论文部分内容阅读
[摘 要] 等腰三角形是特殊的三角形，是平面几何学研究的重要图形之一，本文通过对等腰三角形性质教学同课异构的比较研究，寻找最佳的教学设计，提高几何教学的有效性.
[关键词] 等腰三角形；猜想；探究；比较研究
平面几何学是研究图形形状、大小和相互位置关系发生变化下不变性质的科学. 三角形是最基本的几何图形，许多复杂图形的问题都可转化为以三角形为工具进行研究的问题，因此三角形知识是初中平面几何教学的重点之一. 等腰三角形是一类特殊的三角形，是继三角形一般性质研究后，重点研究的三角形. 因为等腰三角形的性质可借助全等三角形的理论加以研究，故教材把其放在全等三角形学习之后进行. 等腰三角形教学是初中几何内容教学的转折点，学生经过平行线和全等三角形学习后，具备了一定的推理论证基础，等腰三角形是学生经历以全等三角形为工具研究几何学的开端. 同时等腰三角形是后续研究线段垂直平分线、垂径定理等的基础. 通过等腰三角形的学习，一是可积累运用全等三角形理论研究几何学的经验，为后续研究四边形打好基础；二是进一步丰富学生证明角相等、线段相等和垂直的方法；三是学生第一次经历运用推理论证方法研究图形性质，对研究几何学经验积累非常重要. 那么在等腰三角形性质教学中，怎样进行教学设计才能达到课标的要求呢？本文选取两段等腰三角形性质教学实况进行比较研究，以找到最佳的教学设计.
“两底角相等”教学
1. 教学过程
（1）教师A的教学过程
在复习等腰三角形概念的基础上，引入课题，然后展示一个准备好的如图1所示的等腰三角形纸片，并指出所谓性质是指边与边、角与角、边与角等关系及图形的对称性等，首先来研究等腰三角形边有什么性质. 教师提出等腰三角形的两条腰相等，由此来引导学生观察图形，猜想等腰三角形两底角之间的关系. 然后引导学生用准备好的等腰三角形纸片进行翻折加以验证，再由教师引导学生运用规范的语言得出等腰三角形的两底角相等. 最后，引导学生运用逻辑推理的方法证明定理.
（2）教师B的教学过程
首先让学生在练习本上用直尺、圆规画一个等腰三角形，然后教师设问：如果让你研究等腰三角形的性质，你会从哪些方面进行研究？学生回答：可从两个底角出发研究，从等腰三角形两腰上的中线研究，还可以从等腰三角形顶角平分线、底边上的高及底边上的中线加以研究等. 教师总结归纳并加以表扬，提出我们现在主要从两底角关系，顶角平分线、底边上的中线、底边上的高加以研究，缩小研究的范围. 接着用准备好的等腰三角形纸片对折来研究两底角的关系与顶角平分线、底边上的中线、底边上的高之间的关系，中间有学生小组讨论，最后把命题用规范的推理进行证明.
2. “两底角相等”教学比较研究
相同点是两位教师的教学过程基本上是相同的. 运用的都是首先观察猜想，点燃学生的求知欲望，然后运用等腰三角形纸片进行操作验证，并由此得出两底角相等，最后引导学生探究，通过全等三角形证明命题的正确性. 上海市数学课程标准实验稿指出：让学生经历从直观经验几何、实验几何到推理几何的演进过程. 因此两位教师的教学符合课程标准的理念要求.
