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摘 要：灰色预测模型是根据灰色系统理论创建的预测方法。利用灰色预测模型对部分股票收盘价进行的实证研究表明，该模型对股票价格预测的准确度较高，可用于股票价格的短期预测。
关 键 词：灰色预测模型；股票价格；短期预测
中图分类号： F830.91 文献标识码：A 文章编号：1006-3544（2013）06-0050-03
灰色预测模型（Grey-Model简称GM）是近年发展起来的一种预测方法， 是由邓聚龙教授在1982年根据他创立的灰色系统理论建立的。建立GM模型具有三个特点：（1）需要的信息和数据比较少， 只要有4个以上的数据就可以建立模型；（2）不需要知道原始数据分布的先验特征，对无规则排列或不服从任何分布的任意光滑离散的原始序列，通过有限次的生成即可转化为有序序列；（3）精度比较高，可以保持原始系统的本来特征， 能够较好地反映出原始系统的实际情况。股票市场基本属于弱有效市场，可以把股市当作是部分信息已知、部分信息未知的灰色系统进行处理，灰色预测模型的三个特点正好与股市的情况相吻合。股票价格作为其系统行为的特征量是一个灰色量， 只考虑N=1的情况， 建立GM（1，1）模型，选取某些股票数据进行实证研究，以考查该模型是否可以对股价进行预测。
一、预测模型的建立
（一）建立GM（1，1）模型
设原始序列为：X■={x■■，x■■，x■■，…，x■■，x■■}，将X■做一次累加生成序列X■={x■■，x■■，x■■，…，x■■，x■■}。
其中，x■■=■x■■=x■■+x■■ （k=1，2……，n） （1）
则一次累加生成序列{x■■|k=1，2，3，…}的规律，可以通过求解一阶线性微分方程：■+ax■=u的解得到，其中a，u为未知待估参数，a称为发展系数，u称为灰色作用量。
设■为待估参数向量，■=（a，u）T，利用最小二乘法求解可得：■=（BTB）-1BTY
其中：
B=-[x■（1）+x■（2）/2] 1-[x■（2）+x■（3）/2] 1……-[x■（n-1）+x■（n）/2] 1 Y=x■（2）x■（3）……x■（n）
估计出参数a，u之后，则方程（1）的解，即时间响应函数为：
■ ■■={x■■-■}e■+■，（k=0，1，2，……，n-1） （2）
由（2）式可以对x■做出预测，并由累减生成得到原始数据序列x■的模拟序列值，即：
■ ■■=■ ■■-■ ■■，（k=0，1，2，……，n-1） （3）
（二）GM（1，1）的残差修正模型
为了进一步提高GM（1，1）模型的预测精度，对GM（1，1）模型的剩余残差建立模型，简称残差修正模型，并将该模型用于股票价格预测。
若根据原始非负数列X■建立的GM（1，1）模型的预测精度不高，可用GM（1，1）残差修正模型来进行修正。经过残差修正的模型，既可以是生成模型■ ■■={x■■-■}e■+■，也可以是还原模型■ ■■=■ ■■-■ ■■。
由于误差的影响， 用模型■ ■■=（x■■-■）e■+■计算所得的数据做累加生成的所得数，并不等于用■ ■■求导所得的模型■ ■■所得的数。因此，可以用生成数列的残差来修正GM模型。
假设有原始非负数列X■，并已建立了GM（1，1）预测模型：
■ ■■={x■■-■}e■+■，（k=0，1，2，……，n）
通过该模型可计算出累加生成数列X■的预测模拟值■ ■■：
■ ■■=（■1，■2，…，■n）
模拟■ ■■与累加生成数列X■之差为？着■■=x■■-■ ■■。 j是进行残差修正的原始非负数列X■的数据序号，？着■■是指第 j个模拟值与累加生成数列的差值。若 j=m，m+1，…，n，则残差数列为：？着■■=（？着■■，？着■■，…，？着■■）
为了方便表示，取1=m，2=m+1，…，n=m+n-1，则：
？着■■=（？着■■，？着■■，…，？着■■）
？着■■的一次累加生成数列为：？着■■=（？着■■，？着■■，…，？着■■）。
