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立体几何中线面垂直的判定定理有多种证法，本文从高等数学中解析几何关于平面的定义出发，利用集合证明了直线与平面垂直判定定理.
公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.
公理2推论1：过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面.
公理3：如果不重合的平面有一个公共点，那么他们有且只有一条过该点的公共直线.
解析几何中平面的定义：在空间中，到两点距离相等的点的轨迹叫做平面.
引理：若直线l与平面α内的两条相交直线都垂直，则l与α相交.
证明：不妨设α内的两条相交直线a，b都与l垂直.
假设l与α不相交，则lα或l∥α.显然lα是不可能的，于是l∥α.
在α内任取一点A，由公理2推论1，设过l和点A的平面为β，由公理3，设β∩α=c.由l∥α知l∥c.
因为l⊥a且l⊥b，所以c⊥a且c⊥b，又a，b，c同在α内，因为a∥b或a，b重合，这与a，b相交矛盾. 因为l与a相交.证毕.
直线和平面垂直的判定定理：已知：mα，nα，m∩n=B，l⊥m，l⊥n，求证：l⊥α.
中学数学课程中的一般证法：由已知及引理，不失一般性设l∩α=B（若l∩α=B′，在α内过B′作m′∥m，n′∥n，则l⊥m′，l⊥n′）.
任取一条直线gα（g≠m，g≠n），不失一般性设g∩α=B.
任取l上一点A，再取一点A′，使AB=A′B.
任取一条直线h，使h交m于C点，交n于D点，交g于E点.
因为l⊥m，l⊥n，AB=A′B，BC=BC，BD=D，所以△ABC≌△A′BC，
△ABD≌△A′BD，所以AC=A′C，AD=A′D.
又因为CD=CD，所以△ACD≌△A′CD，所以∠ACE=∠A′CE.
因为∠ACE=∠A′CE，CE=CE，AC=A′C，所以△ACE≌△A′CE，所以AE=A′E.
因为AE=A′E，BE=BE，AB=A′B，所以△AEB≌△A′EB，所以∠ABE=∠A′BE=90°.所以l⊥g.证毕.
这种一般证法将空间几何的知识转化为平面几何的内容，从而进行处理.其过程方便简洁，并且符合高中生的知识储备和学习状况.
新证：由已知及引理，不失一般性设l∩α=B（若l∩α=B′，在α内过B′作m′∥m，n′∥n，则l⊥m′，l⊥n′）.
不妨构造一个集合O={过B点且垂直于直线l的所有直线}.下面证明集合O的所有元素构成一个平面.
取l上到点B距离相等的两个点K，K′.h∈O，任取h上一点H，则l′O（l′为一过点B且垂直于l的直线），H∈l′，易得l′为线段KK′的中垂线，故|KH|=|K′H|，故O包含于一个由点K和点K′生成的平面O′.（由解析几何中平面的定义得）
H′∈O′，有|KH′|=|K′H′|，故H′包含于一条线段KK′的中垂线l″.又易得l″∈O，故O′O，因此O′=O.
因为mO，nO，所以O=α （两条相交直线确定一个平面）.
任取α内一条直线g，若g过B点，则因为gO，所以g⊥l.若g不过B点，则过B点做一条直线g′∥g，易知g′O，故g′⊥l，故g⊥l.所以l⊥α.证毕.
这种方法利用了高等数学里解析几何中关于平面的定义，并且结合了集合的内容，巧妙地证明了直线与平面的垂直定理.当然，这种证明方法可能不太适合高中教学，仅供参考.
华南师范大学数学科学学院 （510000）● 刘 岩
平面向量问题错解辨析
摘要：平面向量已成为高中数学的主干知识，同时也是高考、竞赛、高校自主招生考试命题的热点内容.在学习本部分知识时，倘若对基础知识和基本技能掌握得不好，就很可能导致解题的失误，下面举例加以辨析，以期能对同学们的学习有所启发和帮助.
