论文部分内容阅读
函数中有一类常见的题型——比较大小，下面结合2014年江苏高考数学第19题总结这类题的常见解法，探究这类题的解题规律.
引例：（2014年江苏第19题）已知函数f（x）=e■ e■，其中e是自然对数的底数.
（1）证明：f（x）是R上的偶函数；
（2）若关于x的不等式mf（x）≤e■ m-1在（0， ∞）上恒成立，求实数m的取值范围；
（3）已知正数a满足：存在x■∈[1， ∞），使得f（x■） 为了解决这个题，先研究以下几个简单的问题：
例1：（2013江苏第21题）已知：a≥b>0，求证：2a■-b■≥2ab■-a■b.
证明：∵2a■-b■-2ab■ a■b=（2a■-2ab■） （a■b-b■）=2a（a■-b■） b（a■-b■）
=（a■-b■）（2a b）=（a b）（a-b）（2a b）
又∵a≥b>0，∴a b>0，a-b≥0，2a b≥0
∴（a b）（a-b）（2a b）≥0
∴2a■-b■-2ab■ a■b≥0
∴2a■-b■≥2ab■-a■b
总结：本题采用的是作差的方法，作差是比较大小最常见的一种方法，特别是有关多项式大小关系问题常用此法.作差后和0比较大小，所以最好将其分解便于判断符号.对于正数，涉及幂的有时可考虑作商.
例2：（2009年江苏10）.已知a=■，函数f（x）=a■，若实数m，n满足f（m）>f（n），则m，n的大小关系为？摇 ？摇.
解：∵a=■∈（0，1），∴函数f（x）=a■在R上递减.
由f（m）>f（n）得m 总结：本题利用函数的单调性，比较大小是函数的单调性重要应用之一，特别是指数函数、对数函数、幂函数中的比较大小问题.
例3：已知a=5log■■，b=5log■■，c=■log■■，则a，b，c的大小关系是？摇 ？摇.
解：∵log■■>log■■=1，且■<3.4
∴log■■ ∵log■■1
∴log■■ ∴log■■>log■■>log■■
∵y=5■为增函数，∴5log■■>5log■■>5log■■
即5log■■>5log■■>5log■■，故a>c>b.
总结：如果不好直接比较大小，则可以间接比较，中间量便是其中一种重要的方法，常以0，1，-1为中间量.
例4：（1983年全国）已知a，b为实数，并且eb■.
证明：当eb■，只要证blna>alnb，即只要证■>■.
考虑函数y=■（x>0），因为当x>e时，y′=■<0，所以函数y=■在（e， ∞）内是减函数.
因为e■，即得a■>b■.
总结：通过作差，转化为函数的最值问题，也是比较大小的一种重要方法.
有了上面的基础现在再研究2014年高考第19题.
解：（1）、（2）问此处省略
（3）f′（x）=e■-e■，当x>1时f′（x）>0，∴f（x）在（1， ∞）上单调增.
令h（x）=a（-x■ 3x），h′（x）=-3ax（x-1）
∵a>0，x>1，∴h′（x）<0，即h（x）在x∈（1， ∞）上单调减.
∵存在x■∈[1， ∞），使得f（x■） ∴f（1）=e ■<2a，即a>■（e ■）
∵ln■=lna■-lne■=（e-1）lna-a 1
设m（a）=（e-1）lna-a 1，则m′（a）=■-1=■，a>■（e ■）
当■（e ■）0，m（a）单调增；
当a>e-1时，m′（a）<0，m（a）单调减.
因此m（a）至多有两个零点，而m（1）=m（e）=0
∴当a>e时，m（a）<0，a■ 当■（e ■）e■；
当a=e时，m（a）=0，a■=e■.
函数中比较大小是一种常见题型.本讲通过四道例题一道引例总结了比较大小的四种常见方法：作差、利用函数单调性、中间量、构造函数.
引例：（2014年江苏第19题）已知函数f（x）=e■ e■，其中e是自然对数的底数.
（1）证明：f（x）是R上的偶函数；
（2）若关于x的不等式mf（x）≤e■ m-1在（0， ∞）上恒成立，求实数m的取值范围；
（3）已知正数a满足：存在x■∈[1， ∞），使得f（x■）
例1：（2013江苏第21题）已知：a≥b>0，求证：2a■-b■≥2ab■-a■b.
证明：∵2a■-b■-2ab■ a■b=（2a■-2ab■） （a■b-b■）=2a（a■-b■） b（a■-b■）
=（a■-b■）（2a b）=（a b）（a-b）（2a b）
又∵a≥b>0，∴a b>0，a-b≥0，2a b≥0
∴（a b）（a-b）（2a b）≥0
∴2a■-b■-2ab■ a■b≥0
∴2a■-b■≥2ab■-a■b
总结：本题采用的是作差的方法，作差是比较大小最常见的一种方法，特别是有关多项式大小关系问题常用此法.作差后和0比较大小，所以最好将其分解便于判断符号.对于正数，涉及幂的有时可考虑作商.
例2：（2009年江苏10）.已知a=■，函数f（x）=a■，若实数m，n满足f（m）>f（n），则m，n的大小关系为？摇 ？摇.
解：∵a=■∈（0，1），∴函数f（x）=a■在R上递减.
由f（m）>f（n）得m
例3：已知a=5log■■，b=5log■■，c=■log■■，则a，b，c的大小关系是？摇 ？摇.
解：∵log■■>log■■=1，且■<3.4
∴log■■
∴log■■
∵y=5■为增函数，∴5log■■>5log■■>5log■■
即5log■■>5log■■>5log■■，故a>c>b.
总结：如果不好直接比较大小，则可以间接比较，中间量便是其中一种重要的方法，常以0，1，-1为中间量.
例4：（1983年全国）已知a，b为实数，并且e
证明：当e
考虑函数y=■（x>0），因为当x>e时，y′=■<0，所以函数y=■在（e， ∞）内是减函数.
因为e
总结：通过作差，转化为函数的最值问题，也是比较大小的一种重要方法.
有了上面的基础现在再研究2014年高考第19题.
解：（1）、（2）问此处省略
（3）f′（x）=e■-e■，当x>1时f′（x）>0，∴f（x）在（1， ∞）上单调增.
令h（x）=a（-x■ 3x），h′（x）=-3ax（x-1）
∵a>0，x>1，∴h′（x）<0，即h（x）在x∈（1， ∞）上单调减.
∵存在x■∈[1， ∞），使得f（x■）
∵ln■=lna■-lne■=（e-1）lna-a 1
设m（a）=（e-1）lna-a 1，则m′（a）=■-1=■，a>■（e ■）
当■（e ■）
当a>e-1时，m′（a）<0，m（a）单调减.
因此m（a）至多有两个零点，而m（1）=m（e）=0
∴当a>e时，m（a）<0，a■
当a=e时，m（a）=0，a■=e■.
函数中比较大小是一种常见题型.本讲通过四道例题一道引例总结了比较大小的四种常见方法：作差、利用函数单调性、中间量、构造函数.