其中，？着■■=？着■■+？着■■，j=2，3，…，n，？着2=？着1。
建立GM（1，1）模型，可得：■ ■■=[？着■■-■]e■+■。
求导数得到■ ■■=（-a）[？着■■-■]e■，将它与原始非负数列的GM模型相加，得X■的残差修正模型：■ ■■=[x■■-■]e■+■+？啄（i-m）（-a）（？着■■-■）e■。
其中，？啄（i-m）为修正系数，？啄（i-m）=1 i≥m0 i 二、实证研究
本文选取联环药业（600513）、同方股份（600130）和维维股份（600300）三只股票，以2013年3月11日～3月18日这6个交易日的收盘价作为原始数据来预测它们的股价。以联环药业（600513）为例给出推倒过程，原始数据见表1。
原始序列X■=（11.71，11.20，11.33，11.09，11.00，11.12），对原始数据做一次累加生成新的数据序列：X■=（11.71， 22.91，34.24，45.33，56.33，67.45）
于是得：
B=-17.310 1-28.575 1-39.785 1-50.830 1-61.890 1 Y=11.2011.3311.0911.0011.12
利用最小二乘法，求得GM（1，1）模型参数的最小二乘解：
■=au=（BtB）-1BtY=0.004411.3226 计算其时间响应式：
■ ■■=（x■■-■）e■+■=（11.71-2573）e-0.0044k+2573
由此可得数列X■■的模拟序列为：
■ ■■=（11.71，11.2463，11.1969，11.1478，11.0988，
11.0501）
该序列的误差检验结果见表2。
为了进一步提高精度，对该模型进行改进，利用残差求解其残差模型。
残差序列为？着■■=（0，-0.0463，0.1331，-0.0578，-0.0988， 0.0699），由于该残差序列不全为非负数，需要先对其进行变换，给每一项加上序列（0，-0.0463，0.1331，-0.0578，-0.0988， 0.0699）中最小值的绝对值0.0988，得到？着■■=（0.0988，0.0525， 0.2319，0.0411，0，0.1687），并对其做一次累加生成，计算得到：
？着■■=（0.0988，0.1513，0.3832，0.4243，0.4243，0.5930）
于是有：
B=-0.1251 1-0.2673 1-0.4037 1-0.4243 1-0.5086 1 Y=0.05250.23190.04110.00000.1687
由上可得：
■=au=-0.00060.0986
即a=-0.0006，u=0.0986，计算其时间响应式：
■ ■■=（？着■■-■）e■+■=（0.0988+164.33）e0.0006k-164.33
由此可以得到模拟序列：
（0.0988，0.0987，0.0988，0.0988，0.0989，0.0990）
再对其做累减并减去0.0988，就可得到残差修正序列：
（0，-0.0001，0，0，0.0001，0.0002）
将其与原始序列（11.71，11.20，11.33，11.09，11.00，11.12）的GM（1，1）模型相加，得到模拟序列。表3显示了残差修正后的GM（1，1）模型误差。
对照表2和表3， 联环药业2013年3月11日～3月18日这6天的收盘价，用GM（1，1）模型预测的平均相对误差为0.0073；而用改进的带残差修正的GM（1，1）模型预测得到的修正后的平均相对误差为0.0072。实验证明，残差修正模型的预测效果要比不带残差修正的GM（1，1）模型预测的效果更好。
我们根据残差修正GM（1，1）模型来预测联环药业2013年3月19日的股票价格。
根据时间响应函数：
■ ■■=（x■■-■）e■+■=（11.71-2573）e-0.0044n+2573
■ ■■=（？着■■-■）e■+■=（0.0988+164.33）-164.33
