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现代多媒体计算机具有很强的模拟功能，能轻松地模拟出现实世界很多事物，能直观地展示出各种几何图形，因而一般认为在数学ＣＡＩ中现代计算机能帮助数学教师培养学生的空间想象能力。可是，在实际的教学中如何进行操作呢？未有人探讨。本文拟结合自己的体会就这个问题提出自己的想法。
一、数学空间想象能力培养的重点和难点
数学空间想象能力是现代中学数学教学中要求学生形成的一种很重要的能力。１９９６年国家教委制定的《全日制普通高级中学数学教学大纲》中指出：空间想象能力主要包括“能够由实物形状想象出几何图形，由几何图形想象出实物形状；能够想象几何图形的运动和变化；能够从复杂的图形中区分出基本图形，并能分析其中的基本元素及其关系；能够根据条件做出或画出图形；会形象地揭示问题本质。”
由此，当前的中学数学教学对于培养学生空间想象能力的做法主要是：首先，在日常教学中重视有关空间想象能力知识的教学，如坐标系、函数图像、立体几何概念等；其次，在几何教学中注重实物模型的使用，加强几何教学和实际的联系，加强识图和画图的训练，促进学生对于几何图形的理解和操作；再次，在平时的数学训练中注重图形结合方法的使用。
考虑到当前的教学实际，特别是课堂教学实际，可以看出，中学数学培养学生空间想象能力的关键点和难点主要在于：
１．如何使学生在原有空间观念的基础上进一步丰富对客观事物和几何图形的表象；
２．如何能使学生形成比较清晰和准确的表象；
３．如何能使学生牢固掌握这些表象，并能灵活地运用它们来分析问题和解决问题。
二、利用ＣＡＩ培养中学生空间想象能力探讨
多媒体计算机用于数学教学几个最为突出的方面是：计算速度快、计算准确；能利用多媒体技术模拟客观世界的各种事物；能利用多媒体建构和展示各种几何图形；能利用交互功能使学生真实地参与教学中等。由此，我们认为利用多媒体计算机辅助中学生数学空间想象能力的培养和提高，应主要遵循以下一些原则和要求：
１．结合相关教学内容尽可能多地给学生展示具体实物图像和图形，在展示过程中根据教学需要尽可能地从多个角度和方位进行
尽可能多地给学生展示具体实物图像和图形，这一做法可以弥补传统教学的不足，克服传统教学的难点，给学生呈现大量的实物图像和几何图形，从而开拓学生的视野，在学生原来空间想象能力基础上进一步丰富他们对于客观世界的认识，增加他们对于客观事物的表象和对几何图形的表象。现代心理学研究表明：表象的获得在于对实物的感知，特别是视觉感知。感知的多样性直接影响着获得表象的多样性。
根据教学要求尽可能多方位多角度地给学生展示图像和图形可以帮助学生对客观实物或几何图形有一个整体的认识，可以使学生更好地形成正确的空间观念。
比如，在给学生讲解四面体时，我们从左右、前后、上下等多个角度去呈现它，学生必定会对四面体的各个侧面、各条棱和顶点有一个全面的了解，之后对于四面体这种特殊的几何体有一个准确的整体的把握。
２．结合教学要求给学生展示几何图形的抽象过程
在给学生呈现了客观实物图像或模拟图形时，现代计算机一般能利用自己独特的技术逐渐地淡化其中的一些内容，如图像的侧面和内部等，保留其上的关键点、关键线等一些重要元素，从而形成比较纯粹．的几何图形。给学生展示几何图形的抽象过程即是要求把这个过程呈现给学生。
这一做法很显然也是对传统数学教学的补充，它能弥补传统数学教学中实物教学或一般图像和图形教学的不足，使学生看到实物图像到几何图形的演变过程，帮助学生建立起几何图形和客观实物之间的联系，促使数学教学实现上面提及的“能够由实物形状想象出几何图形，由几何图形想象出实物形状”的教学目的。
另外，如此教学还可以提高学生的几何抽象能力，特别是对于那些空间想象能力基础比较薄弱的学生。原因是，这个过程给出了实物及其图形之间的变换，展示了几何图形的来源，实际上也就是讲述了其中的抽象方法。
