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摘 要： 本文通过分析数学创新思维的特征，讨论了在《高等代数》教学与实践中如何培养学生的数学创新思维能力，提出了在高等代数教学中培养学生数学创新思维能力的一些观点和方法。
关键词： 《高等代数》 数学创新思维能力 培养方法
《高等代数》是普通大中专院校数学专业的三门专业基础课（数学分析、高等代数、解析几何）之一，其教育目的主要是让学生通过抽象性、逻辑性、应用性的必要训练，逐步形成运用高等代数的原理和方法解决实际问题的思维模式和思维习惯。作为大学数学专业基础课之一的高等代数，不仅是中学代数的继续和提高，而且是进一步学习其它课程的基础，是研究数学其他分支和自然科学的基本工具。高等代数的理论和方法无论是对整个数学的发展与完善，还是对学生综合素质的提高和创新能力的培养都有十分重要的意义。因此，在高等代数的教学与实践中培养学生的数学创新思维能力显得尤为重要。本文对如何在高等代数教学中有意识地培养学生的数学创新思维能力的方法进行了探索与思考。
1.正确理解数学思维及其教育价值
数学是关于现实世界的空间形式和数量关系的科学，思维是人脑对客观世界的概括和间接反映。数学思维是以数和形为思维对象，以数学语言为载体，以认识和发展数学规律为目的的一种思维活动。创新性思维是一种能得到独特而有显著效果的最高层次的思维活动。数学创新性思维既从属于创新性思维，又从属于数学思维；它既是逻辑思维与非逻辑思维的综合，又是数学中发散思维与收敛思维的辩证统一，是创新性思维在数学中的体现。因此，它既具有创新性思维的特点，又具有数学思维品质的特征。数学创新性思维就是根据数学本身高度的抽象性、逻辑的严密性、结论的确定性与应用的广泛性等特点，去探索、突破与创新。在综合和应用已有的知识和经验处理问题时，提出全新的见解和思路。因此，对学生数学创新性思维的挖掘与培养是对学生在数学学习过程的各个环节有目的地渗透与影响，使其在学习与思考的过程中不断强化与创新能力相关的基本能力的形成，最终达成其创新能力的逐步形成与升华提高。
2.高等代数教学中数学思维能力的培养
数学创新性思维的产生必须具有扎实的基本功、丰富的经验和良好的知识结构，具有发现问题的强烈意识和执着的探索精神。数学创新性思维能力的培养是一个长期的过程，需要教师在数学教学中认真探索，积极试验，逐步渗透。高等代数学科内容抽象，逻辑严密，包含有许多现代数学的基本观点和方法，与中学数学联系密切，是数学专业大学生进入大学后首先要学习的课程内容之一。在高等代数的教学中应注重培养学生的创新性思维能力。我结合多年高等代数授课经验，从以下几个方面讨论了教与学的过程对学生数学创新思维培养的途径和方法。
2.1理论结合实际，深化概念教学，探求学科联系，为学生营造数学创新思维能力的形成环境。
高等代数中的许多概念与方法，往往与中学数学中的代数有许多的相似与联系。譬如知识体系方面，中学的数学教学中已经有了多项式的运算，以及多项式的基本理论和一次、二次方程，等等。任课老师应该抓住这些学生们的曾经“映像”来激发他们进一步认知的欲望与兴趣。要做好与中学数学衔接的教学，可以通过引入适当的数学人物与典故，从故事入手，将中学所学的知识在同学们关注与殷切的眼神中无形灌输，再自然引入要讲的高等代数的理论，这样一种潜移默化的过程中的知识的消融，是值得教学者去思考与实践的。同时学生在这样的过程中会激发认知欲，提高关注度，了解中学代数与高等代数的关联，无形中构筑数学创新思维能力形成的基本环境。