令k=6，通过计算得到■ ■■=78.4433，■ ■■=0.6918，再通过累减计算和残差修正得到最终的模拟值为10.9934。而3月19日的实际收盘价为10.73，残差为-0.2634，预测的相对误差为2.44%，即预测的准确率达到97.56%。
下面再选用同方股份（600130）和维维股份（600300）这两只股票的数据进行验证。原始数据见表4和表5。
经上述过程计算，得出同方股份（600130）3月19日的收盘价为7.1017元，而实际收盘价为7.22元。预测的相对误差为1.63%，预测的准确度为98.37%。
经上述过程计算，得出维维股份（600300）3月19日的收盘价为6.2978元，而实际收盘价为6.33元。预测的相对误差为0.51%，预测的准确度为99.49%。
三、结论
运用上述建立的模型分别对联环药业（600513）、同方股份（600130）和维维股份（600300）的股价进行为期3天的预测（2013年3月19日～3月21日），预测结果见表6。
从表6可见，预测数据与实际收盘价对比，其平均准确度在96%以上， 表明该模型对股票价格的短期预测效果较好，可供短期投资者参考。值得注意的是：（1）本文仅验证了3只股票，该模型对股价的普遍预测效果尚待继续验证；（2）股票价格的波动受很多不确定性因素的影响，在遇到系统性或个别性突发事件时，该模型的预测能力可能会受到影响；（3）仅适于短期投资预测，不适于长期投资预测。
参考文献：
[1]徐涛. 基于灰色系统理论的股票价格预测研究[D]. 重庆：重庆师范大学，2012.
[2]赵芳. 应用随机模型和灰色系统研究股票价格波动[D]. 北京：北京交通大学，2008.
[3]陈海明，李东. 灰色预测模型在股票价格中的应用[J]. 科研管理，2003（2）.
[4]吴红艳. 应用选举模型和灰色系统研究股票价格波动[D]. 武汉：武汉理工大学，2008.
[5]万希宁，梁娟娟. 灰色系统理论在企业财务风险预测中的应用[J]. 商业研究，2005（4）.
[6]汤浩. 股票收益分布函数分析及价格预测[D]. 武汉：武汉科技大学，2004.
（责任编辑：李丹；校对：龙会芳）
关 键 词：灰色预测模型；股票价格；短期预测
中图分类号： F830.91 文献标识码：A 文章编号：1006-3544（2013）06-0050-03
灰色预测模型（Grey-Model简称GM）是近年发展起来的一种预测方法， 是由邓聚龙教授在1982年根据他创立的灰色系统理论建立的。建立GM模型具有三个特点：（1）需要的信息和数据比较少， 只要有4个以上的数据就可以建立模型；（2）不需要知道原始数据分布的先验特征，对无规则排列或不服从任何分布的任意光滑离散的原始序列，通过有限次的生成即可转化为有序序列；（3）精度比较高，可以保持原始系统的本来特征， 能够较好地反映出原始系统的实际情况。股票市场基本属于弱有效市场，可以把股市当作是部分信息已知、部分信息未知的灰色系统进行处理，灰色预测模型的三个特点正好与股市的情况相吻合。股票价格作为其系统行为的特征量是一个灰色量， 只考虑N=1的情况， 建立GM（1，1）模型，选取某些股票数据进行实证研究，以考查该模型是否可以对股价进行预测。
一、预测模型的建立
（一）建立GM（1，1）模型
设原始序列为：X■={x■■，x■■，x■■，…，x■■，x■■}，将X■做一次累加生成序列X■={x■■，x■■，x■■，…，x■■，x■■}。
其中，x■■=■x■■=x■■+x■■ （k=1，2……，n） （1）
则一次累加生成序列{x■■|k=1，2，3，…}的规律，可以通过求解一阶线性微分方程：■+ax■=u的解得到，其中a，u为未知待估参数，a称为发展系数，u称为灰色作用量。
设■为待估参数向量，■=（a，u）T，利用最小二乘法求解可得：■=（BTB）-1BTY
其中：
B=-[x■（1）+x■（2）/2] 1-[x■（2）+x■（3）/2] 1……-[x■（n-1）+x■（n）/2] 1 Y=x■（2）x■（3）……x■（n）
