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在高中数学知识体系中,椭圆与双曲线的地位十分重要,是高考中的命题重点.两者性质具有类比性,解题思路较特殊,为了切实理清两者的区别,帮助大家掌握这两个知识点,本文就同学们常犯的一些错误问题进行剖析,希望能起到抛砖引玉的作用.
【例1】 曲线x2m2+12-y24-m2=1的焦距是().
A.4 B.6
C.8D.与m的取值有关
错解一:曲线为双曲线,设焦距为2c(c>0),
∴c2=m2+12+4-m2=16.
∴c=4,2c=8.
故答案选C.
错解二:曲线为椭圆,设焦距为2c(c>0),
∴c2=m2+12-(4-m2)=2m+8.
故c与m的取值有关.
正解:应区别曲线的类型来求解.
(1)若曲线为双曲线,则
m2+12>0,4-m2>0, ∴-2 ∴c2=m2+12+4-m2=16,c=4.
∴2c=8.
(2)若曲线为椭圆,则
m2+12>0,4-m2<0, ∴m>2或m<-2时,
曲线变为:
x2m2+12+y2m2-4=1.
∴c2=m2+12-(m2-4)=16,c=4.
∴2c=8.
综上,答案选C.
庖丁解牛:
生硬记忆标准方程的表象,对于椭圆及双曲线的标准方程的涵义理解不透彻.在解答此类题目时,要分析变量的取值范围,注意分类讨论.
点石成金:
对于mx2-ny2=1来说,
当m>0,n<0,m≠-n时,曲线表示椭圆;
当mn>0时,曲线表示双曲线.
【例2】 一动点到定直线x=3的距离是该动点到定点F(6,0)的距离的12,求该动点的轨迹方程.
错解一:由椭圆的第二定义,动点到定直线的距离与它到定点的距离之比为12,则动点的轨迹是椭圆,且e=ca=12.
因为F(6,0)为焦点,则c=6,a=12,b2=a2-c2=144-36=108.
故轨迹方程为x2144+y2108=1.
错解二:由双曲线的第二定义,动点到定点的距离与它到定直线的距离之比为2,则动点的轨迹是双曲线.
因为双曲线焦点即定点F(6,0),则c=6,
又因为准线方程x=3,∴a2c=3,a2=18,b2=c2-a2=36-18=18,
故轨迹方程为x218-y218=1.
正解一:由题意:设动点p(x,y),则|x-3|=12(x-6)2+y2,
两边平方得:4(x2-6x+9)=x2-12x+36+y2.
化简得(x-2)24-y212=1,即为所求的轨迹方程.
正解二:由题意,动点到定点的距离与它到定直线的距离之比为2,则动点的轨迹是双曲线,且离心率e=ca=2.
又定点F(6,0)与定直线x=3分别是双曲线相应的右焦点和右准线,
则c-a2c=6-3=3,
由c=2a,c-a2c=3,∴a=2,c=4.
所以双曲线中心O′的坐标为(2,0).
则b2=c2-a2=16-4=12.
故双曲线方程为(x-2)24-y212=1.
庖丁解牛:根据e的范围判断圆锥曲线的形状.由题意e=2>1,动点的轨迹是双曲线,故错解一中得出是椭圆的判断是错误的.题意中没有明确说明曲线中心的位置,仅有焦点(即定点)F(6,0)和准线(定直线)x=3,不能得出c=6及a2c=3的结论.错解一和错解二均忽视了曲线中心的位置,错误地按曲线中心为原点得出焦点坐标F(6,0)和准线为x=a2c,从而得出错误的结果.
正解二为轨迹方程的“直接求法”,即由已知条件判断出轨迹曲线的形状,再由已知条件求出反映这种曲线性质的特征系数,从而直接写出曲线方程.
点石成金:紧扣定义,平面上到定点和定直线的距离之比为正常数e的动点的轨迹是圆锥曲线.若01,则为双曲线.
【例3】 若双曲线x24-y2=1与直线y=kx-1只有一个公共点,求k的值.
错解:∵由y=kx-1,x24-y2=1,
∴(1-4k2)x2-8kx-8=0.
因为双曲线与直线只有一个公共点,
∴Δ=64k2+32(1-4k2)=32(1-2k2)=0.
∴k2=12,k=±22.
正解:∵y=kx-1,x24-y2=1, ∴(1-4k2)x2-8kx-8=0.
(1)若1-4k2=0,∴k=±12,此时直线与双曲线的渐近线平行,直线与双曲线只有一个公共点,合题意.
(2)若直线与双曲线相切,则1-4k2≠0,Δ=32(1-2k2)=0, ∴k=±22.
故k=±12,k=±22.
庖丁解牛:在直线与双曲线方程联立消元得到的方程中,忽略了最高次项可能是二次,也可能是一次这一事实,易造成解题失误.
点石成金:在解此类题目时,应注意对消元后的方程最高次项的系数进行讨论,再结合曲线的特点求解.另外还要注意双曲线与椭圆的区别,若椭圆与直线只有一个公共点,只能是直线与椭圆相切,而对于双曲线,可能相切也有可能相交.因为椭圆没有渐近线,双曲则有两条渐近线.