关键词：数学教学；高中数学；平面向量
一、基本概念不清
例1 将向量a=（1，2）按向量m=（2，3）平移后所得到的向量的坐标为（ ）
（A） （3，5） （B） （-1，-1） （C） （1，2） （D） （3，-1）
错解： 由平移公式x′=x+h
y′=y+k知向量a按向量m=（2，3）平移后得到的向量的坐标为（3，5）. 选（A）.
辨析：向量又称自由向量，即只要长度相等，且方向相同的向量就是同一向量，故任一向量平移后得到的向量仍是其本身，坐标也不发生变化. 选（C）.
二、忽视定理前提
例2 已知直线l上有不重合三点A、B、C，P是任意一点，且向量PA=αPB+βPC，则α+β的值为（ ）
（A） 1 （B） -1 （C） 0 （D） 不能确定
错解： 因为A、B、C不重合，所以CB≠0，由向量共线定理知：存在唯一的实数λ使得BA=λCB成立，即PA-PB=λ（PB-PC），整理得PA=（1+λ）PB-λPC，又因为PA=αPB+βPC，所以α=1+λ，β=-λ，所以α+β=1. 选（A）.
辨析：由平面向量基本定理知：只有当向量PB、PC不共线，即Pl时，才可作为平面向量的一个基底，此时PA=αPB+βPC中的α、β是唯一的！ 即有α=1+λ，β=-λ；而当
图1P∈l时α、β却不是唯一的.如图1所示，设B、C是有向线段AP的两个三等分点，显然有PA=0PB+3PC=PB+PC=-PB+5PC=…，因此对任意的点P，α+β的值是不确定的. 选（D）.
三、混淆运算法则 图2例3 如图2，在平行四边形ABCD中，若AC2·BD2=AB4+AD4 ，则∠DAB的大小为（ ）
（A） 90° （B） 45° （C） 135° （D） 45°或135°
错解：设AB=a，AD=b，则AC=a+b，BD=b-a，由已知可得（a+b）2·（b-a）2=（b2-a2）2=a4+b4-2（a·b）2=a4+b4，所以a·b=0，故∠DAB=90°. 选（A）.
辨析：上述解题过程两次用到公式x2·y2=（x·y）2，误将向量运算当成实数运算. 事实上，x2·y2=|a|2|y|2，而（x·y）2=|x|2|y|2cos2θ，其中θ为向量x、y的夹角，因此只有当θ=0或θ=π时才有x2·y2=（x·y）2.
正解：由已知可得（a+b）2（b-a）2=（a2+b2+2ab）（a2+b2-2ab）=（a2+b2）2-（2ab）2=a4+b4+2a2b2-4（a·b）2=a4+b4，所以a2b2=2（ab）2，所以a·b|a||b|=±22，故∠DAB=45°或135°. 选（D）.
四、不是等价转化
例4 在平面直角坐标系内，已知点A（0，0）、B（3，-3）、C（n2+1，-2）、D（n，1），若四边形ABCD是平行四边形（A、B、C、D四点按逆时针排列），则实数n的值为（ ）
（A） -1 （B） 2 （C） -1或2 （D） 不能确定
错解：依题意有AB=DC，即（3，3）=（n2+1-n，-3），故n2+1-n=3，解得n=-1或n=2. 选（C）.
辨析： 四边形ABCD是平行四边形可推出AB=DC，但AB=DC却不能推出四边形ABCD是平行四边形，还可能出现 A、B、C、D四点共线的情形.因此，上述解法的转化是不等价的！事实上，当n=-1时， A、B、C、D四点就共线. 选（B）.
五、遗漏特殊情形
例5 已知向量a=（λ，2），b=（-3，5），若向量a、b的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是（ ）
（A） λ>103 （B） λ<103
（C） λ<103且λ≠=-65 （D） 非上述答案
错解：向量a、b的夹角为锐角a·b>0，即-3λ+10>0，解得λ<103. 选（B）.
辨析：非0向量m、n的夹角θ为锐角与m·n>0是不等价的，上述解题过程遗漏了两个向量a、b同向共线的情形.
正解：接上，设a=kb（k>0得λ=-3k
2=5k，解得k=25
λ=-65，
所以当λ=-65时，向量a、b 的夹角为0，不是锐角，故λ<103，且λ≠-65. 选（C）.