３．结合相关内容，为学生尽可能多地提供比较图象和图形，利用计算机技术给学生展示图象和图形的剖分与整合。
为学生提供比较图像和图形即是当学生学习了一个图像或图形之后，为学生再进一步展示一些与之相关的图像或图形，比如在学习了三棱柱之后为学生再进一步提供四棱柱、五棱柱、六棱柱、圆柱、三棱台、三棱柱等几何图形。在学生学习了直线与平面垂直之后再进一步呈现直线和平面平行的图形、直线和平面重合的图形、直线和平面任意相交的图形、两个平面垂直的图形、两条直线相交的图形等等。在提供比较图象和图形时，不仅要让它们排列在一起进行比较，而且还要使他们能交在一起、容在—起、连在一起等——必要的时候还要对图形和图像进行放缩或变形等。
为学生展示图像和图形的剖分与整合即是在教学中，根据教学需要利用多媒体技术——如动画等——再为学生进一步展示其每一部分的基本元素。比如在学习了六面体之后，再进一步为学生展示其每个侧面是怎样的，其对角线截面是怎样的，其每条棱是怎样的，其一般的截面是怎样的，等等。再比如学习过了圆锥之后，再进一步为学生展示其母线是怎样的、圆锥沿母线的展开面是怎样的，其轴线是怎样的，其沿中轴和母线的截面是怎样的，其垂直母线的界面是怎样的，垂直中轴的截面又是怎样的，等等。之后，再将其每—部分合并起来，重新展示其完整的图形或图像。
如此教学，不仅可以使学生更好地认识几何图形，使学生对几何图形性质的理解更加清晰和准确——这些性质包括其外部的整体性质和其自身各个部分之间的关系性质，而且还可以帮助学生形成清晰和准确的空间观念，如六棱柱的哪一部分是三棱柱，一个棱柱怎么会逐渐变成圆柱，圆柱中的球是怎样的，棱台和棱柱到底差别在哪里，等等。从而可为学生将来利用它们迅速正确地分析和解决问题奠定坚实的基础。
４．精心设计教学程序和选择教学软件，使学生能亲自参与几何图形操作，特别是图形的拆分、整合、翻转和缩放等
中学几何教学培养和发展学生的空间想象能力，尽管给学生展示各种各样的实物、实物图象和图形等是重要的，但更重要的也是最为有效的还是给学生提供机会，使学生获得直接的几何经验。现代几何教学实践表明，让学生直接参与几何操作——如作图、制造几何模型等，可以使学生获得的空间观念更加准确、清晰、牢固和最能为学生将来解决问题所用。
给学生提供几何操作机会，使学生获得几何经验，当前的中学数学教学借助传统教学工具常用的方法是：结合教学内容，让学生制作几何模型、绘制几何图形、测量几何模型或图形等。对于这些方法，经过了多年的教学实践和总结，传统教学已经驾轻就熟，取得了许多行之有效的经验，同时我们初步的试验也证明了：如不精心策划教学过程——仅是简单的将多媒体计算机像其他教学工具一样用于数学教学，在当前数学课堂教学模式下一般难以超过传统教学取得比较明显的教学效果。所以，计算机辅助学生空间想象能力的培养和提高，应本着辅助的原则，从传统教学的薄弱环节切入。
当前多媒体计算机给学生呈现几何图形和实物图象与传统教学给学生提供实物模型和几何图形相比，除了在视觉刺激程度上稍弱外，其他的计算机都优于传统数学教学，特别是计算机能将图象和图形进行多方位多角度呈现，能对几何图形进行拆分、整合、旋转、平移、旋转和放缩呈现等——正如上面已经提及的，此外，利用计算机进行几何学习还能对几何图形的基本元素随时测量和计算。这些都是传统数学教学很难达到的或者根本无法实现的。所以，多媒体计算机用于现代中学数学教学，应精心设计教学过程和选择教学软件，在这些方面多给学生提供操作体验的机会。
利用多媒体计算机来帮助培养学生的空间想象能力在上述方面多给学生提供体验几何的机会，无疑更能促进学生对几何图形、图象的理解和形成清晰的几何表象，有助于学生空间想象能力的快速提高——和前面提到的教学要求相比。因为在这个过程中学生亲自动手参与了进去，运用了多种媒体来学习：这个过程中有交互，有观察，有思考，有比较等：见到了平时见不到的现象，如几何图形的放缩；体会到了平时体会不到的过程，如拆分和整合几何图形等。
