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中图分类号：G642 文献标识码：A
摘要：线性代数是高等教育的重要基础课，矩阵特征值特征向量是线性代数的重要知识点，特别是矩阵的零特征值结合行列式，矩阵的秩以及方程组的基础解系等相关知识点的应用就更加灵活，相关文献也比较少，本文利用逆向思维的数学思想结合对比转化思想就矩阵零特征值问题一些灵活应用做了些探讨总结。并举例说明这种思想方法对相关题型的计算是相当有益的，也能提高学生的解题能力和知识应用能力。
关键词：矩阵；零特征值；逆向思维；数学思想
线性代数是高等教育的重要基础课，矩阵特征值特征向量是线性代数的一个学习难点，也是教学的重点，其内容抽象，定理结论较多，同时在求解过程有点比较繁复，是学生不易理解和掌握的部分，在教学实践中发现，如果从逆向思维数学思想的角度思考，结合对比转化思想，矩阵特征值特征向量有些类型的题目的求解就变得相当简单，且思路清晰明了。所谓的逆向思维就是对司空见惯的似乎已成定论的事物或观点反过来思考的一种思维方式。对于某些问题，从结论往回推，倒过来思考，从求解回到已知条件，反过去想或许会使问题简单化。因此借用逆向思维数学思想把直接求解不易或者较繁琐的题目，从逆向的方向思考，就可使求解的过程更加简单快捷，进而也可以加深对相关知识的理解，提高知识的应用能力，能够让学生做到对线性代数相关知识点的理解和掌握其精髓，提高解题能力很有裨益。本文利用逆向思维数学思想结合对比转化思想，结合教学实践就矩阵有关零特征值的零变形、基础解系和不可逆矩阵等相关问题三个方面总结如下：
一、零变形
众所周知，零是数学中一个很特殊的数字，它有一个非常好的特性，即是零乘以任何数仍等于零。如果在有关求解矩阵特征值特征向量的题目中，所求矩阵含有零特征值，就可借用零特征值的特殊性，利用逆向思维数学思想，结合对比转化思想以及零的恒等变形，构造出有利于解题的等价形式，从而使问题的求解思路更加简单、明了、直观，对问题的理解和把握更加准确，教学实践过程中可以总结讲解，进而提高学生对相关知识点的理解把握，提高学生的转化能力和分析问题解决问题的能力。例如：
例1.设为二阶矩阵，α1，α2为线性无关的2维列向量，且Aα1=0，Aα2=2α1+α2，求的特征值。
解析：题目中由于矩阵A没有给出，只给出了矩阵的阶数和特征向量，按常规求矩阵特征值特征向量的解题思路，此题只能知道矩阵有两个特征值，具体是什么根本无法直接求解，但根据题目其他已知条件，利用逆向思维数学思想结合对比转化思想和零的恒等变形即零变形，就会使解题的思路豁然开朗，也即是因Aα1=0，由零变形Aα1=0=0α1，利用矩阵的特征值特征向量的定义和性质，已知λ=0为矩阵A的特征值。此时矩阵含有零特征值，结合其他已知条件，用同样的思想方法可知，又因Aα2=2α1+α2，再由零变形有A（2α1+α2α2）=A（2α1）+Aα2=2α1+α2=1（2α1+α2），就可求出矩阵的另一个非零特征值为，问题得以顺利解决。由此可窥知逆向思维数学思想的妙处。具体求解过程如下。
解：因Aα1=0，由零变形Aα1=0=0α1，则λ=0为矩阵A的特征值。又因Aα2=2α1+α2，再由零变形有A（2α1+α2α2）=A（2α1）+Aα2=2α1+α2=1（2α1+α2）
因此λ=1为矩阵A的非0特征值。综上，矩阵A的特征值为λ=0，λ=1。
二、 基础解系
线性代数把线性方程组系统理论化，并给出线性方程组的如Cramer法则，Gauss消元法，线性方程组解的结构等诸多完善理论解法，其中线性方程组解的结构求解方法是用方程组的基础解系来表示方程组的全部解。解线性方程组是线性代数的线性方程组求解中需要重点掌握和理解的知识点，用基础解系理论求解线性方程组有着非常好的理论和实际优势，思路清晰，逻辑严谨，但求解过程所用到的知识点较多，计算相对繁复一些，不过此解法仍是要求必须掌握的基本方法之一。在教学实践中发现，若借用逆向思维的数学思想，结合对比转化思想把齐次线性方程组的基础解系问题理解为系数矩阵属于零特征值的特征向量问题，由此可知此方程组的基础解系就是系数矩阵属于零特征值线性无关的特征向量，再结合特征向量及方程组相关知识达到方便求解的目的。进而提高学生对线性方程组基础解析相关知识点的准确理解和把握，提高学生对知识的理解能力，转化能力和分析问题解决问题的能力。又如：
