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在初中数学阶段，经常会遇到一些求最短路线的实际问题。这类问题绝大部分可以运用“两点之间，线段最短”这一公理加以解决。此类问题主要可以分为以下三类：
一、求作一点，使它到同一平面内的多个点的距离之和最短的问题
例1：如图（1），A、B、C、D是四家工厂，现要建一个水厂给这四家工厂供水，请找出一点P，使点P到四家工厂的距离之和最短。
分析：∵两点之间，线段最短，∴到A厂、C厂的距离之和最短的点应在线段AC上，同理到B厂、D厂的距离之和最短的点应在线段BD上，∴到四家工厂的距离之和最短的点应在线段AC、线段BD的交点上。
解：如图（2），连结AC、BD相交于点P，点P即为求作的点。
例2：如图，在一条直线的流水线上，依次在A1、A2、A3、A4、A5处有5个机器人在工作，现欲设一个零件供应点P，问应设在何处，可使5个机器人与它的距离总和为最小。若由于技术改进，只保留A1、A2、A3、A4处的4个机器人在工作，则零件供应点2应设在何处，才能使4个机器人与它的距离总和最小？
分析：当有5个机器人时，∵两点之间，线段最短，∴到A1、A5两个机器人的距离之和最短的点应在线段A1A5上，同理，到A2、A4两个机器人的距离之和最短的点应在线段A2A4上，此时点P的范围已缩小到线段A2A4上，而在线段A2A4上到A3的距离最短的点就是A3本身。∴点P应设在A3处。
当有A1、A2、A3、A4处4个机器人时，∵两点之间，线段最短，∴到A1、A4两个机器人的距离之和最短的点应在线段A1A4上，同理，到A2、A3两个机器人的距离之和最短的点应在线段A2A3上，∴点P可设在线段A2A3上的任意一点。
二、利用做对称点的方法，解决在已知直线上求作一点，使它到直线同侧两点的距离之和最短的问题
例3：在旷野上，一个人骑着马从A到B，半路上他必须在河边饮马一次，如图，他应该怎样选择饮马点P，才能使所走的路线AP+PB最短呢？（假定河岸是直线l）
分析：以直线l为对称轴作A的对称点A′，连结A′B与直线l交于P点，对于直线l上异于P点的任意其它点P′，有： AP′+P′B=A′P′+P′B>A′B=A′P+PB=AP+PB，∴AP+PB为最短。（本质上相当于找点A的对称点A′到点B的最短路线。）
说明：利用构造轴对称，把线段进行了转移，利用此法，还可以解决以下变式题：
例4：已知抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点A（0，2），与x轴分别交于B（1，0）、C（5，0）两点。若一个动点P自OA的中点M出发，先到达x轴上的某点（设为点E），再到达抛物线的对称轴上的某点（设为点F），最后运动到点A，求使P点运动的总路径最短的点E，点F的坐标，并求出这个最短路径的长。
分析：由点A（0，2）可知OA中点M的坐标为（0，1），它关于x轴的对称点M′的坐标为（0，- 1）；
∵抛物线与x轴分别交于B（1，0）、C（5，0）两点，由抛物线的对称性可知：
抛物线的对称轴为直线x=■=3，
∴同样由对称性可知：点A（0，2）关于抛物线对称轴的对称点A′坐标为（6，2）；
连结A′M′，与x轴交于点E，与抛物线的对称轴直线x=3交于点F。
同样根据上题的原理可知，此时作出的点E、点F可使点P运动的总路径最短。
当然，运用知识解决问题时切忌生搬硬套，否则很容易“上当受骗” ！
例5：如图，直线l是一条河，P、Q两地相距8千米，P、Q两地到l的距离分别为2千米、5千米，欲在l上的某点M处修建一个水泵站向P、Q两地供水。现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则铺设的管道最短的是（）
学生看到此题，90%的人根本没有去进行思考和计算，直接选择了B，就是犯了生搬硬套的错误，从而武断地得出了错误的结论。