估计出参数a，u之后，则方程（1）的解，即时间响应函数为：
■ ■■={x■■-■}e■+■，（k=0，1，2，……，n-1） （2）
由（2）式可以对x■做出预测，并由累减生成得到原始数据序列x■的模拟序列值，即：
■ ■■=■ ■■-■ ■■，（k=0，1，2，……，n-1） （3）
（二）GM（1，1）的残差修正模型
为了进一步提高GM（1，1）模型的预测精度，对GM（1，1）模型的剩余残差建立模型，简称残差修正模型，并将该模型用于股票价格预测。
若根据原始非负数列X■建立的GM（1，1）模型的预测精度不高，可用GM（1，1）残差修正模型来进行修正。经过残差修正的模型，既可以是生成模型■ ■■={x■■-■}e■+■，也可以是还原模型■ ■■=■ ■■-■ ■■。
由于误差的影响， 用模型■ ■■=（x■■-■）e■+■计算所得的数据做累加生成的所得数，并不等于用■ ■■求导所得的模型■ ■■所得的数。因此，可以用生成数列的残差来修正GM模型。
假设有原始非负数列X■，并已建立了GM（1，1）预测模型：
■ ■■={x■■-■}e■+■，（k=0，1，2，……，n）
通过该模型可计算出累加生成数列X■的预测模拟值■ ■■：
■ ■■=（■1，■2，…，■n）
模拟■ ■■与累加生成数列X■之差为？着■■=x■■-■ ■■。 j是进行残差修正的原始非负数列X■的数据序号，？着■■是指第 j个模拟值与累加生成数列的差值。若 j=m，m+1，…，n，则残差数列为：？着■■=（？着■■，？着■■，…，？着■■）
为了方便表示，取1=m，2=m+1，…，n=m+n-1，则：
？着■■=（？着■■，？着■■，…，？着■■）
？着■■的一次累加生成数列为：？着■■=（？着■■，？着■■，…，？着■■）。
其中，？着■■=？着■■+？着■■，j=2，3，…，n，？着2=？着1。
建立GM（1，1）模型，可得：■ ■■=[？着■■-■]e■+■。
求导数得到■ ■■=（-a）[？着■■-■]e■，将它与原始非负数列的GM模型相加，得X■的残差修正模型：■ ■■=[x■■-■]e■+■+？啄（i-m）（-a）（？着■■-■）e■。
其中，？啄（i-m）为修正系数，？啄（i-m）=1 i≥m0 i
本文选取联环药业（600513）、同方股份（600130）和维维股份（600300）三只股票，以2013年3月11日～3月18日这6个交易日的收盘价作为原始数据来预测它们的股价。以联环药业（600513）为例给出推倒过程，原始数据见表1。
原始序列X■=（11.71，11.20，11.33，11.09，11.00，11.12），对原始数据做一次累加生成新的数据序列：X■=（11.71， 22.91，34.24，45.33，56.33，67.45）
于是得：
B=-17.310 1-28.575 1-39.785 1-50.830 1-61.890 1 Y=11.2011.3311.0911.0011.12
利用最小二乘法，求得GM（1，1）模型参数的最小二乘解：
■=au=（BtB）-1BtY=0.004411.3226 计算其时间响应式：
■ ■■=（x■■-■）e■+■=（11.71-2573）e-0.0044k+2573
由此可得数列X■■的模拟序列为：
■ ■■=（11.71，11.2463，11.1969，11.1478，11.0988，
11.0501）
该序列的误差检验结果见表2。
为了进一步提高精度，对该模型进行改进，利用残差求解其残差模型。
残差序列为？着■■=（0，-0.0463，0.1331，-0.0578，-0.0988， 0.0699），由于该残差序列不全为非负数，需要先对其进行变换，给每一项加上序列（0，-0.0463，0.1331，-0.0578，-0.0988， 0.0699）中最小值的绝对值0.0988，得到？着■■=（0.0988，0.0525， 0.2319，0.0411，0，0.1687），并对其做一次累加生成，计算得到：