例2.已知A2=0，A≠0，证明A不能相似对角化。
证析：题目是一个抽象矩阵的求解证明问题，没有给出矩阵的具体元素，不可利用矩阵对角化方法直接求解，只可结合矩阵相似的性质和题目已知条件求解，因A2=0，A≠0，此时可以考虑到矩阵零特征值问题，便可利用逆向思维数学思想和对比转化思想来求解，有题目条件已知矩阵A的秩满足r（A）≥1，不妨设Aα=λα（α≠0）为矩阵A属于特征值Aα=λα（α≠0）特征向量Aα=λα（α≠0），故有A2α=λ2α=0，因此可知λ=0为矩阵A的特征值，即矩阵A有零特征值，故此题可以用矩阵A的零特征值求解，由线性方程组理论易知线性方程组Ax=0的基础解系有n-r（A）个向量，即λ=0有n-r（A）个线性无关的特征向量，所以矩阵不可对角化，问题得证。通过此题可见若利用逆向思维数学思想可以使题目的思路更加简便，学生理解掌握知识更加透彻，更有利于社会人才的培养。具体证明如下：
证：因A2=0，A≠0，则r（A）≥1，设Aα=λα（α≠0），从而A2α=λ2α=0，则λ=0为矩阵A的特征值，因此Ax=0的基础解系有n-r（A）个向量，即λ=0有n-r（A）个线性无关的特征向量，所以矩阵A不可对角化，得证。
例3.设A是n阶矩阵，且r（A） 例4.设A是3阶不可逆矩阵，且α1， α2是Ax=0的基础解系，α3是A属于特征值λ=1的特征向量，下列不是A的特征向量的是_____
A. α1+3α2 B. α1-α2 C. α1+α3 D.3α2
解析：由α1， α2是Ax=0的基础解系，可知α1， α2是A属于特征值λ=0的特征向量，即Aα1=0=0α1，Aα2=0=0α2，易知选项A，B是特征向量；再由α3是A属于特征值λ=1的特征向量，易知选项D是特征向量，有排除法可知答案为C。
三、不可逆矩阵
矩阵可逆与否是线性代数重要理论之一，相关题目很多，其求解方法也很多，在教学实践中发现，对于有些n阶矩阵求解问题，如果题设中有矩阵A不可逆，或者矩阵A的秩小于矩阵阶数等相关信息时，此类题目就可考虑借用逆向思维数学思想和对比转化思想来思考求解方法，结合矩阵相关理论，易知矩阵不可逆则矩阵必有零特征值，在根据矩阵的零特征值问题与零的恒等变形，进而可以利用零特征值相关知识求解，可使此类问题的求解过程和思路得到很好的简化。进而提高了解题的速度和准确性，又能提过教学质量，有利于学生的相关能力的培训。举例如下：
例5.设A是秩为2的3阶实对称矩阵，且A2+5A=0，则的特征值是______
解：由A是秩为2的3阶实对称矩阵，即r（A）=2<3，则矩阵A必有λ=0的特征值，且其重数为3-2=1重；又由A2+5A=0，则有A+5E=0，也即Aα=-5Eα=-5α，故矩阵A的另一非零特征值λ=-5，由对称性其重数为2。综上，A的特征值是0，-5，-5。
例6.已知A是3阶不可逆矩阵，-1，2是的特征值，则B=A2-A-2E的特征值为________
解：由A是3阶不可逆矩阵，则矩阵A必有0的特征值，因此矩阵的特征值为0，-1，2，所以B=A2-A-2E的特征值为-2，0，0。
综上，借用逆向思维的数学思想和对比转化思想，可以简单准确地解决矩阵零特征值问题，不但能够提高教学质量和学生对数学学习的积极性，而且加深了学生对矩阵特征值特征向量相关知识的准确理解和把握，使求解相关问题更加灵活高效，更能培养学生学习能力和知识的应用能力。
参考文献：
[1] 赵树嫄《线性代数》（第四版）中国人民大学出版社，2008.