５．逐渐淡化原则
多媒体计算机给学生展示丰富多彩的几何图象和图形、使学生参与等如同传统数学教学一样，最终还是立足于培养学生的空间观念，发展学生的空间想象能力。而空间想象能力的本质就在于使学生在脱离了实物模型和几何图形之后仍能借助其表象来分析问题、解决问题，也就是要提高学生关于几何图形的抽象思维水平。由此，多媒体计算机辅助学生空间想象能力的提高只是遵循上述要求还是不够的，在此基础上，计算机还应当发挥自己的优势，利用多种技术逐渐培养学生的抽象思维，使学生能借助学习过的几何图像和图形的表象在“空中”处理问题。
如何提高学生对于几何图形的抽象思维水平？我们认为在教学过程中逐渐淡化是很好的措施。逐渐淡化就是在上述教学过程之后，反其道而行之，慢慢淡化几何图象和图形，首先是由动逐渐变静，由多变少，然后是颜色逐渐由鲜艳变为单一，再然后是图像和图形逐渐由清晰变为模糊，直至消失——代之这些图象和图形的是越来越多的文字、符号和公式等，数学符号和公式的演算将逐渐取代几何图象和图形的操作。这样有形的东西消失了，由此建立起来的表象留在了学生的大脑中。学生开始习惯的直观思维也就逐渐地过渡到了抽象思维。我们以此来进行平行正六面体的教学，结果教学之后几乎所有的学生都能将平行正六面体的几何图形牢记在心。学生不仅能记住正六面体的整体形状，而且还能记住其不同位置的截面性质。遇到与正六面体有关的问题，能轻松地提取记忆中的六面体来分析问题和解决问题。
参考文献
［１］ ［美］Ｄ．Ａ．格劳斯．数学教与学研究手册．上海：上海教育出版社，１９９９．
［２］ ［苏］克鲁捷茨基．中小学数学能力心理学．上海：上海教育出版社，１９８３．
［３］ 国家教育委员会基础教育司．全日制普通高级中学数学教学大纲．北京：人民教育出版社，１９９６．
［４］ 邵光华．空间想象能力及几何教学．课程、教材、教法，１９９６（７）．
［５］ Ｎｅｉｌ Ｒ．Ｃａｒｌｓｏｎ．Ｐｓｙｃｈｏｌｏｇｙ．Ｂｏｓｔｏｎ：Ａｌｌｙｎ ａｎｄ Ｂａｃｏｎ，１９９０．２１７－２４９．
（责任编辑 刘永庆）
一、数学空间想象能力培养的重点和难点
数学空间想象能力是现代中学数学教学中要求学生形成的一种很重要的能力。１９９６年国家教委制定的《全日制普通高级中学数学教学大纲》中指出：空间想象能力主要包括“能够由实物形状想象出几何图形，由几何图形想象出实物形状；能够想象几何图形的运动和变化；能够从复杂的图形中区分出基本图形，并能分析其中的基本元素及其关系；能够根据条件做出或画出图形；会形象地揭示问题本质。”
由此，当前的中学数学教学对于培养学生空间想象能力的做法主要是：首先，在日常教学中重视有关空间想象能力知识的教学，如坐标系、函数图像、立体几何概念等；其次，在几何教学中注重实物模型的使用，加强几何教学和实际的联系，加强识图和画图的训练，促进学生对于几何图形的理解和操作；再次，在平时的数学训练中注重图形结合方法的使用。
考虑到当前的教学实际，特别是课堂教学实际，可以看出，中学数学培养学生空间想象能力的关键点和难点主要在于：
１．如何使学生在原有空间观念的基础上进一步丰富对客观事物和几何图形的表象；
２．如何能使学生形成比较清晰和准确的表象；
３．如何能使学生牢固掌握这些表象，并能灵活地运用它们来分析问题和解决问题。
二、利用ＣＡＩ培养中学生空间想象能力探讨
多媒体计算机用于数学教学几个最为突出的方面是：计算速度快、计算准确；能利用多媒体技术模拟客观世界的各种事物；能利用多媒体建构和展示各种几何图形；能利用交互功能使学生真实地参与教学中等。由此，我们认为利用多媒体计算机辅助中学生数学空间想象能力的培养和提高，应主要遵循以下一些原则和要求：
１．结合相关教学内容尽可能多地给学生展示具体实物图像和图形，在展示过程中根据教学需要尽可能地从多个角度和方位进行
