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【内容摘要】
从《孙子算经》至今，一千五百年来对《鸡兔同笼》的研究历久弥新，究竟有何魅力？从俞正强老师对本节课的设计思路“罗列方法，回顾历程；解读方法，沟通联系；感悟方法，一脉相承”中，我们感受到一课三境：参禅之初，看山是山，看水是水；禅有悟时，看山不是山，看水不是水；禅中彻悟，看山仍是山，看水仍是水。我们也从中感悟到：在一节复习课中如何“拎一拎”、如何“音声相和”、如何讲一个“数学寓言”。这些应该就是《鸡兔同笼》的魅力所在。
【关键词】一课三境数学寓言
《鸡兔同笼》，古已有之，从《孙子算经》至今，一千五百年来却是历久弥新，究竟有何魅力？笔者有幸聆听了俞正强老师的《鸡兔同笼》一课，隐隐约约觉得找到了一些答案，于是撰写成文，与大家一起分享。
【教学回顾】
宋代禅宗大师青原行思提出参禅的三重境界：参禅之初，看山是山，看水是水；禅有悟时，看山不是山，看水不是水；禅中彻悟，看山仍是山，看水仍是水。俞正强老师的这节课就体现了这三重境界，从罗列方法到沟通联系到一脉相承，正好吻合整个节奏。
一、看山是山，看水是水：罗列方法，回顾历程
1.出示问题
鸡兔有头7个，有脚20只，问有鸡兔各几只？
2.回忆解法
抽生板演，师生共同整理后，呈现出如下方法。
3.命名解法
师生探讨后一致决定：①命名为画图法；②命名为凑数法；③命名为算式法；④命名为方程法。
二、看山不是山，看水不是水：解读方法，沟通联系
1.分类
师：如果想把四种方法分成两类，你会怎么分？
（画外音：学生共出现四种分类方法：①②一类，③④一类；①②③一类，④一类；①一类，②③④一类。①③一类，②④一类。俞老师请学生解释听得懂的分类方法，最后大多数学生集中到第四种，表示不理解。下面的教学就从第四种开始着重使力。）
师：我们不理解，她为什么这么分类，请她说说这么分类的依据是什么？
生：①③都是先假设全是鸡，然后把兔的脚补上。第三种方法就是把第一种方法用算术进行表达。②④两种方法都是在假设。
2.沟通
师：我们来看看道理好不好。
（画外音：师帮生理清思路，让学生发现原来①的每一个图都对应③的每一个算式）
师：第三种就是第一种的算式，画图当中的每一步都对应一个算式。①③归为一类有道理吗？②④类呢？
生：它们也是对应着算式的，x就是鸡，7-x就是兔。
师：如果鸡是1，兔是几？（7-1）；如果鸡是2，兔是几（7-2）；如果鸡是3，兔是几？（7-3）；如果鸡是x，兔是几？（7-x）。每一只鸡都长几只脚（2只），所以要干嘛？（乘2），每一只兔是几只脚？（4只），所以它要乘以4。他发现二、四道理是一样的。所以他把它们归为一类，有没有道理？
3.联结：
师：大家发现没有？我们发现算式法和画图法是紧密联系的，方程法和凑数法是紧密联系的，画图和凑数一类，算式和方程一类，他们的差别是因为难度的差别还是因为什么的差别？
生1：画图、凑数是基础，算式、方程是提高。
生2：我觉得应该是画图、凑数适合数值比较小的，算式、方程适合数值比较大的。
师：我们为什么要提高呢？因为提高的可以对数值大的，而基础的只能对数值小的。后面是提高法，前面是基础法，后面的就是前面的，整个都提高了。同学们，我们通过这样的分类，跟开始上课的感觉一样吗？如果不一样，不一样在哪？
生：上课前觉得画图和凑数应该用不到了，用的是算式和方程。上完后觉得归根结底还是一样的。
师：归根结底还是一样的，他本来把畫图法抛弃了，现在发现其实是同一种方法。
三、看山仍是山，看水仍是水：感悟方法，一脉相承
1.三生万物
师：我们学数学为了什么？六年下来在做同一道题目，数学在干什么？
生：从不同的角度来看同一道题目，然后就会发现很多的新方法。
师：五、六年级这样做。猜猜七、八年级会怎么做？你们还会长大的。
