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一、引言
16世纪意大利学者卡当是第一个把负数的平方根写到公式里的数学家，尽管他也认为负数的平方根是没有意义的、虚无缥缈的，但是他还是大胆地提出了把负数开平方根的想法，为数域的拓展开启了新的篇章。在随后200多年的时间里，一代代伟大的数学家——笛卡尔、棣莫佛、达朗贝尔、阿甘得等都为这一研究领域的不断完善和发展做出了卓越的贡献。并最终于1832年由“数学王子”德国数学家高斯提出了“复数”这个词。他还把复数的代数形式、三角形式与平面内点的表示方法进行了统一，实现了平面内的点与复数的一一对应。高斯不仅把复数看作平面上的点，而且还看作是一种向量，并利用复数与向量之间一一对应的关系，阐述了复数的几何加法与乘法。至此，复数理论才比较完整和系统地建立起来了。
二、复数的基本知识
复数的代数形式： a＋bi（其中实部 a∈R，虚部b ∈R）.复数的几何形式：以有序实数对（a，b）作为复平面点Z的坐标；以原点为起点的向量OZ .复数的三角形式： r（cosθ＋isinθ） （其中复数的模r＝■，辐角θ∈R）.复数的指数形式：reiθ（其中复数的模r＝■，辐角θ∈R）.
复数形式的多样性，造就了复数应用上的广泛性与灵活性。复数的4种形式，虽形式各不相同，但是它们的本质是一致的，它们之间是可以相互转化的。因此，通过复数4种形式的内在联系，从而实现了我们数学上数——形——角，三者之间的相互转换。为我们解决实际问题、开拓解题思路、培养发散思维能力、发展数学知识结构的横向联系、提高综合能力提供了非常有利的帮助。
三、复数在几何问题上的应用
1.复数的几何意义
复数z＝a＋bi ( a∈R,b ∈R )，与以实部a为横坐标，虚部b为纵坐标的唯一的点Z（a，b）对应。反之以实部a为横坐标，虚部b为纵坐标的点Z（a，b）对应唯一的复数z＝a＋bi，即复数z＝a＋bi与复平面内的点Z（a，b）一一对应。O为原点，那么点Z（a，b）对应唯一的向量OZ . 反之亦然。所以，复数z＝a＋bi与复平面内的向量OZ也是一一对应的。因此，我们可以用点 Z（a，b）和向量OZ表示复数。
2.复数运算的几何意义
复数Z1±Z2在复平面内就是向量OZ1和OZ2的和（或差），可以根据向量加法的三角形法则、平行四边形法则或者向量减法的三角形法则实现。复数相加就是向量OZ1的起点由原点O沿向量OZ2平移至点Z2.复数减法就是向量OZ2的终点Z2指向OZ1的终点Z1.（无论是和向量，还是差向量，根据向量相等的原理，都表示为以原点O为起点的向量OZ 。）
根据复数三角形式的运算法则：
若复数Z1＝r1（cosθ1＋isinθ1），Z2＝r2（cosθ2＋isinθ2），则
Z1·Z2＝r1r2[cos（θ1＋θ2）＋isin（θ1＋θ2）]
■＝■[cos（θ1－θ2）isin（θ1－θ2]
可知，复数相乘就是将向量OZ1在原有的基础上以O为中心逆时针旋转θ2度，同时将向量OZ1的模拉伸为原来的r2倍。复数相除就是将向量OZ1在原有的基础上以O为中心顺时针旋转θ2度，同时将向量OZ1的模拉伸为原来的■倍。（ 可为负）
3.复数在几何问题上的应用
例 点P（x1，y1）绕点R（x2，y2）旋转了α度，求旋转后点P的坐标？
解：根据复数与复平面内点的一一对应性，可知复数z1＝x1＋y1i对应向量OP ，复数z2＝x2＋y2i对应向量OR 。点P绕点R旋转，即是向量RP旋转。
向量 RP＝OP－OR＝Z1－Z2＝（x1－x2）＋（y1－y2）i.
如前所述，差向量RP根据向量相等的原理，可表示为以原点O为起点的向量OZ。 P绕点R旋转α度，即为向量OZ旋转α度。应用复数的乘法就可解决旋转的问题了。
OZ·（cosα＋isinα）＝[（x1－x2）＋（y1－y2）i]·（cosα＋isinα）
＝[（x1－x2）cosα－（y1－y2）sinα] ＋[（x1－x2）·sinα＋（y1－y2）cosα]i.
旋转后起点仍为原点O，现将其平移至起点为R。起点的平移问题可利用复数的加法解决。
即： [（x1－x2）cosα－（y1－y2）sinα] ＋[（x1－x2）·sinα＋（y1－y2）cosα]i＋（x2＋y2i）
＝ [（x1－x2）cosα－（y1－y2）sinα＋x2] ＋[（x1－x2）sinα＋（y1－y2）cosα＋y2]i.
所以旋转后的点P的横坐标为（x1－x2）cosα－（y1－y2）sinα＋x2 ，纵坐标为（x1－x2）sinα＋（y1－y2）cosα＋y2
综上，此问题用复数解决可写为：（z1－z2）·（cosα＋sinα）＋z2.