不同的是，A教师在等腰三角形性质观察前，就首先确定从等腰三角形的几个要素上去研究其性质；B教师则没有提前给学生画一个等腰三角形，而是让学生自己根据经验确定从哪些要素上去研究等腰三角形的性质. 这两种不同的处理方法，哪种对培养学生的思维能力和创新能力更有利呢？显然，A教师在学生观察前，就确定了让学生进行重点观察的方向，这样学生在观察时，就有了明确的目标，更容易直接发现等腰三角形的两个底角相等. 而B教师则把重点放在了发挥学生的主观能动性及研究问题能力的培养上，让学生自由发挥，开阔思维，把学生放在了研究问题的主体上. 学生可根据观察，发挥自身的聪明才智，激活潜伏在自己头脑中数学家的思维，进行创新，发表自己的观点. 两位教师的处理方法都符合课程标准的理念，学生作为课堂的主人，认知的主体，让他们去发现问题，研究问题，从而提高学生的创新能力. 但在具体教学中，要根据学生的能力，才能确定运用哪种方式更好. 如果学生认知能力比较强则选B教师的方法，如果学生认知能力达不到要求，选择A教师的方法. 但笔者的教学实践表明，一是学生在學习等腰三角形的性质前，只是有全等三角形的一些知识，还没有真正地研究过某个具体的几何图形，因此对研究几何图形方法的认知基本是空白的，不能进行类比. 二是依据范希尔的几何思维层次理论，学生在学习等腰三角形时，思维基本停留在二级水平，达不到运用几何概念、公理、定理研究几何图形性质的水平，还停留在直观水平. 因此在教学过程中对学生要多加启发，才能达到理想的教学目的.
“三线合一”教学
1. 教学过程
（1）教师A的教学过程
在前面研究了等腰三角形第一个性质的基础上，设问等腰三角形还有其他的性质吗？并提出问题：我们是利用△ABD≌△ACD得到了∠B=∠C，还可以得出其他结论吗？然后进行小组讨论，得出等腰三角形三线合一的性质，并引导学生通过推理论证的方法加以证明.
（2）教师B的教学过程
在探究等腰三角形两底角相等的对折过程中，由学生同时发现等腰三角形三线合一的性质，然后加以启发引导，证明命题的正确性.
2. “三线合一”教学比较研究
相同点是两位教师引导学生证明的过程是相同的.
不同点在于，教师A对三线合一的性质获得是运用学生在探究问题过程中，发现问题的方法进行处理的，通过小组合作讨论的形式完成. 应该说数学中有很多的定理以及新的发现都是人们在探究问题的过程中被发现的，这也是培养学生发现问题、提出问题很好的方法. 这一点在数学的发展史上得到了证明，如费马大定理的证明过程就充分说明了这一点. 希尔伯特说：费马大定理是“一只会下蛋的鸡”，数学家在研究费马大定理的过程中，发现了很多新的数学规律. 可见在探究过程中，提出猜想是科学向前发展的重要途径之一. B教师是运用观察操作发现的方法，发现问题. 总的来说这两种方法都是比较好的研究问题的方法. 研究结论与思考
第一，两位教师都能依据新的课程标准理念进行平面几何的教学，教学中充分地发挥学生的主体地位，创设认知情境，学生主动地进行认知，建构几何认知结构，并使学生经历知识的发生、发展、形成过程. 苏霍姆林斯基说，“人的内心里有一种根深蒂固的需要，总想感到自己是发现者、研究者、探寻者”，学生亲自体验“实验—归纳—猜测—论证”的过程，能够感受数学发现、创造的历程. 在创设的情境中，激活学生的求知欲望，通过猜想点燃学生心中发现者的火花，再经过操作验证，最后经逻辑推理证明自己的猜想，使自己的梦想变为了现实. 同时，使学生对几何知识的发生发展过程有了亲身体验，丰富了学生的过程性知识.
第二，两位教师在教学过程中时刻注意培养学生的数学思想方法. 此课中，通过添加辅助线转化问题，把说明角相等的问题转化为说明三角形全等的问题. 数学思想方法是数学的灵魂，是人类长期实践总结出来的基本方法，教学中要特别加以培养. 另外，两位教师都非常注重培养学生几何语言的表达能力，都规范地让学生掌握一个文字叙述的几何命题证明过程. 教学实践表明，文字叙述的几何命题的证明是教学中的难点，因为没有图形，已知、求证要由学生独立完成，所以教学中要加以培养. 再者，两位教师均选用了启发式与小组讨论相结合的方法进行教学，对本节课来说这是比较科学的教学方法.
