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摘 要：文章从“利用导数解决生活中的优化问题”的概念出发，对经济问题进行分析决策，并对目前经济活动中常见的问题进行了应用分析，包括最优利润、最佳时间、消费者剩余和预测市场结果，市场受到干预所发生的变化等。
关键词：导数；优化问题；分析应用；经济分析
在经济研究中，经常要运用经济数学对某个问题进行市场分析、判断并做出理论研究。本文从生产建设和科技活动中对导数解决生活中的优化问进行探讨。
一、 优化问题
在日常生活，生产建设和科技活动中，做一件事总要付出一定的代价，也总想取得一定的效果。
在付出代价一定的条件下，我們总想取得最好的效果；在预期效果确定的情形下，我们总想只付出最小的代价。
利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤
不少优化问题，可以化为求函数最值问题，导数方法是解这类问题的有效工具。
利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤是：
（1）分析实际问题中各量之间的关系，利用实际问题的数学模型构造，写出实际问题中变量之间的函数关系y=f（x）；
（2）求函数的导数f′（x），解方程f′（x）=0；
（3）比较函数在区间端点和使f′（x）=0的点数值的大小，最大（小）者为最大（小）值。
二、 生活中的优化问题常见类型
（1）费用最省问题；
（2）利润最大问题；
（3）面积、体积最大问题。
解决应用问题中的优化问题应当注意的问题：
假定函数f（x）可微
（1）如果函数f（x）在[a，b]（或（a，b），或无穷区间）的内部只有一个驻点，而这个驻点是极值点，如是极大（小）值点，那么它就是最大（小）值点；
（2）分析实际问题知道，函数f（x）在所考虑的区间内（可以是开区间或无穷区间），而区间内只有一个驻点，有最大值（或最小值）。
在准确理解题意的基础上正确建立数学模型，在实际问题中的定义域内找出问题的最优解。
在解决实际优化问题时，我们不难发现，解决优化问题的基本思路是：
优化问题用函数表示数学问题
↓
优化问题的答案用导数解决数学问题
三、 实例分析
1. 要设计一个体积为V的有盖圆柱形铁桶，已知侧面的单位面积造价是底面单位面积造价的一半；而盖的单位面积造价又是侧面单位面积造价的一半，问圆柱形铁桶的半径r和高h之比为何值时造价最省？
解析：解答本题的关键圆柱形铁桶的造价表示为r（或h）的函数，建立适当的数学模型。
解答：由V=πr2h，的h= Vπr2，
设盖的单位面积造价为a，则圆柱形铁桶的造价为
S=aπr2 2a·2πrh 4a·πr2=5aπr2 4aVr
由S′=10aπr-4aVr2=0
解得r=32V5π，于是h=Vπr2=325V4π
由问题的实际意义，上述S的唯一可能极值点就是S的最小值点。
∴当rh=32V5π325V4π=25时，圆柱形铁桶的造价最省。
解析：造价问题来自于实际规定，解答这类问题的关键是正确分析造价的构造及相关变量，从而正确地建立目标函数。
2. 已知某场生产x件产品的成本为c=25000 200x 140x2（元）。
（1）要使平均成本最低，应生产多少件产品？
（2）若产品以每件500元售出，要使利润最大，应生产多少件产品？
答案：（1）设平均成本为y元，则
y=25000 200x 140x2x=25000x 200 x40（x0）
y′=25000x 200 x40′=25000x2 140
令y′=0，得x1=1000，x2=-1000（舍去）
当在x=1000附近左侧时，y′<0；在x=1000附近右侧时，y′>0，故当x=2时，y取得最小值。由于函数只有一个点使y′=0，且函数在该点有极小值，那么在该点取得最小值，因此要使平均成本最低，应生产1000件产品。
（2）利润函数为L=500x-25000 200x x240=300x-25000-x240
∴L′=300x-25000-x240′=300-x20
令L′=0，得x=6000，当x在6000附近左侧时，L′>0时，当x在6000附近右侧时，L′<0。故当x=6000时，L取得最大值。由于函数只有一个使L′=0的点，且函数点有极大值，那么函数在该点取得最大值。因此，要使利润最大，应生产6000件。
利用导数解决生活中的优化问题，是在实际问题中正确建立数学模型，在数学模型的定义域内找出问题的最优解，使经济分析走向定量化、精密化和准确化，给企业策划者提供客观、精确的数据。
参考文献：
[1]高中数学选修1-1（文）“第三章 导数及其应用”[G].
[2]高然.导数在高中数学中的应用[G].数学学习与研究，2014.