分析：对比选项A和选项C，选项C中的PN+QN > PQ，而选项C中的MN=选项A中的PM，∴排除选项C；对比选项B和选项D，自然可排除选项D；接下来只须比较选项A和选项B。在选项A中，PM+PQ=2+8=10千米在选项B中，如上图所示：由题意可知：BN=PA=2，QB=5，
∴QN=3，在Rt△PQN中，PQ=8，由勾股定理可得PN=■；∴P′C=PN=■，QC=QB+BC=QB+AP′=5+2=7，在Rt △P′CQ中，由勾股定理可得P′Q=■，∴PM+MQ=P′M+MQ=P′Q=■千米>10千米，∴正确答案为选项 A。
三、在立体图形中，求指定两点在它的表面上的最短距离，此类问题的关键是要把立体图形展开为平面图形
（一） 立体图形的各表面均为平面的情况
例6：如图，正方体盒子的棱长为2，BC的中点为M，一只蚂蚁从M点沿正方体的表面爬到D1点，蚂蚁爬行的最短距离是（ ）
A、■ B、■ C、5 D、2+■
分析:如左图，把此立体图形的前面和右面展开为平面图,则点M到点D1的最短路线长就是线段MD1的长，由题可得MD1 =■，∴正确答案为选项 B。
变式一:如图,长方体的长BC为4，宽CD为3，高BB1为5。一只蚂蚁从点B1沿长方体的表面爬到点D，求蚂蚁爬行的最短距离。
分析:与正方体不同，因为长方体的长、宽、高各不相等，所以必须分类讨论。
若按下图1，把此立体图形的前面和右面沿CC1展开为平面图，则蚂蚁爬行的最短距离就是线段B1D的长，由题意可知，在直角△BDB1中，BD=4+3=7，BB1=5，根据勾股定理可得B1D=■；
若按图2，把此立体图形的前面和下面沿BC展开为平面图，则蚂蚁爬行的最短距离就是线段B1D的长，可求得B1D=■；
若按图3，把此立体图形的左面和下面沿AB展开为平面图，则蚂蚁爬行的最短距离就是线段B1D的长， 根据勾股定理可得 B1D=■。
∵■<■<■，∴蚂蚁爬行的最短距离为■。
变式二：如图：是一个三级台阶，它的每一段的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最短路程是dm。
分析：同样把这个立体图“拉直”为平面图（如右图）。
在Rt△ABC中，BC=（3+2）×3=15dm，AC=20dm，根据由勾股定理可得AB=25dm。∴蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最短路程是25dm。
（二）立体图形的表面存在曲面的情况
例7：如图：圆锥形谷堆的底面半径为1米，母线长为2米。△SAC是圆锥的轴截面。一只猫在A点发现母线SC的中点B处有一只老鼠，猫要抓到老鼠所需走的最短路程是多少？
分析：把立体图沿母线SA剪开展开为平面图，原来的点A剪开后得到两个点A、A′。猫从A点出发沿着圆锥侧面绕行到母线SC的中点B抓老鼠，由题意可知最短路程为右图中线段AB的长。
∵圆锥侧面展开图的弧长等于底面圆的周长，设圆锥侧面展开图的圆心角为n°，∴■= 2Π×1， 解得n=180°，即∠ASA′=180°，∵左图中△SAC是圆锥的轴截面，∴右图中母线SC平分∠ASA′，∴∠ASC=90°。∴在Rt△ASB中，SB=2÷2=1米，SA=2米， 由勾股定理可得AB=■米，∴猫要抓到老鼠所需走的最短路程是■米。
例8：如图，小丽自己动手做了一个圆柱形笔筒，矩形ABCD是笔筒的轴截面图形，AB是母线。若圆柱的母线长是2分米，底面圆的直径是1分米，她想在笔筒上从A点绕其侧面一周到B点缠一根漂亮的丝带作为装饰，至少需要丝带多少厘米？
分析：按上例方法，把立体图沿母线AB剪开展开为平面图，原来的点A剪开后得到两个点A、A′，原来的点B剪开后得到两个点B、B′。从A点绕其侧面一周到B，由题意可知最短路程为线段AB′的长。∵AB=2分米，BB′的长=圆柱底面圆周长=Π×1 =Π，
在Rt△ABB′中，根据勾股定理可得AB′=■；∴从A点绕其侧面一周到B点的最短距离是■。
此类问题的关键是先把立体图形展开为平面图形，再利用两点之间线段最短来解决问题。