尽可能多地给学生展示具体实物图像和图形，这一做法可以弥补传统教学的不足，克服传统教学的难点，给学生呈现大量的实物图像和几何图形，从而开拓学生的视野，在学生原来空间想象能力基础上进一步丰富他们对于客观世界的认识，增加他们对于客观事物的表象和对几何图形的表象。现代心理学研究表明：表象的获得在于对实物的感知，特别是视觉感知。感知的多样性直接影响着获得表象的多样性。
根据教学要求尽可能多方位多角度地给学生展示图像和图形可以帮助学生对客观实物或几何图形有一个整体的认识，可以使学生更好地形成正确的空间观念。
比如，在给学生讲解四面体时，我们从左右、前后、上下等多个角度去呈现它，学生必定会对四面体的各个侧面、各条棱和顶点有一个全面的了解，之后对于四面体这种特殊的几何体有一个准确的整体的把握。
２．结合教学要求给学生展示几何图形的抽象过程
在给学生呈现了客观实物图像或模拟图形时，现代计算机一般能利用自己独特的技术逐渐地淡化其中的一些内容，如图像的侧面和内部等，保留其上的关键点、关键线等一些重要元素，从而形成比较纯粹．的几何图形。给学生展示几何图形的抽象过程即是要求把这个过程呈现给学生。
这一做法很显然也是对传统数学教学的补充，它能弥补传统数学教学中实物教学或一般图像和图形教学的不足，使学生看到实物图像到几何图形的演变过程，帮助学生建立起几何图形和客观实物之间的联系，促使数学教学实现上面提及的“能够由实物形状想象出几何图形，由几何图形想象出实物形状”的教学目的。
另外，如此教学还可以提高学生的几何抽象能力，特别是对于那些空间想象能力基础比较薄弱的学生。原因是，这个过程给出了实物及其图形之间的变换，展示了几何图形的来源，实际上也就是讲述了其中的抽象方法。
３．结合相关内容，为学生尽可能多地提供比较图象和图形，利用计算机技术给学生展示图象和图形的剖分与整合。
为学生提供比较图像和图形即是当学生学习了一个图像或图形之后，为学生再进一步展示一些与之相关的图像或图形，比如在学习了三棱柱之后为学生再进一步提供四棱柱、五棱柱、六棱柱、圆柱、三棱台、三棱柱等几何图形。在学生学习了直线与平面垂直之后再进一步呈现直线和平面平行的图形、直线和平面重合的图形、直线和平面任意相交的图形、两个平面垂直的图形、两条直线相交的图形等等。在提供比较图象和图形时，不仅要让它们排列在一起进行比较，而且还要使他们能交在一起、容在—起、连在一起等——必要的时候还要对图形和图像进行放缩或变形等。
为学生展示图像和图形的剖分与整合即是在教学中，根据教学需要利用多媒体技术——如动画等——再为学生进一步展示其每一部分的基本元素。比如在学习了六面体之后，再进一步为学生展示其每个侧面是怎样的，其对角线截面是怎样的，其每条棱是怎样的，其一般的截面是怎样的，等等。再比如学习过了圆锥之后，再进一步为学生展示其母线是怎样的、圆锥沿母线的展开面是怎样的，其轴线是怎样的，其沿中轴和母线的截面是怎样的，其垂直母线的界面是怎样的，垂直中轴的截面又是怎样的，等等。之后，再将其每—部分合并起来，重新展示其完整的图形或图像。
如此教学，不仅可以使学生更好地认识几何图形，使学生对几何图形性质的理解更加清晰和准确——这些性质包括其外部的整体性质和其自身各个部分之间的关系性质，而且还可以帮助学生形成清晰和准确的空间观念，如六棱柱的哪一部分是三棱柱，一个棱柱怎么会逐渐变成圆柱，圆柱中的球是怎样的，棱台和棱柱到底差别在哪里，等等。从而可为学生将来利用它们迅速正确地分析和解决问题奠定坚实的基础。
４．精心设计教学程序和选择教学软件，使学生能亲自参与几何图形操作，特别是图形的拆分、整合、翻转和缩放等
中学几何教学培养和发展学生的空间想象能力，尽管给学生展示各种各样的实物、实物图象和图形等是重要的，但更重要的也是最为有效的还是给学生提供机会，使学生获得直接的几何经验。现代几何教学实践表明，让学生直接参与几何操作——如作图、制造几何模型等，可以使学生获得的空间观念更加准确、清晰、牢固和最能为学生将来解决问题所用。