（画外音：学生的猜测主要有两种：一种认为与各年龄段的方法都有联系；一种直接喊出用二元一次方程来解）
师：把七八年级的方法放到画图法和凑数法中来，大家发现画图法和凑数法，其实也是一样的。
生：这5种方法都是类似的。
师：我把它动起来好吧！师边讲边画。
师：上面部分鸡头 兔头=几（7），下面部分鸡脚 兔脚=几（20），这就是七八年级的解法。
2.九九归一
师：到现在为止，你的感觉有了什么变化？这5种方法中，你认为哪种方法是不用教的？
（画外音：学生有如下四种答案：画图法；七八年级的；凑数法；都不用。）
师：方程法不教你们会吗？算式法呢？凑数法呢？画图法不教你们会画吗？
生1：都不用教。
生2：教是不用教的，但老师适当的点拨还是要的。
师：这些方法都跟谁有关？
生：假设。
师：我们表面上看算式法，方程法比较难，细看发现难的就是简单的。今天老师上这节课的目的是什么？你明白我的心吗？
生：打好基础，不要固定思维。
师：无非是一个基础版，一个升级版。很多题目，其实不需要老师那么辛苦，只要稍稍点拨一下，这些话都是你们说的，不是我说的。
【教学赏析】
听完这节课，浮想联翩，对“教无止境”“生生不息”“万物归一”等词觉得异常亲切，因为这节课让我切切实实感悟到了它们的意思。感悟最深的有三点： 一、是一节“拎一拎”的复习课
俞正强老师在《种子课：一个数学特级教师的思与行》一书中指出：“以增强知识的深刻性为目的的复习样式，我们称为拎一拎。”“拎一拎，通常是指提高一下，使学生在复习中有新的认识，新的数学感悟。”“在复习阶段，将许多已学的知识放在一起，通过联结、比较，很容易体会到新的数学。”听了他的《鸡兔同笼》后，感觉这正是对以上这些话的最佳诠释。
“鸡兔同笼”，从解法上而言，不同年龄特点的学生有不同的解法。通过学生的反馈，我们发现：经过六年的学习，回过头去看，学生们习惯了算式法和方程法，画图和凑数这两种方法渐渐离开了学生。为什么会这样呢？究其原因，回想我自己上“鸡兔同笼”的场景，教一种是一种，像猴子下山掰玉米那样，掰一个，扔一个，总觉得后面的方法要比前面的方法好，要先进，根本没有去沟通方法与方法之间的联系，才导致学生们也认为每一种方法都是一种独立的方法造成的。
那怎样在这节复习课中，让学生自己去感悟到方法与方法之间的联系呢？且看俞老师两问：画法、算式法分成一类，凑数法和方程法分成一类，为什么可以这样分？这样分的理由是什么？俞老师这一问，问住了学生，也问住了我们听课的老师，同时问出了这节课的关键。起先，学生一惊，啊？还可以这样分啊，似乎不太明白，后来经过俞老师的一番讲解：把解法和算法系统地联系在一起，比较沟通了方法与方法之间的内在联系，方法不同，道理相通。学生顿悟了，对画图法、凑数法这两种原先鄙视的方法，充满敬意，有些同学虽然说不出，但都已经深刻地体会到：画图法、凑数法是根本，算式法、方程法是延伸，只不过一个是基础版，一个是提高版而已。我想，这就是这节课的复习所在，“新”在想法上，实现了从“通”到“化”的过程，在贯通过程中，学生获得了数学素养的“新”高度。
二、是一次渐入佳境的“音声相和”
干国祥老师在《理想课堂的三重境界》中提出：“理想课堂第一重境界，落实有效教学框架；第二重境界，发掘知识的内在魅力；第三重境界，知识、生活与生命的共鸣。”俞老师的这节课三者皆有，尤其是第三重境界，使我们听得意犹未尽。
让我们来看看他在课堂中抛出的问题：“小朋友，黑板上的问题你会解答吗？”“你觉得哪种最难？哪种最容易？”“把这四种方法分成两类，你会怎么分？”“你对哪种方法最惊讶？”“现在再看四种方法，有什么想说的？”“如果你一种方法都不会，怎么办？”“七八年级会怎么学？”“到现在你有什么数学感受？”“哪种方法不用老师教？”
再来感受一下学生的表情和反应：“哼！”——这也太容易了；“嗯？”——还可以分类呀；“啊？”——还有这种分法；“哦……”——原来是这样；“呀……”——数学太有趣了！这“哼！”“嗯？”“啊？”“哦……”“呀……”不就是《老子》中的“音声相和”吗？这种相互协调、此唱彼和不就是一种灵魂的共鸣吗？