[2] 同济大学数学系《工程数学-线性代数》（第五版）高等教育出版社，2007.
摘要：线性代数是高等教育的重要基础课，矩阵特征值特征向量是线性代数的重要知识点，特别是矩阵的零特征值结合行列式，矩阵的秩以及方程组的基础解系等相关知识点的应用就更加灵活，相关文献也比较少，本文利用逆向思维的数学思想结合对比转化思想就矩阵零特征值问题一些灵活应用做了些探讨总结。并举例说明这种思想方法对相关题型的计算是相当有益的，也能提高学生的解题能力和知识应用能力。
关键词：矩阵；零特征值；逆向思维；数学思想
线性代数是高等教育的重要基础课，矩阵特征值特征向量是线性代数的一个学习难点，也是教学的重点，其内容抽象，定理结论较多，同时在求解过程有点比较繁复，是学生不易理解和掌握的部分，在教学实践中发现，如果从逆向思维数学思想的角度思考，结合对比转化思想，矩阵特征值特征向量有些类型的题目的求解就变得相当简单，且思路清晰明了。所谓的逆向思维就是对司空见惯的似乎已成定论的事物或观点反过来思考的一种思维方式。对于某些问题，从结论往回推，倒过来思考，从求解回到已知条件，反过去想或许会使问题简单化。因此借用逆向思维数学思想把直接求解不易或者较繁琐的题目，从逆向的方向思考，就可使求解的过程更加简单快捷，进而也可以加深对相关知识的理解，提高知识的应用能力，能够让学生做到对线性代数相关知识点的理解和掌握其精髓，提高解题能力很有裨益。本文利用逆向思维数学思想结合对比转化思想，结合教学实践就矩阵有关零特征值的零变形、基础解系和不可逆矩阵等相关问题三个方面总结如下：
一、零变形
众所周知，零是数学中一个很特殊的数字，它有一个非常好的特性，即是零乘以任何数仍等于零。如果在有关求解矩阵特征值特征向量的题目中，所求矩阵含有零特征值，就可借用零特征值的特殊性，利用逆向思维数学思想，结合对比转化思想以及零的恒等变形，构造出有利于解题的等价形式，从而使问题的求解思路更加简单、明了、直观，对问题的理解和把握更加准确，教学实践过程中可以总结讲解，进而提高学生对相关知识点的理解把握，提高学生的转化能力和分析问题解决问题的能力。例如：
例1.设为二阶矩阵，α1，α2为线性无关的2维列向量，且Aα1=0，Aα2=2α1+α2，求的特征值。
解析：题目中由于矩阵A没有给出，只给出了矩阵的阶数和特征向量，按常规求矩阵特征值特征向量的解题思路，此题只能知道矩阵有两个特征值，具体是什么根本无法直接求解，但根据题目其他已知条件，利用逆向思维数学思想结合对比转化思想和零的恒等变形即零变形，就会使解题的思路豁然开朗，也即是因Aα1=0，由零变形Aα1=0=0α1，利用矩阵的特征值特征向量的定义和性质，已知λ=0为矩阵A的特征值。此时矩阵含有零特征值，结合其他已知条件，用同样的思想方法可知，又因Aα2=2α1+α2，再由零变形有A（2α1+α2α2）=A（2α1）+Aα2=2α1+α2=1（2α1+α2），就可求出矩阵的另一个非零特征值为，问题得以顺利解决。由此可窥知逆向思维数学思想的妙处。具体求解过程如下。
解：因Aα1=0，由零变形Aα1=0=0α1，则λ=0为矩阵A的特征值。又因Aα2=2α1+α2，再由零变形有A（2α1+α2α2）=A（2α1）+Aα2=2α1+α2=1（2α1+α2）
因此λ=1为矩阵A的非0特征值。综上，矩阵A的特征值为λ=0，λ=1。
二、 基础解系
线性代数把线性方程组系统理论化，并给出线性方程组的如Cramer法则，Gauss消元法，线性方程组解的结构等诸多完善理论解法，其中线性方程组解的结构求解方法是用方程组的基础解系来表示方程组的全部解。解线性方程组是线性代数的线性方程组求解中需要重点掌握和理解的知识点，用基础解系理论求解线性方程组有着非常好的理论和实际优势，思路清晰，逻辑严谨，但求解过程所用到的知识点较多，计算相对繁复一些，不过此解法仍是要求必须掌握的基本方法之一。在教学实践中发现，若借用逆向思维的数学思想，结合对比转化思想把齐次线性方程组的基础解系问题理解为系数矩阵属于零特征值的特征向量问题，由此可知此方程组的基础解系就是系数矩阵属于零特征值线性无关的特征向量，再结合特征向量及方程组相关知识达到方便求解的目的。进而提高学生对线性方程组基础解析相关知识点的准确理解和把握，提高学生对知识的理解能力，转化能力和分析问题解决问题的能力。又如：