给学生提供几何操作机会，使学生获得几何经验，当前的中学数学教学借助传统教学工具常用的方法是：结合教学内容，让学生制作几何模型、绘制几何图形、测量几何模型或图形等。对于这些方法，经过了多年的教学实践和总结，传统教学已经驾轻就熟，取得了许多行之有效的经验，同时我们初步的试验也证明了：如不精心策划教学过程——仅是简单的将多媒体计算机像其他教学工具一样用于数学教学，在当前数学课堂教学模式下一般难以超过传统教学取得比较明显的教学效果。所以，计算机辅助学生空间想象能力的培养和提高，应本着辅助的原则，从传统教学的薄弱环节切入。
当前多媒体计算机给学生呈现几何图形和实物图象与传统教学给学生提供实物模型和几何图形相比，除了在视觉刺激程度上稍弱外，其他的计算机都优于传统数学教学，特别是计算机能将图象和图形进行多方位多角度呈现，能对几何图形进行拆分、整合、旋转、平移、旋转和放缩呈现等——正如上面已经提及的，此外，利用计算机进行几何学习还能对几何图形的基本元素随时测量和计算。这些都是传统数学教学很难达到的或者根本无法实现的。所以，多媒体计算机用于现代中学数学教学，应精心设计教学过程和选择教学软件，在这些方面多给学生提供操作体验的机会。
利用多媒体计算机来帮助培养学生的空间想象能力在上述方面多给学生提供体验几何的机会，无疑更能促进学生对几何图形、图象的理解和形成清晰的几何表象，有助于学生空间想象能力的快速提高——和前面提到的教学要求相比。因为在这个过程中学生亲自动手参与了进去，运用了多种媒体来学习：这个过程中有交互，有观察，有思考，有比较等：见到了平时见不到的现象，如几何图形的放缩；体会到了平时体会不到的过程，如拆分和整合几何图形等。
５．逐渐淡化原则
多媒体计算机给学生展示丰富多彩的几何图象和图形、使学生参与等如同传统数学教学一样，最终还是立足于培养学生的空间观念，发展学生的空间想象能力。而空间想象能力的本质就在于使学生在脱离了实物模型和几何图形之后仍能借助其表象来分析问题、解决问题，也就是要提高学生关于几何图形的抽象思维水平。由此，多媒体计算机辅助学生空间想象能力的提高只是遵循上述要求还是不够的，在此基础上，计算机还应当发挥自己的优势，利用多种技术逐渐培养学生的抽象思维，使学生能借助学习过的几何图像和图形的表象在“空中”处理问题。
如何提高学生对于几何图形的抽象思维水平？我们认为在教学过程中逐渐淡化是很好的措施。逐渐淡化就是在上述教学过程之后，反其道而行之，慢慢淡化几何图象和图形，首先是由动逐渐变静，由多变少，然后是颜色逐渐由鲜艳变为单一，再然后是图像和图形逐渐由清晰变为模糊，直至消失——代之这些图象和图形的是越来越多的文字、符号和公式等，数学符号和公式的演算将逐渐取代几何图象和图形的操作。这样有形的东西消失了，由此建立起来的表象留在了学生的大脑中。学生开始习惯的直观思维也就逐渐地过渡到了抽象思维。我们以此来进行平行正六面体的教学，结果教学之后几乎所有的学生都能将平行正六面体的几何图形牢记在心。学生不仅能记住正六面体的整体形状，而且还能记住其不同位置的截面性质。遇到与正六面体有关的问题，能轻松地提取记忆中的六面体来分析问题和解决问题。
参考文献
［１］ ［美］Ｄ．Ａ．格劳斯．数学教与学研究手册．上海：上海教育出版社，１９９９．
［２］ ［苏］克鲁捷茨基．中小学数学能力心理学．上海：上海教育出版社，１９８３．
［３］ 国家教育委员会基础教育司．全日制普通高级中学数学教学大纲．北京：人民教育出版社，１９９６．
［４］ 邵光华．空间想象能力及几何教学．课程、教材、教法，１９９６（７）．
［５］ Ｎｅｉｌ Ｒ．Ｃａｒｌｓｏｎ．Ｐｓｙｃｈｏｌｏｇｙ．Ｂｏｓｔｏｎ：Ａｌｌｙｎ ａｎｄ Ｂａｃｏｎ，１９９０．２１７－２４９．
（责任编辑 刘永庆）