？着■■=（0.0988，0.1513，0.3832，0.4243，0.4243，0.5930）
于是有：
B=-0.1251 1-0.2673 1-0.4037 1-0.4243 1-0.5086 1 Y=0.05250.23190.04110.00000.1687
由上可得：
■=au=-0.00060.0986
即a=-0.0006，u=0.0986，计算其时间响应式：
■ ■■=（？着■■-■）e■+■=（0.0988+164.33）e0.0006k-164.33
由此可以得到模拟序列：
（0.0988，0.0987，0.0988，0.0988，0.0989，0.0990）
再对其做累减并减去0.0988，就可得到残差修正序列：
（0，-0.0001，0，0，0.0001，0.0002）
将其与原始序列（11.71，11.20，11.33，11.09，11.00，11.12）的GM（1，1）模型相加，得到模拟序列。表3显示了残差修正后的GM（1，1）模型误差。
对照表2和表3， 联环药业2013年3月11日～3月18日这6天的收盘价，用GM（1，1）模型预测的平均相对误差为0.0073；而用改进的带残差修正的GM（1，1）模型预测得到的修正后的平均相对误差为0.0072。实验证明，残差修正模型的预测效果要比不带残差修正的GM（1，1）模型预测的效果更好。
我们根据残差修正GM（1，1）模型来预测联环药业2013年3月19日的股票价格。
根据时间响应函数：
■ ■■=（x■■-■）e■+■=（11.71-2573）e-0.0044n+2573
■ ■■=（？着■■-■）e■+■=（0.0988+164.33）-164.33
令k=6，通过计算得到■ ■■=78.4433，■ ■■=0.6918，再通过累减计算和残差修正得到最终的模拟值为10.9934。而3月19日的实际收盘价为10.73，残差为-0.2634，预测的相对误差为2.44%，即预测的准确率达到97.56%。
下面再选用同方股份（600130）和维维股份（600300）这两只股票的数据进行验证。原始数据见表4和表5。
经上述过程计算，得出同方股份（600130）3月19日的收盘价为7.1017元，而实际收盘价为7.22元。预测的相对误差为1.63%，预测的准确度为98.37%。
经上述过程计算，得出维维股份（600300）3月19日的收盘价为6.2978元，而实际收盘价为6.33元。预测的相对误差为0.51%，预测的准确度为99.49%。
三、结论
运用上述建立的模型分别对联环药业（600513）、同方股份（600130）和维维股份（600300）的股价进行为期3天的预测（2013年3月19日～3月21日），预测结果见表6。
从表6可见，预测数据与实际收盘价对比，其平均准确度在96%以上， 表明该模型对股票价格的短期预测效果较好，可供短期投资者参考。值得注意的是：（1）本文仅验证了3只股票，该模型对股价的普遍预测效果尚待继续验证；（2）股票价格的波动受很多不确定性因素的影响，在遇到系统性或个别性突发事件时，该模型的预测能力可能会受到影响；（3）仅适于短期投资预测，不适于长期投资预测。
参考文献：
[1]徐涛. 基于灰色系统理论的股票价格预测研究[D]. 重庆：重庆师范大学，2012.
[2]赵芳. 应用随机模型和灰色系统研究股票价格波动[D]. 北京：北京交通大学，2008.
[3]陈海明，李东. 灰色预测模型在股票价格中的应用[J]. 科研管理，2003（2）.
[4]吴红艳. 应用选举模型和灰色系统研究股票价格波动[D]. 武汉：武汉理工大学，2008.
[5]万希宁，梁娟娟. 灰色系统理论在企业财务风险预测中的应用[J]. 商业研究，2005（4）.
[6]汤浩. 股票收益分布函数分析及价格预测[D]. 武汉：武汉科技大学，2004.
（责任编辑：李丹；校对：龙会芳）