六、审题不够细致
例6 设e1和e2是夹角为60°的两个单位向量，且a=e1+2e2，b=2e1+e2，则|a+b|的值为（ ）
（A） 3 （B） 32 （C） 33 （D） 非上述答案
错解： 因为a+b=e1+2e2+2e1+e2=3e1+3e2.所以a+b=（3，3），所以|a+b|=32. 选（B）.
辨析：上述解法，由于审题不细误把夹角为60°的两个单位向量e1和e2当成了正交的单位向量，进而得出了a+b的坐标为（3，3）的错误结果，导致解题失误.
正解：因为a+b=e1+2e2+2e1+e2=3e1+3e2，所以
|a+b|=3|e1+e2|=3（e1+e2）2=3e21+2e1e2+e22=3|e1|2+2|e1||e2|cos60°+|e2|2=333 . 选（C）.
七、方法选择不当
例7 设a、 b不共线，则关于x的方程ax2+b x+c =0解的情况是（ ）
（A） 至少有一个实数解 （B） 至多有一个实数解
（C） 至多有两个实数解 （D） 可能有无数个实数解
错解：在方程两边同乘a得a2x2+a·bx+a·c=0，Δ=（a·b）2-4a2（a·c），当Δ>0时，方程有两个不等实数解；当Δ=0时，方程有一个实数解；当Δ<0时，方程无实数解. 选（C）.
辨析：在方程两边同乘a得到方程a2x2+a·bx+a·c=0时会出现ax2+bx+c≠0 ，但向量a与向量ax2+bx+c垂直，仍有a2x2+a·bx+a·c=0的情况，进而产生了增解.
正解： 因为a、b不共线，由平面向量基本定理知：存在唯一的有序实数对（α，β）使得-c=αa+βb成立，又-c=ax2+bx，故若方程有解，则必有α=x2
β=x，即β=α2.因此，若β=α2，则方程有一个实数解x=β；若β≠α2，则方程无实数解. 选（B）.
对一些常见的典型易错题进行归纳、积累和总结，不但可以降低解题的失误率，更有利于形成缜密的、善于批判的思维品质.
黑龙江省鸡西市一中 （158100）
公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.
公理2推论1：过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面.
公理3：如果不重合的平面有一个公共点，那么他们有且只有一条过该点的公共直线.
解析几何中平面的定义：在空间中，到两点距离相等的点的轨迹叫做平面.
引理：若直线l与平面α内的两条相交直线都垂直，则l与α相交.
证明：不妨设α内的两条相交直线a，b都与l垂直.
假设l与α不相交，则lα或l∥α.显然lα是不可能的，于是l∥α.
在α内任取一点A，由公理2推论1，设过l和点A的平面为β，由公理3，设β∩α=c.由l∥α知l∥c.
因为l⊥a且l⊥b，所以c⊥a且c⊥b，又a，b，c同在α内，因为a∥b或a，b重合，这与a，b相交矛盾. 因为l与a相交.证毕.
直线和平面垂直的判定定理：已知：mα，nα，m∩n=B，l⊥m，l⊥n，求证：l⊥α.
中学数学课程中的一般证法：由已知及引理，不失一般性设l∩α=B（若l∩α=B′，在α内过B′作m′∥m，n′∥n，则l⊥m′，l⊥n′）.
任取一条直线gα（g≠m，g≠n），不失一般性设g∩α=B.
任取l上一点A，再取一点A′，使AB=A′B.
任取一条直线h，使h交m于C点，交n于D点，交g于E点.
因为l⊥m，l⊥n，AB=A′B，BC=BC，BD=D，所以△ABC≌△A′BC，
△ABD≌△A′BD，所以AC=A′C，AD=A′D.
又因为CD=CD，所以△ACD≌△A′CD，所以∠ACE=∠A′CE.
因为∠ACE=∠A′CE，CE=CE，AC=A′C，所以△ACE≌△A′CE，所以AE=A′E.
因为AE=A′E，BE=BE，AB=A′B，所以△AEB≌△A′EB，所以∠ABE=∠A′BE=90°.所以l⊥g.证毕.