正如有人所言：“数学并不是冷冰冰的图形与数据，而是自然、社会、历史背后的神秘，是人类探索世界过程中发现的最可靠的武器、工具。”“优秀的数学课堂，应该让学生通过学习感受到、理解到他们所使用的、所教学的是曾经被人类视为上帝语言的奇妙的数。”
三、是一個浪漫美丽的“数学寓言”
记得上完课后，浙江省数学教研员斯苗儿老师现场采访学生：“假如二十年后你的孩子要上学了，你会把你的孩子送到俞老师门下吗？”“你觉得鸡和兔会关在一个笼子里吗？”“你觉得我们为什么要学鸡兔同笼？”学生们的回答真实又精彩：“我愿意。”“不会关在一个笼子里。”“我们研究买东西时，告诉总价和铅笔、本子的单价，求各自的数量时就用得着这些方法了。”
我想，俞老师看似简单的课，背后却一点也不简单，短短一节课的时间，学生们在成长，慢慢形成了对数学的认知，他们突然发现，数学学习原来那么有用，可以举一反三，触类旁通。只要改变自己的想法就能用新的方法去解决问题，学习只需要老师稍稍点拨就行了。
我们都听过《农夫与蛇》《东郭先生与狼》等寓言故事，明白了一些道理，但现实生活中农夫是不会把蛇放到怀里的，东郭先生是不会和狼说话的，这些故事只是借例说理。寓言是有所隐含的语言，是寓意于言中。俞老师这节《鸡兔同笼》何尝不是一个数学寓言呢？我们的一节节数学课何尝不是一个个美丽浪漫的寓言呢？
俞老师的课，不仅仅是为数学服务的，更是为了学生成长服务的。通过本节课的教学，修正了学生们对数学的看法和想法，也修正了我的想法。如果每个人都像俞老师这样教学，学生们一定会变得更聪明，如果每个人都像俞老师这么思考，我们一定会变得更通透。
【参考文献】
[1]俞正强.种子课——一个数学特级教师的思与行[M].北京：教育科学出版社，2013，76-77.
[2]干国祥.理想课堂的三重境界[M].北京：文化艺术出版社，2011，82-83.
从《孙子算经》至今，一千五百年来对《鸡兔同笼》的研究历久弥新，究竟有何魅力？从俞正强老师对本节课的设计思路“罗列方法，回顾历程；解读方法，沟通联系；感悟方法，一脉相承”中，我们感受到一课三境：参禅之初，看山是山，看水是水；禅有悟时，看山不是山，看水不是水；禅中彻悟，看山仍是山，看水仍是水。我们也从中感悟到：在一节复习课中如何“拎一拎”、如何“音声相和”、如何讲一个“数学寓言”。这些应该就是《鸡兔同笼》的魅力所在。
【关键词】一课三境数学寓言
《鸡兔同笼》，古已有之，从《孙子算经》至今，一千五百年来却是历久弥新，究竟有何魅力？笔者有幸聆听了俞正强老师的《鸡兔同笼》一课，隐隐约约觉得找到了一些答案，于是撰写成文，与大家一起分享。
【教学回顾】
宋代禅宗大师青原行思提出参禅的三重境界：参禅之初，看山是山，看水是水；禅有悟时，看山不是山，看水不是水；禅中彻悟，看山仍是山，看水仍是水。俞正强老师的这节课就体现了这三重境界，从罗列方法到沟通联系到一脉相承，正好吻合整个节奏。
一、看山是山，看水是水：罗列方法，回顾历程
1.出示问题
鸡兔有头7个，有脚20只，问有鸡兔各几只？
2.回忆解法
抽生板演，师生共同整理后，呈现出如下方法。
3.命名解法
师生探讨后一致决定：①命名为画图法；②命名为凑数法；③命名为算式法；④命名为方程法。
二、看山不是山，看水不是水：解读方法，沟通联系
1.分类
师：如果想把四种方法分成两类，你会怎么分？
（画外音：学生共出现四种分类方法：①②一类，③④一类；①②③一类，④一类；①一类，②③④一类。①③一类，②④一类。俞老师请学生解释听得懂的分类方法，最后大多数学生集中到第四种，表示不理解。下面的教学就从第四种开始着重使力。）
师：我们不理解，她为什么这么分类，请她说说这么分类的依据是什么？