通过上述实例分析，我们体验了解决几何中最短路线问题的奥妙之处，学会了在解决问题时如何运用已有的知识通过合理的迁移达到解决问题的目的，这是值得我们认真思考和反思的,也是我们今后教学的一个方向。
一、求作一点，使它到同一平面内的多个点的距离之和最短的问题
例1：如图（1），A、B、C、D是四家工厂，现要建一个水厂给这四家工厂供水，请找出一点P，使点P到四家工厂的距离之和最短。
分析：∵两点之间，线段最短，∴到A厂、C厂的距离之和最短的点应在线段AC上，同理到B厂、D厂的距离之和最短的点应在线段BD上，∴到四家工厂的距离之和最短的点应在线段AC、线段BD的交点上。
解：如图（2），连结AC、BD相交于点P，点P即为求作的点。
例2：如图，在一条直线的流水线上，依次在A1、A2、A3、A4、A5处有5个机器人在工作，现欲设一个零件供应点P，问应设在何处，可使5个机器人与它的距离总和为最小。若由于技术改进，只保留A1、A2、A3、A4处的4个机器人在工作，则零件供应点2应设在何处，才能使4个机器人与它的距离总和最小？
分析：当有5个机器人时，∵两点之间，线段最短，∴到A1、A5两个机器人的距离之和最短的点应在线段A1A5上，同理，到A2、A4两个机器人的距离之和最短的点应在线段A2A4上，此时点P的范围已缩小到线段A2A4上，而在线段A2A4上到A3的距离最短的点就是A3本身。∴点P应设在A3处。
当有A1、A2、A3、A4处4个机器人时，∵两点之间，线段最短，∴到A1、A4两个机器人的距离之和最短的点应在线段A1A4上，同理，到A2、A3两个机器人的距离之和最短的点应在线段A2A3上，∴点P可设在线段A2A3上的任意一点。
二、利用做对称点的方法，解决在已知直线上求作一点，使它到直线同侧两点的距离之和最短的问题
例3：在旷野上，一个人骑着马从A到B，半路上他必须在河边饮马一次，如图，他应该怎样选择饮马点P，才能使所走的路线AP+PB最短呢？（假定河岸是直线l）
分析：以直线l为对称轴作A的对称点A′，连结A′B与直线l交于P点，对于直线l上异于P点的任意其它点P′，有： AP′+P′B=A′P′+P′B>A′B=A′P+PB=AP+PB，∴AP+PB为最短。（本质上相当于找点A的对称点A′到点B的最短路线。）
说明：利用构造轴对称，把线段进行了转移，利用此法，还可以解决以下变式题：
例4：已知抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点A（0，2），与x轴分别交于B（1，0）、C（5，0）两点。若一个动点P自OA的中点M出发，先到达x轴上的某点（设为点E），再到达抛物线的对称轴上的某点（设为点F），最后运动到点A，求使P点运动的总路径最短的点E，点F的坐标，并求出这个最短路径的长。
分析：由点A（0，2）可知OA中点M的坐标为（0，1），它关于x轴的对称点M′的坐标为（0，- 1）；
∵抛物线与x轴分别交于B（1，0）、C（5，0）两点，由抛物线的对称性可知：
抛物线的对称轴为直线x=■=3，
∴同样由对称性可知：点A（0，2）关于抛物线对称轴的对称点A′坐标为（6，2）；
连结A′M′，与x轴交于点E，与抛物线的对称轴直线x=3交于点F。
同样根据上题的原理可知，此时作出的点E、点F可使点P运动的总路径最短。
当然，运用知识解决问题时切忌生搬硬套，否则很容易“上当受骗” ！
例5：如图，直线l是一条河，P、Q两地相距8千米，P、Q两地到l的距离分别为2千米、5千米，欲在l上的某点M处修建一个水泵站向P、Q两地供水。现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则铺设的管道最短的是（）
学生看到此题，90%的人根本没有去进行思考和计算，直接选择了B，就是犯了生搬硬套的错误，从而武断地得出了错误的结论。
分析：对比选项A和选项C，选项C中的PN+QN > PQ，而选项C中的MN=选项A中的PM，∴排除选项C；对比选项B和选项D，自然可排除选项D；接下来只须比较选项A和选项B。在选项A中，PM+PQ=2+8=10千米在选项B中，如上图所示：由题意可知：BN=PA=2，QB=5，