[3]黎诣远.经济数学基础[M].高等教育出版社.
作者简介：
张清良，湖南省吉首市，吉首大学民族预科教育学院。
关键词：导数；优化问题；分析应用；经济分析
在经济研究中，经常要运用经济数学对某个问题进行市场分析、判断并做出理论研究。本文从生产建设和科技活动中对导数解决生活中的优化问进行探讨。
一、 优化问题
在日常生活，生产建设和科技活动中，做一件事总要付出一定的代价，也总想取得一定的效果。
在付出代价一定的条件下，我們总想取得最好的效果；在预期效果确定的情形下，我们总想只付出最小的代价。
利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤
不少优化问题，可以化为求函数最值问题，导数方法是解这类问题的有效工具。
利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤是：
（1）分析实际问题中各量之间的关系，利用实际问题的数学模型构造，写出实际问题中变量之间的函数关系y=f（x）；
（2）求函数的导数f′（x），解方程f′（x）=0；
（3）比较函数在区间端点和使f′（x）=0的点数值的大小，最大（小）者为最大（小）值。
二、 生活中的优化问题常见类型
（1）费用最省问题；
（2）利润最大问题；
（3）面积、体积最大问题。
解决应用问题中的优化问题应当注意的问题：
假定函数f（x）可微
（1）如果函数f（x）在[a，b]（或（a，b），或无穷区间）的内部只有一个驻点，而这个驻点是极值点，如是极大（小）值点，那么它就是最大（小）值点；
（2）分析实际问题知道，函数f（x）在所考虑的区间内（可以是开区间或无穷区间），而区间内只有一个驻点，有最大值（或最小值）。
在准确理解题意的基础上正确建立数学模型，在实际问题中的定义域内找出问题的最优解。
在解决实际优化问题时，我们不难发现，解决优化问题的基本思路是：
优化问题用函数表示数学问题
↓
优化问题的答案用导数解决数学问题
三、 实例分析
1. 要设计一个体积为V的有盖圆柱形铁桶，已知侧面的单位面积造价是底面单位面积造价的一半；而盖的单位面积造价又是侧面单位面积造价的一半，问圆柱形铁桶的半径r和高h之比为何值时造价最省？
解析：解答本题的关键圆柱形铁桶的造价表示为r（或h）的函数，建立适当的数学模型。
解答：由V=πr2h，的h= Vπr2，
设盖的单位面积造价为a，则圆柱形铁桶的造价为
S=aπr2 2a·2πrh 4a·πr2=5aπr2 4aVr
由S′=10aπr-4aVr2=0
解得r=32V5π，于是h=Vπr2=325V4π
由问题的实际意义，上述S的唯一可能极值点就是S的最小值点。
∴当rh=32V5π325V4π=25时，圆柱形铁桶的造价最省。
解析：造价问题来自于实际规定，解答这类问题的关键是正确分析造价的构造及相关变量，从而正确地建立目标函数。
2. 已知某场生产x件产品的成本为c=25000 200x 140x2（元）。
（1）要使平均成本最低，应生产多少件产品？
（2）若产品以每件500元售出，要使利润最大，应生产多少件产品？
答案：（1）设平均成本为y元，则
y=25000 200x 140x2x=25000x 200 x40（x0）
y′=25000x 200 x40′=25000x2 140
令y′=0，得x1=1000，x2=-1000（舍去）
当在x=1000附近左侧时，y′<0；在x=1000附近右侧时，y′>0，故当x=2时，y取得最小值。由于函数只有一个点使y′=0，且函数在该点有极小值，那么在该点取得最小值，因此要使平均成本最低，应生产1000件产品。
（2）利润函数为L=500x-25000 200x x240=300x-25000-x240
∴L′=300x-25000-x240′=300-x20
令L′=0，得x=6000，当x在6000附近左侧时，L′>0时，当x在6000附近右侧时，L′<0。故当x=6000时，L取得最大值。由于函数只有一个使L′=0的点，且函数点有极大值，那么函数在该点取得最大值。因此，要使利润最大，应生产6000件。
利用导数解决生活中的优化问题，是在实际问题中正确建立数学模型，在数学模型的定义域内找出问题的最优解，使经济分析走向定量化、精密化和准确化，给企业策划者提供客观、精确的数据。
参考文献：
[1]高中数学选修1-1（文）“第三章 导数及其应用”[G].
[2]高然.导数在高中数学中的应用[G].数学学习与研究，2014.
[3]黎诣远.经济数学基础[M].高等教育出版社.
作者简介：
张清良，湖南省吉首市，吉首大学民族预科教育学院。