这种一般证法将空间几何的知识转化为平面几何的内容，从而进行处理.其过程方便简洁，并且符合高中生的知识储备和学习状况.
新证：由已知及引理，不失一般性设l∩α=B（若l∩α=B′，在α内过B′作m′∥m，n′∥n，则l⊥m′，l⊥n′）.
不妨构造一个集合O={过B点且垂直于直线l的所有直线}.下面证明集合O的所有元素构成一个平面.
取l上到点B距离相等的两个点K，K′.h∈O，任取h上一点H，则l′O（l′为一过点B且垂直于l的直线），H∈l′，易得l′为线段KK′的中垂线，故|KH|=|K′H|，故O包含于一个由点K和点K′生成的平面O′.（由解析几何中平面的定义得）
H′∈O′，有|KH′|=|K′H′|，故H′包含于一条线段KK′的中垂线l″.又易得l″∈O，故O′O，因此O′=O.
因为mO，nO，所以O=α （两条相交直线确定一个平面）.
任取α内一条直线g，若g过B点，则因为gO，所以g⊥l.若g不过B点，则过B点做一条直线g′∥g，易知g′O，故g′⊥l，故g⊥l.所以l⊥α.证毕.
这种方法利用了高等数学里解析几何中关于平面的定义，并且结合了集合的内容，巧妙地证明了直线与平面的垂直定理.当然，这种证明方法可能不太适合高中教学，仅供参考.
华南师范大学数学科学学院 （510000）● 刘 岩
平面向量问题错解辨析
摘要：平面向量已成为高中数学的主干知识，同时也是高考、竞赛、高校自主招生考试命题的热点内容.在学习本部分知识时，倘若对基础知识和基本技能掌握得不好，就很可能导致解题的失误，下面举例加以辨析，以期能对同学们的学习有所启发和帮助.
关键词：数学教学；高中数学；平面向量
一、基本概念不清
例1 将向量a=（1，2）按向量m=（2，3）平移后所得到的向量的坐标为（ ）
（A） （3，5） （B） （-1，-1） （C） （1，2） （D） （3，-1）
错解： 由平移公式x′=x+h
y′=y+k知向量a按向量m=（2，3）平移后得到的向量的坐标为（3，5）. 选（A）.
辨析：向量又称自由向量，即只要长度相等，且方向相同的向量就是同一向量，故任一向量平移后得到的向量仍是其本身，坐标也不发生变化. 选（C）.
二、忽视定理前提
例2 已知直线l上有不重合三点A、B、C，P是任意一点，且向量PA=αPB+βPC，则α+β的值为（ ）
（A） 1 （B） -1 （C） 0 （D） 不能确定
错解： 因为A、B、C不重合，所以CB≠0，由向量共线定理知：存在唯一的实数λ使得BA=λCB成立，即PA-PB=λ（PB-PC），整理得PA=（1+λ）PB-λPC，又因为PA=αPB+βPC，所以α=1+λ，β=-λ，所以α+β=1. 选（A）.
辨析：由平面向量基本定理知：只有当向量PB、PC不共线，即Pl时，才可作为平面向量的一个基底，此时PA=αPB+βPC中的α、β是唯一的！ 即有α=1+λ，β=-λ；而当
图1P∈l时α、β却不是唯一的.如图1所示，设B、C是有向线段AP的两个三等分点，显然有PA=0PB+3PC=PB+PC=-PB+5PC=…，因此对任意的点P，α+β的值是不确定的. 选（D）.
三、混淆运算法则 图2例3 如图2，在平行四边形ABCD中，若AC2·BD2=AB4+AD4 ，则∠DAB的大小为（ ）
（A） 90° （B） 45° （C） 135° （D） 45°或135°
错解：设AB=a，AD=b，则AC=a+b，BD=b-a，由已知可得（a+b）2·（b-a）2=（b2-a2）2=a4+b4-2（a·b）2=a4+b4，所以a·b=0，故∠DAB=90°. 选（A）.
辨析：上述解题过程两次用到公式x2·y2=（x·y）2，误将向量运算当成实数运算. 事实上，x2·y2=|a|2|y|2，而（x·y）2=|x|2|y|2cos2θ，其中θ为向量x、y的夹角，因此只有当θ=0或θ=π时才有x2·y2=（x·y）2.