第三，两位教师在教学过程中，A教师运用的是顶角为锐角的等腰三角形，B教师运用的是顶角为钝角的等腰三角形，这样对学生来说都容易形成一种思维定式. 因此教学过程中，学生观察时，应提供顶角为锐角和顶角为钝角的两种等腰三角形，以使学生充分感知，明白等腰三角形分顶角为锐角和钝角两类，以利于后续分类讨论问题. 在等腰三角形三线合一性质获得后，教师可运用几何画板软件制作一个三线合一的动画，让学生观察，丰富学生的表象表征. 演示一个三角形一边上的三个主要线段，原本分开，当拖动顶点变化时，三个主要线段跟着变化，当三角形顶点拖到某个位置，变为等腰三角形时，三条线段变为一条，然后继续拖动顶点，使三条线段再次分开. 这样以使学生能够更加充分地对性质2进行多元表征，形成动画表象与图形表象和语言文字表征.
第四，在探索等腰三角形三線合一定理的过程中，还可以运用如下方法，有利于学生发现三线合一性质. 当学生添加顶角平分线AD后，证明了性质1，教师可引导学生一题多解，除了添加顶角平分线，还可以如何添加辅助线？让学生思考，学生会考虑添底边上的中线或底边上的高，并且会发现底边上的中线是可以的（上教版教材两直角三角形全等判定在此节后面），获得两种证明等腰三角形两底角相等的方法，此时教师设问：为什么两种方法都可证明两个三角形全等，即△ABD≌△ACD，从而得到∠B=∠C，所添辅助线的本质是否相同？这样让学生思考，学生会总结出，原来添加的两条辅助线其本质是同一条线段，进而类比发现高线也与顶角平分线重合，并总结出等腰三角形三线合一的性质. 即进行了一题多解，培养了学生的发散思维能力，同时又能使学生在总结顶角平分线与底边上中线重合的情况下，类比发现高线与顶角平分线重合，培养学生类比创新能力.
[关键词] 等腰三角形；猜想；探究；比较研究
平面几何学是研究图形形状、大小和相互位置关系发生变化下不变性质的科学. 三角形是最基本的几何图形，许多复杂图形的问题都可转化为以三角形为工具进行研究的问题，因此三角形知识是初中平面几何教学的重点之一. 等腰三角形是一类特殊的三角形，是继三角形一般性质研究后，重点研究的三角形. 因为等腰三角形的性质可借助全等三角形的理论加以研究，故教材把其放在全等三角形学习之后进行. 等腰三角形教学是初中几何内容教学的转折点，学生经过平行线和全等三角形学习后，具备了一定的推理论证基础，等腰三角形是学生经历以全等三角形为工具研究几何学的开端. 同时等腰三角形是后续研究线段垂直平分线、垂径定理等的基础. 通过等腰三角形的学习，一是可积累运用全等三角形理论研究几何学的经验，为后续研究四边形打好基础；二是进一步丰富学生证明角相等、线段相等和垂直的方法；三是学生第一次经历运用推理论证方法研究图形性质，对研究几何学经验积累非常重要. 那么在等腰三角形性质教学中，怎样进行教学设计才能达到课标的要求呢？本文选取两段等腰三角形性质教学实况进行比较研究，以找到最佳的教学设计.
“两底角相等”教学
1. 教学过程
（1）教师A的教学过程
在复习等腰三角形概念的基础上，引入课题，然后展示一个准备好的如图1所示的等腰三角形纸片，并指出所谓性质是指边与边、角与角、边与角等关系及图形的对称性等，首先来研究等腰三角形边有什么性质. 教师提出等腰三角形的两条腰相等，由此来引导学生观察图形，猜想等腰三角形两底角之间的关系. 然后引导学生用准备好的等腰三角形纸片进行翻折加以验证，再由教师引导学生运用规范的语言得出等腰三角形的两底角相等. 最后，引导学生运用逻辑推理的方法证明定理.
