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摘 要：在解题中被广泛应用的解题方法之一，就是构造法。它具有较强的技巧性和创造性，也是对数学归纳、猜想、类比、特殊化等思想的体现。对于一些比较棘手的问题，可以通过构造法起到事半功倍的效果。构造法在解题中的应用，对培养和提高学生的发散思维、创新思维和解题能力都有积极作用。
关键词：构造法；高中数学；解题教学
将题干中的已知条件中作为“螺帽”，挖掘题干中数学关系作为“螺丝”，再依据题设的实际情况，巧妙地将二者进行结合，构造出一种新的数学解题模型或者命题，使得这种新模型或命题，能够打破常规思维的局限，能够更加快捷、简便、巧妙的解决问题，可以培养学生的发散思维、逻辑思维以及创新精神。下面举例说明。
一、 构造图形
【例1】 已知a，b是两个非零向量，且a=b=a b，求向量b与a-b的夹角。
分析：显然a与b不相等，观察等式的特点，可联想到向量加法的平行四边形法则，a、b、a b分别对应平行四边形的两邻边和对角线，如下图：
∵a=b=a b，b=OB，a=OA，
∴平行四边形为菱形，且△OAC，△OBC为等边三角形，
∴∠AOB=120°，∠ABO=∠BAO=30°，
∴向量b与a-b的夹角为150°。
二、 构造组合数
【例2】 求证：1×2×3 2×3×4 … n×（n 1）×（n 2）=14n（n 1）（n 2）（n 3）。
分析：依据n（n 1）（n 2）=6C3n 2，可将求证式子的左边化为：
6C33 6C34 … 6C3n 2=6（C33 C34 … C3n 2）=6C4n 3=6×（n 3）（n 2）（n 1）n4！=14n（n 1）（n 2）（n 3）。
三、 构造函数
【例3】 求使不等式sin2x acosx a2≥1 cosx对一切x∈R恒成立的负数a的取值范围。
分析：原不等式可化为：1-cos2x acosx a2≥1 cosx，
即cos2x （1-a）cosx≤a2（a<0），
若令t=cosx，则对一切t∈[-1，1]，t2 （1-a）t≤a2恒成立。
观察不等式的左边联想构造二次函数f（t）=t2 （1-a）t，t∈[-1，1]。
问题转化为“求使f（t）≤a2（ t∈[-1，1]）恒成立的负数a的取值范围”。
首先求二次函数f（t）=t2 （1-a）t，在[-1，1]的最大值，
∵抛物线的对称轴t=-1-a2=a-12<-12（a<0），
∴当t=1时，f（t）max=2-a，
∵f（t）max≤a2，∴2-a≤a2，
a2 a-2≥0（a 2）（a-1）≥0，
又a<0，故a≤-2。
【例4】 已知实数a，b，c，d，e满足a b c d e=8，a2 b2 c2 d2 e2=16，求e的取值范围。
分析：由题设条件得a b c d=8-e，a2 b2 c2 d2=16-e2，若能联系起a b c d与a2 b2 c2 d2的关系，那么想要求出e的取值范围，就可水到渠成了。
于是构造二次函数这个思路就比较清晰了
y=（x a）2 （x b）2 （x c）2 （x d）2展开，得
y=4x2 2（a b c d）x a2 b2 c2 d2，
因为所构造的二次函数y≥0，所以Δ≤0，
即4（a b c d）2-16（a2 b2 c2 d2）≤0，
即（8-e）2-4（16-e2）≤0，
解得0≤e≤165。
四、 构造等差数列
【例5】 已知△ABC的三个内角为A、B、C且满足A C=2B，1cosA 1cosC=-2cosB，求cosA-C2的值。
分析：由A C=2B，知B=60°，A C=120°
∴1cosA 1cosC=-22。
又∵cosA cosC=2cosA C2cosA-C2=2cos60°cosA-C2=cosA-C2，
∴cosA-cosC=-2sinA C2sinA-C2=-3sinA-C2。
由1cosA 1cosC=-22，联想到构造等差数列1cosA，-2，1cosC，设公差为d，
则1cosA=-2-d，1cosC=-2 d，
∴cosA=-12 d ①
cosC=-12-d ②
① ②得：cosA-C2=22d2-2，
①-②得：sinA-C2=2d3（d2-2），
∵sin2A-C2 cos2A-C2=1，
∴解得d2=6，因而cosA-C2=22d2-2=226-2=22。
五、 构造递推关系
【例6】 证明方程x2-2y2=1有无穷多组正整数解。
分析：容易得出方程的一组正整数解为（3，2）。
解：设x1=3，y1=2，若（xn，yn）是方程的一组正整数解，则x2n-2y2n=1，
即（x2n-2y2n）2=1，即（x2n 2y2n）2-2×4x2ny2n=1，
也即（x2n 2y2n）2-2×（2xnyn）2=1.令xn 1=x2n 2y2n，yn 1=2xnyn。
上式說明方程的一组正整数解为（xn 1，yn 1）。同理推导得，由x1=3，y1=2，易得数列{xn}，{yn}都是正整数数列，且是递增的。从而方程的正整数解为无穷多组（xn，yn）（n=1，2，……）。且递推关系为xn 1=x2n 2y2n，yn 1=2xnyn。