总之,透彻理解概念,全面考虑问题,注意题目中的隐含条件和命题人故意遗漏的约束条件,关注基本运算中的漏根现象,一定能顺利克服椭圆和双曲线问题中的常见错误.
(责任编辑 金 铃)
【例1】 曲线x2m2+12-y24-m2=1的焦距是().
A.4 B.6
C.8D.与m的取值有关
错解一:曲线为双曲线,设焦距为2c(c>0),
∴c2=m2+12+4-m2=16.
∴c=4,2c=8.
故答案选C.
错解二:曲线为椭圆,设焦距为2c(c>0),
∴c2=m2+12-(4-m2)=2m+8.
故c与m的取值有关.
正解:应区别曲线的类型来求解.
(1)若曲线为双曲线,则
m2+12>0,4-m2>0, ∴-2
∴2c=8.
(2)若曲线为椭圆,则
m2+12>0,4-m2<0, ∴m>2或m<-2时,
曲线变为:
x2m2+12+y2m2-4=1.
∴c2=m2+12-(m2-4)=16,c=4.
∴2c=8.
综上,答案选C.
庖丁解牛:
生硬记忆标准方程的表象,对于椭圆及双曲线的标准方程的涵义理解不透彻.在解答此类题目时,要分析变量的取值范围,注意分类讨论.
点石成金:
对于mx2-ny2=1来说,
当m>0,n<0,m≠-n时,曲线表示椭圆;
当mn>0时,曲线表示双曲线.
【例2】 一动点到定直线x=3的距离是该动点到定点F(6,0)的距离的12,求该动点的轨迹方程.
错解一:由椭圆的第二定义,动点到定直线的距离与它到定点的距离之比为12,则动点的轨迹是椭圆,且e=ca=12.
因为F(6,0)为焦点,则c=6,a=12,b2=a2-c2=144-36=108.
故轨迹方程为x2144+y2108=1.
错解二:由双曲线的第二定义,动点到定点的距离与它到定直线的距离之比为2,则动点的轨迹是双曲线.
因为双曲线焦点即定点F(6,0),则c=6,
又因为准线方程x=3,∴a2c=3,a2=18,b2=c2-a2=36-18=18,
故轨迹方程为x218-y218=1.
正解一:由题意:设动点p(x,y),则|x-3|=12(x-6)2+y2,
两边平方得:4(x2-6x+9)=x2-12x+36+y2.
化简得(x-2)24-y212=1,即为所求的轨迹方程.
正解二:由题意,动点到定点的距离与它到定直线的距离之比为2,则动点的轨迹是双曲线,且离心率e=ca=2.
又定点F(6,0)与定直线x=3分别是双曲线相应的右焦点和右准线,
则c-a2c=6-3=3,
由c=2a,c-a2c=3,∴a=2,c=4.
所以双曲线中心O′的坐标为(2,0).
则b2=c2-a2=16-4=12.
故双曲线方程为(x-2)24-y212=1.
庖丁解牛:根据e的范围判断圆锥曲线的形状.由题意e=2>1,动点的轨迹是双曲线,故错解一中得出是椭圆的判断是错误的.题意中没有明确说明曲线中心的位置,仅有焦点(即定点)F(6,0)和准线(定直线)x=3,不能得出c=6及a2c=3的结论.错解一和错解二均忽视了曲线中心的位置,错误地按曲线中心为原点得出焦点坐标F(6,0)和准线为x=a2c,从而得出错误的结果.
正解二为轨迹方程的“直接求法”,即由已知条件判断出轨迹曲线的形状,再由已知条件求出反映这种曲线性质的特征系数,从而直接写出曲线方程.
点石成金:紧扣定义,平面上到定点和定直线的距离之比为正常数e的动点的轨迹是圆锥曲线.若0
【例3】 若双曲线x24-y2=1与直线y=kx-1只有一个公共点,求k的值.
错解:∵由y=kx-1,x24-y2=1,
∴(1-4k2)x2-8kx-8=0.
因为双曲线与直线只有一个公共点,
∴Δ=64k2+32(1-4k2)=32(1-2k2)=0.
∴k2=12,k=±22.
正解:∵y=kx-1,x24-y2=1, ∴(1-4k2)x2-8kx-8=0.
(1)若1-4k2=0,∴k=±12,此时直线与双曲线的渐近线平行,直线与双曲线只有一个公共点,合题意.
(2)若直线与双曲线相切,则1-4k2≠0,Δ=32(1-2k2)=0, ∴k=±22.
故k=±12,k=±22.
庖丁解牛:在直线与双曲线方程联立消元得到的方程中,忽略了最高次项可能是二次,也可能是一次这一事实,易造成解题失误.
点石成金:在解此类题目时,应注意对消元后的方程最高次项的系数进行讨论,再结合曲线的特点求解.另外还要注意双曲线与椭圆的区别,若椭圆与直线只有一个公共点,只能是直线与椭圆相切,而对于双曲线,可能相切也有可能相交.因为椭圆没有渐近线,双曲则有两条渐近线.
总之,透彻理解概念,全面考虑问题,注意题目中的隐含条件和命题人故意遗漏的约束条件,关注基本运算中的漏根现象,一定能顺利克服椭圆和双曲线问题中的常见错误.
(责任编辑 金 铃)