∴QN=3，在Rt△PQN中，PQ=8，由勾股定理可得PN=■；∴P′C=PN=■，QC=QB+BC=QB+AP′=5+2=7，在Rt △P′CQ中，由勾股定理可得P′Q=■，∴PM+MQ=P′M+MQ=P′Q=■千米>10千米，∴正确答案为选项 A。
三、在立体图形中，求指定两点在它的表面上的最短距离，此类问题的关键是要把立体图形展开为平面图形
（一） 立体图形的各表面均为平面的情况
例6：如图，正方体盒子的棱长为2，BC的中点为M，一只蚂蚁从M点沿正方体的表面爬到D1点，蚂蚁爬行的最短距离是（ ）
A、■ B、■ C、5 D、2+■
分析:如左图，把此立体图形的前面和右面展开为平面图,则点M到点D1的最短路线长就是线段MD1的长，由题可得MD1 =■，∴正确答案为选项 B。
变式一:如图,长方体的长BC为4，宽CD为3，高BB1为5。一只蚂蚁从点B1沿长方体的表面爬到点D，求蚂蚁爬行的最短距离。
分析:与正方体不同，因为长方体的长、宽、高各不相等，所以必须分类讨论。
若按下图1，把此立体图形的前面和右面沿CC1展开为平面图，则蚂蚁爬行的最短距离就是线段B1D的长，由题意可知，在直角△BDB1中，BD=4+3=7，BB1=5，根据勾股定理可得B1D=■；
若按图2，把此立体图形的前面和下面沿BC展开为平面图，则蚂蚁爬行的最短距离就是线段B1D的长，可求得B1D=■；
若按图3，把此立体图形的左面和下面沿AB展开为平面图，则蚂蚁爬行的最短距离就是线段B1D的长， 根据勾股定理可得 B1D=■。
∵■<■<■，∴蚂蚁爬行的最短距离为■。
变式二：如图：是一个三级台阶，它的每一段的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最短路程是dm。
分析：同样把这个立体图“拉直”为平面图（如右图）。
在Rt△ABC中，BC=（3+2）×3=15dm，AC=20dm，根据由勾股定理可得AB=25dm。∴蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最短路程是25dm。
（二）立体图形的表面存在曲面的情况
例7：如图：圆锥形谷堆的底面半径为1米，母线长为2米。△SAC是圆锥的轴截面。一只猫在A点发现母线SC的中点B处有一只老鼠，猫要抓到老鼠所需走的最短路程是多少？
分析：把立体图沿母线SA剪开展开为平面图，原来的点A剪开后得到两个点A、A′。猫从A点出发沿着圆锥侧面绕行到母线SC的中点B抓老鼠，由题意可知最短路程为右图中线段AB的长。
∵圆锥侧面展开图的弧长等于底面圆的周长，设圆锥侧面展开图的圆心角为n°，∴■= 2Π×1， 解得n=180°，即∠ASA′=180°，∵左图中△SAC是圆锥的轴截面，∴右图中母线SC平分∠ASA′，∴∠ASC=90°。∴在Rt△ASB中，SB=2÷2=1米，SA=2米， 由勾股定理可得AB=■米，∴猫要抓到老鼠所需走的最短路程是■米。
例8：如图，小丽自己动手做了一个圆柱形笔筒，矩形ABCD是笔筒的轴截面图形，AB是母线。若圆柱的母线长是2分米，底面圆的直径是1分米，她想在笔筒上从A点绕其侧面一周到B点缠一根漂亮的丝带作为装饰，至少需要丝带多少厘米？
分析：按上例方法，把立体图沿母线AB剪开展开为平面图，原来的点A剪开后得到两个点A、A′，原来的点B剪开后得到两个点B、B′。从A点绕其侧面一周到B，由题意可知最短路程为线段AB′的长。∵AB=2分米，BB′的长=圆柱底面圆周长=Π×1 =Π，
在Rt△ABB′中，根据勾股定理可得AB′=■；∴从A点绕其侧面一周到B点的最短距离是■。
此类问题的关键是先把立体图形展开为平面图形，再利用两点之间线段最短来解决问题。
通过上述实例分析，我们体验了解决几何中最短路线问题的奥妙之处，学会了在解决问题时如何运用已有的知识通过合理的迁移达到解决问题的目的，这是值得我们认真思考和反思的,也是我们今后教学的一个方向。