在如何去深化概念教学这个问题上，我们可以通过对比、联想概念之间的异同，找出每个概念的特点，挖掘出每个概念的关键，以培养学生思维的深刻性和理解概念、分清实质的能力。这种能力表现为能洞察所研究事物的本质及其相互关系；能从所研究的材料中揭示被掩盖的特殊情况，能组合各种模式，等等。例如，高等代数教学环节的作业批阅中，老师会发现很多的学生在进行行列式运算和矩阵运算时，经常会混淆运算中的符号。在用初等变换化简一个矩阵时，每一步之间用等号连接，而计算行列式的每一步之间却用箭头连接，这是一种常见的错误。问题的关键是明确什么是矩阵，什么是行列式，以及它们之间的本质差别，矩阵相等是什么含义，矩阵等价又是什么含义，等等。同学们开始时概念是模糊不清且易混淆的，教师可以将矩阵与行列式比较、鉴别，明确行列式是个值而矩阵是个表。又如数的乘法与矩阵乘法有许多相同之处，但也有不同之处。单位矩阵在矩阵乘法中所起的作用类似于数1在数的乘法中所起的作用。但因矩阵乘法有零因子，不可换，那么矩阵的乘法就值得研究了，因而A-1存在的充要条件是|A|≠0，而不仅仅是A≠0所能满足的。这就有别于数α-1存在的充要条件是α≠0。
寻求学科联系，把握创新能力形成的时机。这种教学方法既能实现分层次教学的原则，又能保证学困生能理解，中等生能掌握，优秀生能充分发挥。同时通过揭示知识之间的内在联系，就能充分调动学生学习的自主性、探索性和创新性，为学生提供创新的时机，营造创新的环境。譬如在教学线性方程组的时候，教师可以结合运筹学单纯形规划的内容将线性方程组进行推广与拓宽，让学生的兴趣从高等代数这个抽象的数学基础课程延伸到与经济、应用等密切联系的运筹学，再辅以“运筹于帷幄之中，决胜于千里之外”等古诗词的引导，必能激发学生更强的求知欲，以达到不同学生有不同了解尝试的分层次教学目的，培养学生的创新思维能力。
要理论与实际相结合，虽然是针对高等代数教学，但对任教者而言，在课前要做足功课，努力钻研，寻求学科之间的联系，把握激发学生推理演绎能力的时机。在这一点上，国内许多高校都进行了有效的尝试，厦门大学林亚南教授团队的高等代数国家级精品课程，南京师范大学陈永高教授的高等代数精品课程建设，无一不是凝聚了一个团队数年几轮的高等代数教学经验的总结，他们在高等代数的课程中融入数学建模的思想，陈永高教授将高等代数的知识运用到竞赛数学的魔方求解中，都是对高等代数理论与现实趣味数学与应用数学实际的有效结合与尝试。
2.2改革传统教学方法，培养学生的认知思维能力。
在高等代数的课堂授课中，教师应多用善用启发式教学方法，对有些难于理解的概念和理论，先用浅显的语言或生动的比喻或学生所熟悉的内容来引入，“化难为易”，让学生先得到一定的感性认识，随着老师的一步步引导，不断深入，逐步改进、完善、精确，最后学生能够水到渠成地得到结论，并总结出方法，上升到理性认识，达到“化易为难”，彻底理解的目的。另外，在教学概念贯彻的过程中，采用层层深入的问题式教学方法亦会得到学生反馈与共鸣。例如，“矩阵的可对角化的条件”是高等代数教学内容中较难理解与掌握的内容。在教学中我们教学组作了如下设计。首先采用启发式的语言作为开场白：“研究高等代数的重要工具是什么呢？”同学们大多能回答出是矩阵。“而矩阵中最简单的为哪一类呢？”这时大多数同学会说出是单位矩阵，鲜有同学会说出是对角阵。