（2）教师B的教学过程
首先让学生在练习本上用直尺、圆规画一个等腰三角形，然后教师设问：如果让你研究等腰三角形的性质，你会从哪些方面进行研究？学生回答：可从两个底角出发研究，从等腰三角形两腰上的中线研究，还可以从等腰三角形顶角平分线、底边上的高及底边上的中线加以研究等. 教师总结归纳并加以表扬，提出我们现在主要从两底角关系，顶角平分线、底边上的中线、底边上的高加以研究，缩小研究的范围. 接着用准备好的等腰三角形纸片对折来研究两底角的关系与顶角平分线、底边上的中线、底边上的高之间的关系，中间有学生小组讨论，最后把命题用规范的推理进行证明.
2. “两底角相等”教学比较研究
相同点是两位教师的教学过程基本上是相同的. 运用的都是首先观察猜想，点燃学生的求知欲望，然后运用等腰三角形纸片进行操作验证，并由此得出两底角相等，最后引导学生探究，通过全等三角形证明命题的正确性. 上海市数学课程标准实验稿指出：让学生经历从直观经验几何、实验几何到推理几何的演进过程. 因此两位教师的教学符合课程标准的理念要求.
不同的是，A教师在等腰三角形性质观察前，就首先确定从等腰三角形的几个要素上去研究其性质；B教师则没有提前给学生画一个等腰三角形，而是让学生自己根据经验确定从哪些要素上去研究等腰三角形的性质. 这两种不同的处理方法，哪种对培养学生的思维能力和创新能力更有利呢？显然，A教师在学生观察前，就确定了让学生进行重点观察的方向，这样学生在观察时，就有了明确的目标，更容易直接发现等腰三角形的两个底角相等. 而B教师则把重点放在了发挥学生的主观能动性及研究问题能力的培养上，让学生自由发挥，开阔思维，把学生放在了研究问题的主体上. 学生可根据观察，发挥自身的聪明才智，激活潜伏在自己头脑中数学家的思维，进行创新，发表自己的观点. 两位教师的处理方法都符合课程标准的理念，学生作为课堂的主人，认知的主体，让他们去发现问题，研究问题，从而提高学生的创新能力. 但在具体教学中，要根据学生的能力，才能确定运用哪种方式更好. 如果学生认知能力比较强则选B教师的方法，如果学生认知能力达不到要求，选择A教师的方法. 但笔者的教学实践表明，一是学生在學习等腰三角形的性质前，只是有全等三角形的一些知识，还没有真正地研究过某个具体的几何图形，因此对研究几何图形方法的认知基本是空白的，不能进行类比. 二是依据范希尔的几何思维层次理论，学生在学习等腰三角形时，思维基本停留在二级水平，达不到运用几何概念、公理、定理研究几何图形性质的水平，还停留在直观水平. 因此在教学过程中对学生要多加启发，才能达到理想的教学目的.
“三线合一”教学
1. 教学过程
（1）教师A的教学过程
在前面研究了等腰三角形第一个性质的基础上，设问等腰三角形还有其他的性质吗？并提出问题：我们是利用△ABD≌△ACD得到了∠B=∠C，还可以得出其他结论吗？然后进行小组讨论，得出等腰三角形三线合一的性质，并引导学生通过推理论证的方法加以证明.
（2）教师B的教学过程
在探究等腰三角形两底角相等的对折过程中，由学生同时发现等腰三角形三线合一的性质，然后加以启发引导，证明命题的正确性.
2. “三线合一”教学比较研究
相同点是两位教师引导学生证明的过程是相同的.
