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同样的教学内容，同样使用了信息技术，不一样的上法，不一样的效果。在本文中，王老师将两节课按教学环节作对比展示，并进行了精彩的点评。
王鹏远，北大附中数学高级教师，北京市海淀区数学学科带头人。邮箱：wangpy01@163.Com
读者若有问题，或者希望能看到哪方面的文章，可与本栏目编辑联系。栏目编辑QQ：540607710
问题的提出
当前，信息技术与学科整合的有效性越来越引起人们的关注。一来，教师准备这种课需要投入太多的时间和精力；二来，有些整合课的课堂教学质量也受到广泛的质疑。有人认为，如果教师花费了大量的时间和精力，教学效果反而不如不使用技术好，那真是得不偿失，又何必非要大力地宣传和推广信息技术与学科教学的整合呢？这个问题促使我们认真思考：当前信息技术与学科整合有没有误区？如果有，误区是什么？如何建立信息技术与学科整合的理论？怎样才能把信息技术有效地整合到日常的教学活动中去？本文试图从两个具体教学案例的对比分析说开去，谈谈对这些问题的一些想法。本文抛砖引玉，期待更多的学科教师加入到讨论中来。
两个教学案例的概述与分析
笔者有机会看到某出版社发行的一个封面标名为“信息技术与中学数学有效整合的典型案例——台球桌面上的角”的教学光盘（包括课堂实录和专家课后点评），又有机会听了一节与此内容相似的课。两节课教授的是同一内容：初中一年级教材中的余角，又都在课堂教学中使用了信息技术，这就给我们提供了一个很好的研讨素材。为了叙述的方便，下称前者为案例1，后者为案例2，围绕案例中的各个教学环节，逐个展开讨论。
1.引入
案例1：在开始的1分06秒，教师用PPT呈现了7个画面：“绵延起伏的山峰”、“纵横交错的立交桥”（图1）、“飞流直下的瀑布”、“长江二桥”、“横跨长江的彩虹”、“剪刀”和“窗棂”，说明我们周围蕴藏大量的相交线和平行线。
随后，又展示了台球运动员丁俊辉打台球的画面，呈现一个台球入网的动画，定格在图2。其间，教师问学
生：“你们打过台球吗？”“你们知道打台球最重要的技巧是什么？”然后对照图说明：“要想确保台球碰到桌面边缘反弹后入洞最重要的技巧是满足条件∠1=∠2。”之后，屏幕上动态地呈现出沿台球桌边的一条红线和垂直于这条红线的直线以及图中的∠3和∠4。教师提问：“∠1和∠3有什么关系？”学生回答：“∠1和∠3是互余角。”由此引入本课课题：“这里出现了两个角的和等于90度的情况，这就是我们今天要研究的问题。”
案例2：教师用PPT呈现了比萨斜塔的画面（图3），提问学生：“如果斜塔一侧的墙面与地面的夹角是85°，你能求出墙面的另一侧与竖直方向偏离了多少吗？”随后，隐藏掉比萨斜塔的画面只留下图4的画面，问学生：“这个问题化成数学问题就是要研究图中∠1和∠2的关系，谁能说出这两个角的关系？”学生回答：“这两个角的和是直角。”教师：“这种情况其实在我们身边就有。”教师拿出一张纸片，用剪刀从一个角的顶点出发剪成两部分给学生看。教师出示三角板，让学生对照自己文具盒中的三角尺，找出和为直角的两个角，由此引入课题：“这就是我们今天要研究的互余的角。”
案例分析
导入是在课堂教学活动开始的教学行为方式，是教学活动的重要环节。精彩的导入可以为整节课的教学打下良好的基础，一开场就抓住人心。好的导入应该围绕主题，又有新意，简洁明快。
比较这两个案例。案例1在开始的1分06秒呈现的7个画面不仅不够清晰，而且有科学性错误。实际上， 绵延起伏的山峰、纵横交错的立交桥、飞流直下的瀑布既不是相交线也不是平行线。接下来的丁俊辉打台球的画面及模拟台球运动的动画与本节要讨论的余角概念的联系也并不紧密。
案例2则巧妙地设置了一个问题情境，促使学生思考：“斜塔一侧的墙面与地面的夹角是85°，墙面的另一侧与竖直方向偏离了多少？”自然引起了学生对两个有这样特定关系的角的关注，研究余角的必要性也隐含其中了。
2.余角概念的呈现
案例1：教师在引入课题后，用PPT呈现互为余角的概念(图5)，然后让学生对照屏幕齐声朗读。教师随后问：“请同学思考一下，‘如果两个角的和是直角’指的是几个角的关系？是数量关系还是位置关系？”在学生齐答后，教师进一步问：“我这里有一个角是30°，还有一个角是30°，还有一个角是30°，能说这三个角互余吗？”学生回答：“不能。因为互余是指两个角的关系。”教师肯定后，继续边作手势边提问：“如果我这里有一个角是30°，那里有一个角是60°，它们互余吗？为什么？”进一步强调两个角是否互余和它们的位置无关。