这个时候，老师的点拨就非常重要了，老师要“顺水推舟”，将单位阵和对角阵的联系和区别在此进行宣讲，在学生们求知的眼神中进行循循善诱式的教导。紧接着提出新问题：“是否所有的矩阵都能相似于对角阵？”“那么什么样的矩阵可相似于对角阵呢？”“若相似的话，又如何化为对角阵？”通过设疑，不仅激发学生的思考，而且使学生明确本节内容的重点可对角化的条件与方法。然后设计由浅入深、层层深入的问题串：“矩阵的相似与线性变换有何关系？”“线性变换可对角化的本质是什么？”“对角化的必要条件是什么？”“在什么情况下，这些条件能够成立？”一系列的问题，不仅能打破学生思维的局限性，而且能分散难点。同时在解决问题的过程中，学生不仅能创新性地提出不同于教材内容的条件和方法，提高创新能力，而且能体会到创新的乐趣。
在教学中，我们注重过程的探索，通过探索过程，让学生自己去找可能有的结果。这样学生不仅学到了知识，而且提高了思维的灵活性。另外在整理结果的过程中，又进一步优化了学生的思维品质，培养了创新能力。高等学校的数学教学模式，多为课堂讲授，前几年很多受到高校大一新生人数太多，师资编制不合理等客观条件制约，往往选择大课教学，两个班甚至三个班集中在一起上大课，满堂灌式教学，只有这样才能从教学大纲的要求上来完成“教学任务”。最近几年，随着国家对教育的不断投入，以及大多数高校强化本科生教学的层层推进，很多学校强化了“老三高”课程的教学，在课时上往往已能保证。高等代数教师应该丰富和更新知识体系，唯此，才能高屋建瓴，洞悉学科之间相互联系，完善和增进技能，会用善用多媒体技术，会举且能恰如其分地举应用的实例，以达到课堂教学中对学生创新能力创设的最好情境。
通常的教学过程包括课堂教学、课后答疑、作业批阅和命题测试，这里特别强调课外阅读的重要性，特别是课外数学阅读的重要性。在教学过程中，学生的创新思维能力与他的兴趣密切相关，课堂上学生若能被老师扎实的理论知识和深厚地学术素养所吸引，必对其所言所教产生一定的“心悦诚服”，倘若教学中教师能发挥自己的主导作用，在教学过程中“旁征博引”，能说出理论的来龙去脉，甚至能“寻根溯源”，必能激发学生的兴趣与再认知的想法，此时，画龙点睛循循善诱式的引导学生去进行相应的数学阅读不失是培养学生自主探索与追寻数学王国的一种好的方法。
总之，高等代数教学对学生数学思维的能力培养具有重要的作用，作为高等代数教育工作者，我们必须探索在现代教育理念下的教学方法改革、教学内容革新与教学规律变化，在教学过程中要有意识地创设问题情境，引导学生善于发现问题和提出问题，并用所学知识解决问题，培养学生良好的问题意识与创新能力，只有这样才能确立课堂教学中教师为主导、学生为主体的地位，使大学数学基础课程教学课堂真正成为学生主动参与探索、发现问题、提出问题、解决问题、获得数学知识、培养良好数学品质、提高数学素质、培养数学创新能力的场所。
参考文献：
［1］北京大学数学系几何与代数教研室.高等代数（第二版）［M］.北京：高等教育出生版社，1988.3.
［2］周汝光.在高等代数教学中全面培养学生的数学修养［J］.徐州师范大学学报，1999，17，（1）：16-17.
［3］徐利治.关于高等数学教育与教学改革的看法及建议［J］.数学教育学报，2000，9，（2）：1-2.
［4］王玉行.高等代数教学对学生形成和发展数学品质的意义及教学策略［J］.数学教育学报，2007，16，（3）：92-94.
［5］刘银萍，王宪昌.高等数学创新性思维教学的策略优化［J］.大学数学，2006，22，（3）：35-39.