例2.已知A2=0，A≠0，证明A不能相似对角化。
证析：题目是一个抽象矩阵的求解证明问题，没有给出矩阵的具体元素，不可利用矩阵对角化方法直接求解，只可结合矩阵相似的性质和题目已知条件求解，因A2=0，A≠0，此时可以考虑到矩阵零特征值问题，便可利用逆向思维数学思想和对比转化思想来求解，有题目条件已知矩阵A的秩满足r（A）≥1，不妨设Aα=λα（α≠0）为矩阵A属于特征值Aα=λα（α≠0）特征向量Aα=λα（α≠0），故有A2α=λ2α=0，因此可知λ=0为矩阵A的特征值，即矩阵A有零特征值，故此题可以用矩阵A的零特征值求解，由线性方程组理论易知线性方程组Ax=0的基础解系有n-r（A）个向量，即λ=0有n-r（A）个线性无关的特征向量，所以矩阵不可对角化，问题得证。通过此题可见若利用逆向思维数学思想可以使题目的思路更加简便，学生理解掌握知识更加透彻，更有利于社会人才的培养。具体证明如下：
证：因A2=0，A≠0，则r（A）≥1，设Aα=λα（α≠0），从而A2α=λ2α=0，则λ=0为矩阵A的特征值，因此Ax=0的基础解系有n-r（A）个向量，即λ=0有n-r（A）个线性无关的特征向量，所以矩阵A不可对角化，得证。
例3.设A是n阶矩阵，且r（A）
A. α1+3α2 B. α1-α2 C. α1+α3 D.3α2
解析：由α1， α2是Ax=0的基础解系，可知α1， α2是A属于特征值λ=0的特征向量，即Aα1=0=0α1，Aα2=0=0α2，易知选项A，B是特征向量；再由α3是A属于特征值λ=1的特征向量，易知选项D是特征向量，有排除法可知答案为C。
三、不可逆矩阵
矩阵可逆与否是线性代数重要理论之一，相关题目很多，其求解方法也很多，在教学实践中发现，对于有些n阶矩阵求解问题，如果题设中有矩阵A不可逆，或者矩阵A的秩小于矩阵阶数等相关信息时，此类题目就可考虑借用逆向思维数学思想和对比转化思想来思考求解方法，结合矩阵相关理论，易知矩阵不可逆则矩阵必有零特征值，在根据矩阵的零特征值问题与零的恒等变形，进而可以利用零特征值相关知识求解，可使此类问题的求解过程和思路得到很好的简化。进而提高了解题的速度和准确性，又能提过教学质量，有利于学生的相关能力的培训。举例如下：
例5.设A是秩为2的3阶实对称矩阵，且A2+5A=0，则的特征值是______
解：由A是秩为2的3阶实对称矩阵，即r（A）=2<3，则矩阵A必有λ=0的特征值，且其重数为3-2=1重；又由A2+5A=0，则有A+5E=0，也即Aα=-5Eα=-5α，故矩阵A的另一非零特征值λ=-5，由对称性其重数为2。综上，A的特征值是0，-5，-5。
例6.已知A是3阶不可逆矩阵，-1，2是的特征值，则B=A2-A-2E的特征值为________
解：由A是3阶不可逆矩阵，则矩阵A必有0的特征值，因此矩阵的特征值为0，-1，2，所以B=A2-A-2E的特征值为-2，0，0。
综上，借用逆向思维的数学思想和对比转化思想，可以简单准确地解决矩阵零特征值问题，不但能够提高教学质量和学生对数学学习的积极性，而且加深了学生对矩阵特征值特征向量相关知识的准确理解和把握，使求解相关问题更加灵活高效，更能培养学生学习能力和知识的应用能力。
参考文献：
[1] 赵树嫄《线性代数》（第四版）中国人民大学出版社，2008.
[2] 同济大学数学系《工程数学-线性代数》（第五版）高等教育出版社，2007.