正解：由已知可得（a+b）2（b-a）2=（a2+b2+2ab）（a2+b2-2ab）=（a2+b2）2-（2ab）2=a4+b4+2a2b2-4（a·b）2=a4+b4，所以a2b2=2（ab）2，所以a·b|a||b|=±22，故∠DAB=45°或135°. 选（D）.
四、不是等价转化
例4 在平面直角坐标系内，已知点A（0，0）、B（3，-3）、C（n2+1，-2）、D（n，1），若四边形ABCD是平行四边形（A、B、C、D四点按逆时针排列），则实数n的值为（ ）
（A） -1 （B） 2 （C） -1或2 （D） 不能确定
错解：依题意有AB=DC，即（3，3）=（n2+1-n，-3），故n2+1-n=3，解得n=-1或n=2. 选（C）.
辨析： 四边形ABCD是平行四边形可推出AB=DC，但AB=DC却不能推出四边形ABCD是平行四边形，还可能出现 A、B、C、D四点共线的情形.因此，上述解法的转化是不等价的！事实上，当n=-1时， A、B、C、D四点就共线. 选（B）.
五、遗漏特殊情形
例5 已知向量a=（λ，2），b=（-3，5），若向量a、b的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是（ ）
（A） λ>103 （B） λ<103
（C） λ<103且λ≠=-65 （D） 非上述答案
错解：向量a、b的夹角为锐角a·b>0，即-3λ+10>0，解得λ<103. 选（B）.
辨析：非0向量m、n的夹角θ为锐角与m·n>0是不等价的，上述解题过程遗漏了两个向量a、b同向共线的情形.
正解：接上，设a=kb（k>0得λ=-3k
2=5k，解得k=25
λ=-65，
所以当λ=-65时，向量a、b 的夹角为0，不是锐角，故λ<103，且λ≠-65. 选（C）.
六、审题不够细致
例6 设e1和e2是夹角为60°的两个单位向量，且a=e1+2e2，b=2e1+e2，则|a+b|的值为（ ）
（A） 3 （B） 32 （C） 33 （D） 非上述答案
错解： 因为a+b=e1+2e2+2e1+e2=3e1+3e2.所以a+b=（3，3），所以|a+b|=32. 选（B）.
辨析：上述解法，由于审题不细误把夹角为60°的两个单位向量e1和e2当成了正交的单位向量，进而得出了a+b的坐标为（3，3）的错误结果，导致解题失误.
正解：因为a+b=e1+2e2+2e1+e2=3e1+3e2，所以
|a+b|=3|e1+e2|=3（e1+e2）2=3e21+2e1e2+e22=3|e1|2+2|e1||e2|cos60°+|e2|2=333 . 选（C）.
七、方法选择不当
例7 设a、 b不共线，则关于x的方程ax2+b x+c =0解的情况是（ ）
（A） 至少有一个实数解 （B） 至多有一个实数解
（C） 至多有两个实数解 （D） 可能有无数个实数解
错解：在方程两边同乘a得a2x2+a·bx+a·c=0，Δ=（a·b）2-4a2（a·c），当Δ>0时，方程有两个不等实数解；当Δ=0时，方程有一个实数解；当Δ<0时，方程无实数解. 选（C）.
辨析：在方程两边同乘a得到方程a2x2+a·bx+a·c=0时会出现ax2+bx+c≠0 ，但向量a与向量ax2+bx+c垂直，仍有a2x2+a·bx+a·c=0的情况，进而产生了增解.
正解： 因为a、b不共线，由平面向量基本定理知：存在唯一的有序实数对（α，β）使得-c=αa+βb成立，又-c=ax2+bx，故若方程有解，则必有α=x2
β=x，即β=α2.因此，若β=α2，则方程有一个实数解x=β；若β≠α2，则方程无实数解. 选（B）.
对一些常见的典型易错题进行归纳、积累和总结，不但可以降低解题的失误率，更有利于形成缜密的、善于批判的思维品质.
黑龙江省鸡西市一中 （158100）