生：①③都是先假设全是鸡，然后把兔的脚补上。第三种方法就是把第一种方法用算术进行表达。②④两种方法都是在假设。
2.沟通
师：我们来看看道理好不好。
（画外音：师帮生理清思路，让学生发现原来①的每一个图都对应③的每一个算式）
师：第三种就是第一种的算式，画图当中的每一步都对应一个算式。①③归为一类有道理吗？②④类呢？
生：它们也是对应着算式的，x就是鸡，7-x就是兔。
师：如果鸡是1，兔是几？（7-1）；如果鸡是2，兔是几（7-2）；如果鸡是3，兔是几？（7-3）；如果鸡是x，兔是几？（7-x）。每一只鸡都长几只脚（2只），所以要干嘛？（乘2），每一只兔是几只脚？（4只），所以它要乘以4。他发现二、四道理是一样的。所以他把它们归为一类，有没有道理？
3.联结：
师：大家发现没有？我们发现算式法和画图法是紧密联系的，方程法和凑数法是紧密联系的，画图和凑数一类，算式和方程一类，他们的差别是因为难度的差别还是因为什么的差别？
生1：画图、凑数是基础，算式、方程是提高。
生2：我觉得应该是画图、凑数适合数值比较小的，算式、方程适合数值比较大的。
师：我们为什么要提高呢？因为提高的可以对数值大的，而基础的只能对数值小的。后面是提高法，前面是基础法，后面的就是前面的，整个都提高了。同学们，我们通过这样的分类，跟开始上课的感觉一样吗？如果不一样，不一样在哪？
生：上课前觉得画图和凑数应该用不到了，用的是算式和方程。上完后觉得归根结底还是一样的。
师：归根结底还是一样的，他本来把畫图法抛弃了，现在发现其实是同一种方法。
三、看山仍是山，看水仍是水：感悟方法，一脉相承
1.三生万物
师：我们学数学为了什么？六年下来在做同一道题目，数学在干什么？
生：从不同的角度来看同一道题目，然后就会发现很多的新方法。
师：五、六年级这样做。猜猜七、八年级会怎么做？你们还会长大的。
（画外音：学生的猜测主要有两种：一种认为与各年龄段的方法都有联系；一种直接喊出用二元一次方程来解）
师：把七八年级的方法放到画图法和凑数法中来，大家发现画图法和凑数法，其实也是一样的。
生：这5种方法都是类似的。
师：我把它动起来好吧！师边讲边画。
师：上面部分鸡头 兔头=几（7），下面部分鸡脚 兔脚=几（20），这就是七八年级的解法。
2.九九归一
师：到现在为止，你的感觉有了什么变化？这5种方法中，你认为哪种方法是不用教的？
（画外音：学生有如下四种答案：画图法；七八年级的；凑数法；都不用。）
师：方程法不教你们会吗？算式法呢？凑数法呢？画图法不教你们会画吗？
生1：都不用教。
生2：教是不用教的，但老师适当的点拨还是要的。
师：这些方法都跟谁有关？
生：假设。
师：我们表面上看算式法，方程法比较难，细看发现难的就是简单的。今天老师上这节课的目的是什么？你明白我的心吗？
生：打好基础，不要固定思维。
师：无非是一个基础版，一个升级版。很多题目，其实不需要老师那么辛苦，只要稍稍点拨一下，这些话都是你们说的，不是我说的。
【教学赏析】
听完这节课，浮想联翩，对“教无止境”“生生不息”“万物归一”等词觉得异常亲切，因为这节课让我切切实实感悟到了它们的意思。感悟最深的有三点： 一、是一节“拎一拎”的复习课
俞正强老师在《种子课：一个数学特级教师的思与行》一书中指出：“以增强知识的深刻性为目的的复习样式，我们称为拎一拎。”“拎一拎，通常是指提高一下，使学生在复习中有新的认识，新的数学感悟。”“在复习阶段，将许多已学的知识放在一起，通过联结、比较，很容易体会到新的数学。”听了他的《鸡兔同笼》后，感觉这正是对以上这些话的最佳诠释。
“鸡兔同笼”，从解法上而言，不同年龄特点的学生有不同的解法。通过学生的反馈，我们发现：经过六年的学习，回过头去看，学生们习惯了算式法和方程法，画图和凑数这两种方法渐渐离开了学生。为什么会这样呢？究其原因，回想我自己上“鸡兔同笼”的场景，教一种是一种，像猴子下山掰玉米那样，掰一个，扔一个，总觉得后面的方法要比前面的方法好，要先进，根本没有去沟通方法与方法之间的联系，才导致学生们也认为每一种方法都是一种独立的方法造成的。