不同点在于，教师A对三线合一的性质获得是运用学生在探究问题过程中，发现问题的方法进行处理的，通过小组合作讨论的形式完成. 应该说数学中有很多的定理以及新的发现都是人们在探究问题的过程中被发现的，这也是培养学生发现问题、提出问题很好的方法. 这一点在数学的发展史上得到了证明，如费马大定理的证明过程就充分说明了这一点. 希尔伯特说：费马大定理是“一只会下蛋的鸡”，数学家在研究费马大定理的过程中，发现了很多新的数学规律. 可见在探究过程中，提出猜想是科学向前发展的重要途径之一. B教师是运用观察操作发现的方法，发现问题. 总的来说这两种方法都是比较好的研究问题的方法. 研究结论与思考
第一，两位教师都能依据新的课程标准理念进行平面几何的教学，教学中充分地发挥学生的主体地位，创设认知情境，学生主动地进行认知，建构几何认知结构，并使学生经历知识的发生、发展、形成过程. 苏霍姆林斯基说，“人的内心里有一种根深蒂固的需要，总想感到自己是发现者、研究者、探寻者”，学生亲自体验“实验—归纳—猜测—论证”的过程，能够感受数学发现、创造的历程. 在创设的情境中，激活学生的求知欲望，通过猜想点燃学生心中发现者的火花，再经过操作验证，最后经逻辑推理证明自己的猜想，使自己的梦想变为了现实. 同时，使学生对几何知识的发生发展过程有了亲身体验，丰富了学生的过程性知识.
第二，两位教师在教学过程中时刻注意培养学生的数学思想方法. 此课中，通过添加辅助线转化问题，把说明角相等的问题转化为说明三角形全等的问题. 数学思想方法是数学的灵魂，是人类长期实践总结出来的基本方法，教学中要特别加以培养. 另外，两位教师都非常注重培养学生几何语言的表达能力，都规范地让学生掌握一个文字叙述的几何命题证明过程. 教学实践表明，文字叙述的几何命题的证明是教学中的难点，因为没有图形，已知、求证要由学生独立完成，所以教学中要加以培养. 再者，两位教师均选用了启发式与小组讨论相结合的方法进行教学，对本节课来说这是比较科学的教学方法.
第三，两位教师在教学过程中，A教师运用的是顶角为锐角的等腰三角形，B教师运用的是顶角为钝角的等腰三角形，这样对学生来说都容易形成一种思维定式. 因此教学过程中，学生观察时，应提供顶角为锐角和顶角为钝角的两种等腰三角形，以使学生充分感知，明白等腰三角形分顶角为锐角和钝角两类，以利于后续分类讨论问题. 在等腰三角形三线合一性质获得后，教师可运用几何画板软件制作一个三线合一的动画，让学生观察，丰富学生的表象表征. 演示一个三角形一边上的三个主要线段，原本分开，当拖动顶点变化时，三个主要线段跟着变化，当三角形顶点拖到某个位置，变为等腰三角形时，三条线段变为一条，然后继续拖动顶点，使三条线段再次分开. 这样以使学生能够更加充分地对性质2进行多元表征，形成动画表象与图形表象和语言文字表征.
第四，在探索等腰三角形三線合一定理的过程中，还可以运用如下方法，有利于学生发现三线合一性质. 当学生添加顶角平分线AD后，证明了性质1，教师可引导学生一题多解，除了添加顶角平分线，还可以如何添加辅助线？让学生思考，学生会考虑添底边上的中线或底边上的高，并且会发现底边上的中线是可以的（上教版教材两直角三角形全等判定在此节后面），获得两种证明等腰三角形两底角相等的方法，此时教师设问：为什么两种方法都可证明两个三角形全等，即△ABD≌△ACD，从而得到∠B=∠C，所添辅助线的本质是否相同？这样让学生思考，学生会总结出，原来添加的两条辅助线其本质是同一条线段，进而类比发现高线也与顶角平分线重合，并总结出等腰三角形三线合一的性质. 即进行了一题多解，培养了学生的发散思维能力，同时又能使学生在总结顶角平分线与底边上中线重合的情况下，类比发现高线与顶角平分线重合，培养学生类比创新能力.