作者简介：
陈浩，现就职于陕西省咸阳市西藏民族大学附属中学。
关键词：构造法；高中数学；解题教学
将题干中的已知条件中作为“螺帽”，挖掘题干中数学关系作为“螺丝”，再依据题设的实际情况，巧妙地将二者进行结合，构造出一种新的数学解题模型或者命题，使得这种新模型或命题，能够打破常规思维的局限，能够更加快捷、简便、巧妙的解决问题，可以培养学生的发散思维、逻辑思维以及创新精神。下面举例说明。
一、 构造图形
【例1】 已知a，b是两个非零向量，且a=b=a b，求向量b与a-b的夹角。
分析：显然a与b不相等，观察等式的特点，可联想到向量加法的平行四边形法则，a、b、a b分别对应平行四边形的两邻边和对角线，如下图：
∵a=b=a b，b=OB，a=OA，
∴平行四边形为菱形，且△OAC，△OBC为等边三角形，
∴∠AOB=120°，∠ABO=∠BAO=30°，
∴向量b与a-b的夹角为150°。
二、 构造组合数
【例2】 求证：1×2×3 2×3×4 … n×（n 1）×（n 2）=14n（n 1）（n 2）（n 3）。
分析：依据n（n 1）（n 2）=6C3n 2，可将求证式子的左边化为：
6C33 6C34 … 6C3n 2=6（C33 C34 … C3n 2）=6C4n 3=6×（n 3）（n 2）（n 1）n4！=14n（n 1）（n 2）（n 3）。
三、 构造函数
【例3】 求使不等式sin2x acosx a2≥1 cosx对一切x∈R恒成立的负数a的取值范围。
分析：原不等式可化为：1-cos2x acosx a2≥1 cosx，
即cos2x （1-a）cosx≤a2（a<0），
若令t=cosx，则对一切t∈[-1，1]，t2 （1-a）t≤a2恒成立。
观察不等式的左边联想构造二次函数f（t）=t2 （1-a）t，t∈[-1，1]。
问题转化为“求使f（t）≤a2（ t∈[-1，1]）恒成立的负数a的取值范围”。
首先求二次函数f（t）=t2 （1-a）t，在[-1，1]的最大值，
∵抛物线的对称轴t=-1-a2=a-12<-12（a<0），
∴当t=1时，f（t）max=2-a，
∵f（t）max≤a2，∴2-a≤a2，
a2 a-2≥0（a 2）（a-1）≥0，
又a<0，故a≤-2。
【例4】 已知实数a，b，c，d，e满足a b c d e=8，a2 b2 c2 d2 e2=16，求e的取值范围。
分析：由题设条件得a b c d=8-e，a2 b2 c2 d2=16-e2，若能联系起a b c d与a2 b2 c2 d2的关系，那么想要求出e的取值范围，就可水到渠成了。
于是构造二次函数这个思路就比较清晰了
y=（x a）2 （x b）2 （x c）2 （x d）2展开，得
y=4x2 2（a b c d）x a2 b2 c2 d2，
因为所构造的二次函数y≥0，所以Δ≤0，
即4（a b c d）2-16（a2 b2 c2 d2）≤0，
即（8-e）2-4（16-e2）≤0，
解得0≤e≤165。
四、 构造等差数列
【例5】 已知△ABC的三个内角为A、B、C且满足A C=2B，1cosA 1cosC=-2cosB，求cosA-C2的值。
分析：由A C=2B，知B=60°，A C=120°
∴1cosA 1cosC=-22。
又∵cosA cosC=2cosA C2cosA-C2=2cos60°cosA-C2=cosA-C2，
∴cosA-cosC=-2sinA C2sinA-C2=-3sinA-C2。
由1cosA 1cosC=-22，联想到构造等差数列1cosA，-2，1cosC，设公差为d，
则1cosA=-2-d，1cosC=-2 d，
∴cosA=-12 d ①
cosC=-12-d ②
① ②得：cosA-C2=22d2-2，
①-②得：sinA-C2=2d3（d2-2），
∵sin2A-C2 cos2A-C2=1，
∴解得d2=6，因而cosA-C2=22d2-2=226-2=22。
五、 构造递推关系
【例6】 证明方程x2-2y2=1有无穷多组正整数解。
分析：容易得出方程的一组正整数解为（3，2）。
解：设x1=3，y1=2，若（xn，yn）是方程的一组正整数解，则x2n-2y2n=1，
即（x2n-2y2n）2=1，即（x2n 2y2n）2-2×4x2ny2n=1，
也即（x2n 2y2n）2-2×（2xnyn）2=1.令xn 1=x2n 2y2n，yn 1=2xnyn。
上式說明方程的一组正整数解为（xn 1，yn 1）。同理推导得，由x1=3，y1=2，易得数列{xn}，{yn}都是正整数数列，且是递增的。从而方程的正整数解为无穷多组（xn，yn）（n=1，2，……）。且递推关系为xn 1=x2n 2y2n，yn 1=2xnyn。
作者简介：
陈浩，现就职于陕西省咸阳市西藏民族大学附属中学。