案例2：教师让学生结合引入环节的实例说出什么叫两个角互为余角，然后板书互为余角的概念，学生则在笔记本上记笔记。教师问：“请同学思考这样一个问题，余角是直角吗？”在学生讨论的基础上，教师指出，直角说的是一个角，而互余是指两个角的关系：它们的和为直角，当两个角存在互余的关系时，其中一个角是另外一个角的余角。例如30°角是60°角的余角，反过来，60°角也是30°角的余角。单说某一个角是余角是没有意义的。
案例分析
两个案例概念呈现前的铺垫，概念的呈现方式以及概念呈现后教师引导学生的关注点都有所不同。
案例1在概念呈现前的铺垫是PPT呈现的台球桌面上的∠1和∠3， ∠2与∠4(图2)，案例2除了PPT呈现的比萨斜塔以及由此抽象出来的∠1和∠2的画面(图3，4)外，还有教师通过剪纸得到的互余的两个角、教师手里的三角板、学生手里的三角尺中的一对角30°和60°，45°和45°。案例2在余角概念正式呈现之前给学生的感性材料更为丰富具体。
案例1是用PPT呈现了余角的概念，然后让学生对照PPT齐声朗读， 案例2则是让学生根据前面提供的材料说出余角的概念，然后教师在黑板上板书，学生记笔记。两者比较起来后者学生活动得更充分一些。用PPT代替板书效果不一定好。
概念呈现后，案例1中教师强调了两点，一是余角是两个角的和是90°，而不是指三个角的和；余角是两个角的数量关系而不是位置关系。案例2中教师则引导学生关注直角的概念与余角概念的区别与联系。从多年的教学实践看，案例2抓住了学生初学时容易混淆的概念。
3.余角概念的深入理解与练习
案例1 (包括四个环节)：
⑴师生问答：如果∠1是45°，那么，它的余角∠2是几度？(45°)换一个更难的问题，如果∠A是x°，它的余角是多少度？(90°-x°)
⑵教师提问：“如果一个角的余角比它本身大30°，这个角是多大？”并请一位学生回答，教师根据回答在黑板上列方程并解方程。之后，教师小结：“虽然说起来是几何题目，但是代数里面的方程思想还是完全可以用得上的，这是一个很好的方法，请同学们平时注意使用。”
⑶教师提问：“请大家想想看，如果我这里有一个角是30°，这里有一个角和它相等，那么这两个角的余角的大小关系怎样？”学生回答：“相等。”教师用一句话总结：“同角或等角的余角相等。”同时在PPT上显示出这段文字。
⑷教师拿出一张长方形的纸提出问题：“能否通过折纸得到互余的角？”学生进行折纸，然后举手，教师指定一位向全班学生演示折纸的结果。教师点评。
案例2(包括四个环节)：
王鹏远，北大附中数学高级教师，北京市海淀区数学学科带头人。邮箱：wangpy01@163.Com
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问题的提出
当前，信息技术与学科整合的有效性越来越引起人们的关注。一来，教师准备这种课需要投入太多的时间和精力；二来，有些整合课的课堂教学质量也受到广泛的质疑。有人认为，如果教师花费了大量的时间和精力，教学效果反而不如不使用技术好，那真是得不偿失，又何必非要大力地宣传和推广信息技术与学科教学的整合呢？这个问题促使我们认真思考：当前信息技术与学科整合有没有误区？如果有，误区是什么？如何建立信息技术与学科整合的理论？怎样才能把信息技术有效地整合到日常的教学活动中去？本文试图从两个具体教学案例的对比分析说开去，谈谈对这些问题的一些想法。本文抛砖引玉，期待更多的学科教师加入到讨论中来。
两个教学案例的概述与分析
笔者有机会看到某出版社发行的一个封面标名为“信息技术与中学数学有效整合的典型案例——台球桌面上的角”的教学光盘（包括课堂实录和专家课后点评），又有机会听了一节与此内容相似的课。两节课教授的是同一内容：初中一年级教材中的余角，又都在课堂教学中使用了信息技术，这就给我们提供了一个很好的研讨素材。为了叙述的方便，下称前者为案例1，后者为案例2，围绕案例中的各个教学环节，逐个展开讨论。
1.引入
案例1：在开始的1分06秒，教师用PPT呈现了7个画面：“绵延起伏的山峰”、“纵横交错的立交桥”（图1）、“飞流直下的瀑布”、“长江二桥”、“横跨长江的彩虹”、“剪刀”和“窗棂”，说明我们周围蕴藏大量的相交线和平行线。
随后，又展示了台球运动员丁俊辉打台球的画面，呈现一个台球入网的动画，定格在图2。其间，教师问学
生：“你们打过台球吗？”“你们知道打台球最重要的技巧是什么？”然后对照图说明：“要想确保台球碰到桌面边缘反弹后入洞最重要的技巧是满足条件∠1=∠2。”之后，屏幕上动态地呈现出沿台球桌边的一条红线和垂直于这条红线的直线以及图中的∠3和∠4。教师提问：“∠1和∠3有什么关系？”学生回答：“∠1和∠3是互余角。”由此引入本课课题：“这里出现了两个角的和等于90度的情况，这就是我们今天要研究的问题。”