关键词： 《高等代数》 数学创新思维能力 培养方法
《高等代数》是普通大中专院校数学专业的三门专业基础课（数学分析、高等代数、解析几何）之一，其教育目的主要是让学生通过抽象性、逻辑性、应用性的必要训练，逐步形成运用高等代数的原理和方法解决实际问题的思维模式和思维习惯。作为大学数学专业基础课之一的高等代数，不仅是中学代数的继续和提高，而且是进一步学习其它课程的基础，是研究数学其他分支和自然科学的基本工具。高等代数的理论和方法无论是对整个数学的发展与完善，还是对学生综合素质的提高和创新能力的培养都有十分重要的意义。因此，在高等代数的教学与实践中培养学生的数学创新思维能力显得尤为重要。本文对如何在高等代数教学中有意识地培养学生的数学创新思维能力的方法进行了探索与思考。
1.正确理解数学思维及其教育价值
数学是关于现实世界的空间形式和数量关系的科学，思维是人脑对客观世界的概括和间接反映。数学思维是以数和形为思维对象，以数学语言为载体，以认识和发展数学规律为目的的一种思维活动。创新性思维是一种能得到独特而有显著效果的最高层次的思维活动。数学创新性思维既从属于创新性思维，又从属于数学思维；它既是逻辑思维与非逻辑思维的综合，又是数学中发散思维与收敛思维的辩证统一，是创新性思维在数学中的体现。因此，它既具有创新性思维的特点，又具有数学思维品质的特征。数学创新性思维就是根据数学本身高度的抽象性、逻辑的严密性、结论的确定性与应用的广泛性等特点，去探索、突破与创新。在综合和应用已有的知识和经验处理问题时，提出全新的见解和思路。因此，对学生数学创新性思维的挖掘与培养是对学生在数学学习过程的各个环节有目的地渗透与影响，使其在学习与思考的过程中不断强化与创新能力相关的基本能力的形成，最终达成其创新能力的逐步形成与升华提高。
2.高等代数教学中数学思维能力的培养
数学创新性思维的产生必须具有扎实的基本功、丰富的经验和良好的知识结构，具有发现问题的强烈意识和执着的探索精神。数学创新性思维能力的培养是一个长期的过程，需要教师在数学教学中认真探索，积极试验，逐步渗透。高等代数学科内容抽象，逻辑严密，包含有许多现代数学的基本观点和方法，与中学数学联系密切，是数学专业大学生进入大学后首先要学习的课程内容之一。在高等代数的教学中应注重培养学生的创新性思维能力。我结合多年高等代数授课经验，从以下几个方面讨论了教与学的过程对学生数学创新思维培养的途径和方法。
2.1理论结合实际，深化概念教学，探求学科联系，为学生营造数学创新思维能力的形成环境。
高等代数中的许多概念与方法，往往与中学数学中的代数有许多的相似与联系。譬如知识体系方面，中学的数学教学中已经有了多项式的运算，以及多项式的基本理论和一次、二次方程，等等。任课老师应该抓住这些学生们的曾经“映像”来激发他们进一步认知的欲望与兴趣。要做好与中学数学衔接的教学，可以通过引入适当的数学人物与典故，从故事入手，将中学所学的知识在同学们关注与殷切的眼神中无形灌输，再自然引入要讲的高等代数的理论，这样一种潜移默化的过程中的知识的消融，是值得教学者去思考与实践的。同时学生在这样的过程中会激发认知欲，提高关注度，了解中学代数与高等代数的关联，无形中构筑数学创新思维能力形成的基本环境。
在如何去深化概念教学这个问题上，我们可以通过对比、联想概念之间的异同，找出每个概念的特点，挖掘出每个概念的关键，以培养学生思维的深刻性和理解概念、分清实质的能力。这种能力表现为能洞察所研究事物的本质及其相互关系；能从所研究的材料中揭示被掩盖的特殊情况，能组合各种模式，等等。例如，高等代数教学环节的作业批阅中，老师会发现很多的学生在进行行列式运算和矩阵运算时，经常会混淆运算中的符号。在用初等变换化简一个矩阵时，每一步之间用等号连接，而计算行列式的每一步之间却用箭头连接，这是一种常见的错误。问题的关键是明确什么是矩阵，什么是行列式，以及它们之间的本质差别，矩阵相等是什么含义，矩阵等价又是什么含义，等等。同学们开始时概念是模糊不清且易混淆的，教师可以将矩阵与行列式比较、鉴别，明确行列式是个值而矩阵是个表。又如数的乘法与矩阵乘法有许多相同之处，但也有不同之处。单位矩阵在矩阵乘法中所起的作用类似于数1在数的乘法中所起的作用。但因矩阵乘法有零因子，不可换，那么矩阵的乘法就值得研究了，因而A-1存在的充要条件是|A|≠0，而不仅仅是A≠0所能满足的。这就有别于数α-1存在的充要条件是α≠0。