四、小结
显然，能够巧妙地运用复数，可以在解决几何问题与三角问题时发挥其独到的优势，常常能起到相对简化计算或证明的目的。因此，对复数应用的研究不仅解决了相关问题，也加深了对复数的理解，培养了数形结合的能力，和思维的发散性。总之，对于数学的学习起到了非常大的作用。
16世纪意大利学者卡当是第一个把负数的平方根写到公式里的数学家，尽管他也认为负数的平方根是没有意义的、虚无缥缈的，但是他还是大胆地提出了把负数开平方根的想法，为数域的拓展开启了新的篇章。在随后200多年的时间里，一代代伟大的数学家——笛卡尔、棣莫佛、达朗贝尔、阿甘得等都为这一研究领域的不断完善和发展做出了卓越的贡献。并最终于1832年由“数学王子”德国数学家高斯提出了“复数”这个词。他还把复数的代数形式、三角形式与平面内点的表示方法进行了统一，实现了平面内的点与复数的一一对应。高斯不仅把复数看作平面上的点，而且还看作是一种向量，并利用复数与向量之间一一对应的关系，阐述了复数的几何加法与乘法。至此，复数理论才比较完整和系统地建立起来了。
二、复数的基本知识
复数的代数形式： a＋bi（其中实部 a∈R，虚部b ∈R）.复数的几何形式：以有序实数对（a，b）作为复平面点Z的坐标；以原点为起点的向量OZ .复数的三角形式： r（cosθ＋isinθ） （其中复数的模r＝■，辐角θ∈R）.复数的指数形式：reiθ（其中复数的模r＝■，辐角θ∈R）.
复数形式的多样性，造就了复数应用上的广泛性与灵活性。复数的4种形式，虽形式各不相同，但是它们的本质是一致的，它们之间是可以相互转化的。因此，通过复数4种形式的内在联系，从而实现了我们数学上数——形——角，三者之间的相互转换。为我们解决实际问题、开拓解题思路、培养发散思维能力、发展数学知识结构的横向联系、提高综合能力提供了非常有利的帮助。
三、复数在几何问题上的应用
1.复数的几何意义
复数z＝a＋bi ( a∈R,b ∈R )，与以实部a为横坐标，虚部b为纵坐标的唯一的点Z（a，b）对应。反之以实部a为横坐标，虚部b为纵坐标的点Z（a，b）对应唯一的复数z＝a＋bi，即复数z＝a＋bi与复平面内的点Z（a，b）一一对应。O为原点，那么点Z（a，b）对应唯一的向量OZ . 反之亦然。所以，复数z＝a＋bi与复平面内的向量OZ也是一一对应的。因此，我们可以用点 Z（a，b）和向量OZ表示复数。
2.复数运算的几何意义
复数Z1±Z2在复平面内就是向量OZ1和OZ2的和（或差），可以根据向量加法的三角形法则、平行四边形法则或者向量减法的三角形法则实现。复数相加就是向量OZ1的起点由原点O沿向量OZ2平移至点Z2.复数减法就是向量OZ2的终点Z2指向OZ1的终点Z1.（无论是和向量，还是差向量，根据向量相等的原理，都表示为以原点O为起点的向量OZ 。）
根据复数三角形式的运算法则：
若复数Z1＝r1（cosθ1＋isinθ1），Z2＝r2（cosθ2＋isinθ2），则
Z1·Z2＝r1r2[cos（θ1＋θ2）＋isin（θ1＋θ2）]
■＝■[cos（θ1－θ2）isin（θ1－θ2]
可知，复数相乘就是将向量OZ1在原有的基础上以O为中心逆时针旋转θ2度，同时将向量OZ1的模拉伸为原来的r2倍。复数相除就是将向量OZ1在原有的基础上以O为中心顺时针旋转θ2度，同时将向量OZ1的模拉伸为原来的■倍。（ 可为负）
3.复数在几何问题上的应用
例 点P（x1，y1）绕点R（x2，y2）旋转了α度，求旋转后点P的坐标？
解：根据复数与复平面内点的一一对应性，可知复数z1＝x1＋y1i对应向量OP ，复数z2＝x2＋y2i对应向量OR 。点P绕点R旋转，即是向量RP旋转。
向量 RP＝OP－OR＝Z1－Z2＝（x1－x2）＋（y1－y2）i.
如前所述，差向量RP根据向量相等的原理，可表示为以原点O为起点的向量OZ。 P绕点R旋转α度，即为向量OZ旋转α度。应用复数的乘法就可解决旋转的问题了。
OZ·（cosα＋isinα）＝[（x1－x2）＋（y1－y2）i]·（cosα＋isinα）
＝[（x1－x2）cosα－（y1－y2）sinα] ＋[（x1－x2）·sinα＋（y1－y2）cosα]i.
旋转后起点仍为原点O，现将其平移至起点为R。起点的平移问题可利用复数的加法解决。
即： [（x1－x2）cosα－（y1－y2）sinα] ＋[（x1－x2）·sinα＋（y1－y2）cosα]i＋（x2＋y2i）
＝ [（x1－x2）cosα－（y1－y2）sinα＋x2] ＋[（x1－x2）sinα＋（y1－y2）cosα＋y2]i.
所以旋转后的点P的横坐标为（x1－x2）cosα－（y1－y2）sinα＋x2 ，纵坐标为（x1－x2）sinα＋（y1－y2）cosα＋y2
综上，此问题用复数解决可写为：（z1－z2）·（cosα＋sinα）＋z2.
四、小结
显然，能够巧妙地运用复数，可以在解决几何问题与三角问题时发挥其独到的优势，常常能起到相对简化计算或证明的目的。因此，对复数应用的研究不仅解决了相关问题，也加深了对复数的理解，培养了数形结合的能力，和思维的发散性。总之，对于数学的学习起到了非常大的作用。