案例2：教师用PPT呈现了比萨斜塔的画面（图3），提问学生：“如果斜塔一侧的墙面与地面的夹角是85°，你能求出墙面的另一侧与竖直方向偏离了多少吗？”随后，隐藏掉比萨斜塔的画面只留下图4的画面，问学生：“这个问题化成数学问题就是要研究图中∠1和∠2的关系，谁能说出这两个角的关系？”学生回答：“这两个角的和是直角。”教师：“这种情况其实在我们身边就有。”教师拿出一张纸片，用剪刀从一个角的顶点出发剪成两部分给学生看。教师出示三角板，让学生对照自己文具盒中的三角尺，找出和为直角的两个角，由此引入课题：“这就是我们今天要研究的互余的角。”
案例分析
导入是在课堂教学活动开始的教学行为方式，是教学活动的重要环节。精彩的导入可以为整节课的教学打下良好的基础，一开场就抓住人心。好的导入应该围绕主题，又有新意，简洁明快。
比较这两个案例。案例1在开始的1分06秒呈现的7个画面不仅不够清晰，而且有科学性错误。实际上， 绵延起伏的山峰、纵横交错的立交桥、飞流直下的瀑布既不是相交线也不是平行线。接下来的丁俊辉打台球的画面及模拟台球运动的动画与本节要讨论的余角概念的联系也并不紧密。
案例2则巧妙地设置了一个问题情境，促使学生思考：“斜塔一侧的墙面与地面的夹角是85°，墙面的另一侧与竖直方向偏离了多少？”自然引起了学生对两个有这样特定关系的角的关注，研究余角的必要性也隐含其中了。
2.余角概念的呈现
案例1：教师在引入课题后，用PPT呈现互为余角的概念(图5)，然后让学生对照屏幕齐声朗读。教师随后问：“请同学思考一下，‘如果两个角的和是直角’指的是几个角的关系？是数量关系还是位置关系？”在学生齐答后，教师进一步问：“我这里有一个角是30°，还有一个角是30°，还有一个角是30°，能说这三个角互余吗？”学生回答：“不能。因为互余是指两个角的关系。”教师肯定后，继续边作手势边提问：“如果我这里有一个角是30°，那里有一个角是60°，它们互余吗？为什么？”进一步强调两个角是否互余和它们的位置无关。
案例2：教师让学生结合引入环节的实例说出什么叫两个角互为余角，然后板书互为余角的概念，学生则在笔记本上记笔记。教师问：“请同学思考这样一个问题，余角是直角吗？”在学生讨论的基础上，教师指出，直角说的是一个角，而互余是指两个角的关系：它们的和为直角，当两个角存在互余的关系时，其中一个角是另外一个角的余角。例如30°角是60°角的余角，反过来，60°角也是30°角的余角。单说某一个角是余角是没有意义的。
案例分析
两个案例概念呈现前的铺垫，概念的呈现方式以及概念呈现后教师引导学生的关注点都有所不同。
案例1在概念呈现前的铺垫是PPT呈现的台球桌面上的∠1和∠3， ∠2与∠4(图2)，案例2除了PPT呈现的比萨斜塔以及由此抽象出来的∠1和∠2的画面(图3，4)外，还有教师通过剪纸得到的互余的两个角、教师手里的三角板、学生手里的三角尺中的一对角30°和60°，45°和45°。案例2在余角概念正式呈现之前给学生的感性材料更为丰富具体。
案例1是用PPT呈现了余角的概念，然后让学生对照PPT齐声朗读， 案例2则是让学生根据前面提供的材料说出余角的概念，然后教师在黑板上板书，学生记笔记。两者比较起来后者学生活动得更充分一些。用PPT代替板书效果不一定好。
概念呈现后，案例1中教师强调了两点，一是余角是两个角的和是90°，而不是指三个角的和；余角是两个角的数量关系而不是位置关系。案例2中教师则引导学生关注直角的概念与余角概念的区别与联系。从多年的教学实践看，案例2抓住了学生初学时容易混淆的概念。
3.余角概念的深入理解与练习
案例1 (包括四个环节)：
⑴师生问答：如果∠1是45°，那么，它的余角∠2是几度？(45°)换一个更难的问题，如果∠A是x°，它的余角是多少度？(90°-x°)
⑵教师提问：“如果一个角的余角比它本身大30°，这个角是多大？”并请一位学生回答，教师根据回答在黑板上列方程并解方程。之后，教师小结：“虽然说起来是几何题目，但是代数里面的方程思想还是完全可以用得上的，这是一个很好的方法，请同学们平时注意使用。”
⑶教师提问：“请大家想想看，如果我这里有一个角是30°，这里有一个角和它相等，那么这两个角的余角的大小关系怎样？”学生回答：“相等。”教师用一句话总结：“同角或等角的余角相等。”同时在PPT上显示出这段文字。
⑷教师拿出一张长方形的纸提出问题：“能否通过折纸得到互余的角？”学生进行折纸，然后举手，教师指定一位向全班学生演示折纸的结果。教师点评。
案例2(包括四个环节)：