那怎样在这节复习课中，让学生自己去感悟到方法与方法之间的联系呢？且看俞老师两问：画法、算式法分成一类，凑数法和方程法分成一类，为什么可以这样分？这样分的理由是什么？俞老师这一问，问住了学生，也问住了我们听课的老师，同时问出了这节课的关键。起先，学生一惊，啊？还可以这样分啊，似乎不太明白，后来经过俞老师的一番讲解：把解法和算法系统地联系在一起，比较沟通了方法与方法之间的内在联系，方法不同，道理相通。学生顿悟了，对画图法、凑数法这两种原先鄙视的方法，充满敬意，有些同学虽然说不出，但都已经深刻地体会到：画图法、凑数法是根本，算式法、方程法是延伸，只不过一个是基础版，一个是提高版而已。我想，这就是这节课的复习所在，“新”在想法上，实现了从“通”到“化”的过程，在贯通过程中，学生获得了数学素养的“新”高度。
二、是一次渐入佳境的“音声相和”
干国祥老师在《理想课堂的三重境界》中提出：“理想课堂第一重境界，落实有效教学框架；第二重境界，发掘知识的内在魅力；第三重境界，知识、生活与生命的共鸣。”俞老师的这节课三者皆有，尤其是第三重境界，使我们听得意犹未尽。
让我们来看看他在课堂中抛出的问题：“小朋友，黑板上的问题你会解答吗？”“你觉得哪种最难？哪种最容易？”“把这四种方法分成两类，你会怎么分？”“你对哪种方法最惊讶？”“现在再看四种方法，有什么想说的？”“如果你一种方法都不会，怎么办？”“七八年级会怎么学？”“到现在你有什么数学感受？”“哪种方法不用老师教？”
再来感受一下学生的表情和反应：“哼！”——这也太容易了；“嗯？”——还可以分类呀；“啊？”——还有这种分法；“哦……”——原来是这样；“呀……”——数学太有趣了！这“哼！”“嗯？”“啊？”“哦……”“呀……”不就是《老子》中的“音声相和”吗？这种相互协调、此唱彼和不就是一种灵魂的共鸣吗？
正如有人所言：“数学并不是冷冰冰的图形与数据，而是自然、社会、历史背后的神秘，是人类探索世界过程中发现的最可靠的武器、工具。”“优秀的数学课堂，应该让学生通过学习感受到、理解到他们所使用的、所教学的是曾经被人类视为上帝语言的奇妙的数。”
三、是一個浪漫美丽的“数学寓言”
记得上完课后，浙江省数学教研员斯苗儿老师现场采访学生：“假如二十年后你的孩子要上学了，你会把你的孩子送到俞老师门下吗？”“你觉得鸡和兔会关在一个笼子里吗？”“你觉得我们为什么要学鸡兔同笼？”学生们的回答真实又精彩：“我愿意。”“不会关在一个笼子里。”“我们研究买东西时，告诉总价和铅笔、本子的单价，求各自的数量时就用得着这些方法了。”
我想，俞老师看似简单的课，背后却一点也不简单，短短一节课的时间，学生们在成长，慢慢形成了对数学的认知，他们突然发现，数学学习原来那么有用，可以举一反三，触类旁通。只要改变自己的想法就能用新的方法去解决问题，学习只需要老师稍稍点拨就行了。
我们都听过《农夫与蛇》《东郭先生与狼》等寓言故事，明白了一些道理，但现实生活中农夫是不会把蛇放到怀里的，东郭先生是不会和狼说话的，这些故事只是借例说理。寓言是有所隐含的语言，是寓意于言中。俞老师这节《鸡兔同笼》何尝不是一个数学寓言呢？我们的一节节数学课何尝不是一个个美丽浪漫的寓言呢？
俞老师的课，不仅仅是为数学服务的，更是为了学生成长服务的。通过本节课的教学，修正了学生们对数学的看法和想法，也修正了我的想法。如果每个人都像俞老师这样教学，学生们一定会变得更聪明，如果每个人都像俞老师这么思考，我们一定会变得更通透。
【参考文献】
[1]俞正强.种子课——一个数学特级教师的思与行[M].北京：教育科学出版社，2013，76-77.
[2]干国祥.理想课堂的三重境界[M].北京：文化艺术出版社，2011，82-83.