测是教学过程中必不可少的环节,是课堂教学的有机整体,它能促进学生对知识与技能的掌握及自身素质的发展。检测对于师生双方都起着反馈信息的作用，通过检测，教师了解了学生掌握知识的情况，并会反思自己的教学，以争取更高效的教学活动。而学生通过检测，明确自己知识的掌握情况、灵活运用的情况，会在今后的学习中发扬自己的优点，有针对性的改正缺点，以取得更有效地发展。针对这些要求，我设计的两个练习中第一个练习，是考察学生基础掌握情况，而第二个练习，则是考察学生灵活应用知识的能力。
六、教后反思
本节教学中，我力争做到教与学的活动建立在学生的认知发展水平和已有经验的基础上，充分发挥学生的积极性和求知欲望，向学生提供了从事数学活动的机会，构建了学生自主探究、合作实践与交流的平台；教学中，我恰当的评价学生的学习过程，不仅关注学生在学习过程中的表现行为、态度情感，更关注对学生激励评价及学生的自我评价感受。我精细准备的导学案，在授课中起到了使学生掌握基础和发展能力并行的效果。学生通过学习，很好的掌握了本节的重点知识，数学思维有了一定的发展，教学目标基本达成。美中不足的是不能很好的体现数形结合的思想，需要在数学思想方法方面更加努力。
（编辑王立建）