寻求学科联系，把握创新能力形成的时机。这种教学方法既能实现分层次教学的原则，又能保证学困生能理解，中等生能掌握，优秀生能充分发挥。同时通过揭示知识之间的内在联系，就能充分调动学生学习的自主性、探索性和创新性，为学生提供创新的时机，营造创新的环境。譬如在教学线性方程组的时候，教师可以结合运筹学单纯形规划的内容将线性方程组进行推广与拓宽，让学生的兴趣从高等代数这个抽象的数学基础课程延伸到与经济、应用等密切联系的运筹学，再辅以“运筹于帷幄之中，决胜于千里之外”等古诗词的引导，必能激发学生更强的求知欲，以达到不同学生有不同了解尝试的分层次教学目的，培养学生的创新思维能力。
要理论与实际相结合，虽然是针对高等代数教学，但对任教者而言，在课前要做足功课，努力钻研，寻求学科之间的联系，把握激发学生推理演绎能力的时机。在这一点上，国内许多高校都进行了有效的尝试，厦门大学林亚南教授团队的高等代数国家级精品课程，南京师范大学陈永高教授的高等代数精品课程建设，无一不是凝聚了一个团队数年几轮的高等代数教学经验的总结，他们在高等代数的课程中融入数学建模的思想，陈永高教授将高等代数的知识运用到竞赛数学的魔方求解中，都是对高等代数理论与现实趣味数学与应用数学实际的有效结合与尝试。
2.2改革传统教学方法，培养学生的认知思维能力。
在高等代数的课堂授课中，教师应多用善用启发式教学方法，对有些难于理解的概念和理论，先用浅显的语言或生动的比喻或学生所熟悉的内容来引入，“化难为易”，让学生先得到一定的感性认识，随着老师的一步步引导，不断深入，逐步改进、完善、精确，最后学生能够水到渠成地得到结论，并总结出方法，上升到理性认识，达到“化易为难”，彻底理解的目的。另外，在教学概念贯彻的过程中，采用层层深入的问题式教学方法亦会得到学生反馈与共鸣。例如，“矩阵的可对角化的条件”是高等代数教学内容中较难理解与掌握的内容。在教学中我们教学组作了如下设计。首先采用启发式的语言作为开场白：“研究高等代数的重要工具是什么呢？”同学们大多能回答出是矩阵。“而矩阵中最简单的为哪一类呢？”这时大多数同学会说出是单位矩阵，鲜有同学会说出是对角阵。这个时候，老师的点拨就非常重要了，老师要“顺水推舟”，将单位阵和对角阵的联系和区别在此进行宣讲，在学生们求知的眼神中进行循循善诱式的教导。紧接着提出新问题：“是否所有的矩阵都能相似于对角阵？”“那么什么样的矩阵可相似于对角阵呢？”“若相似的话，又如何化为对角阵？”通过设疑，不仅激发学生的思考，而且使学生明确本节内容的重点可对角化的条件与方法。然后设计由浅入深、层层深入的问题串：“矩阵的相似与线性变换有何关系？”“线性变换可对角化的本质是什么？”“对角化的必要条件是什么？”“在什么情况下，这些条件能够成立？”一系列的问题，不仅能打破学生思维的局限性，而且能分散难点。同时在解决问题的过程中，学生不仅能创新性地提出不同于教材内容的条件和方法，提高创新能力，而且能体会到创新的乐趣。
在教学中，我们注重过程的探索，通过探索过程，让学生自己去找可能有的结果。这样学生不仅学到了知识，而且提高了思维的灵活性。另外在整理结果的过程中，又进一步优化了学生的思维品质，培养了创新能力。高等学校的数学教学模式，多为课堂讲授，前几年很多受到高校大一新生人数太多，师资编制不合理等客观条件制约，往往选择大课教学，两个班甚至三个班集中在一起上大课，满堂灌式教学，只有这样才能从教学大纲的要求上来完成“教学任务”。最近几年，随着国家对教育的不断投入，以及大多数高校强化本科生教学的层层推进，很多学校强化了“老三高”课程的教学，在课时上往往已能保证。高等代数教师应该丰富和更新知识体系，唯此，才能高屋建瓴，洞悉学科之间相互联系，完善和增进技能，会用善用多媒体技术，会举且能恰如其分地举应用的实例，以达到课堂教学中对学生创新能力创设的最好情境。
通常的教学过程包括课堂教学、课后答疑、作业批阅和命题测试，这里特别强调课外阅读的重要性，特别是课外数学阅读的重要性。在教学过程中，学生的创新思维能力与他的兴趣密切相关，课堂上学生若能被老师扎实的理论知识和深厚地学术素养所吸引，必对其所言所教产生一定的“心悦诚服”，倘若教学中教师能发挥自己的主导作用，在教学过程中“旁征博引”，能说出理论的来龙去脉，甚至能“寻根溯源”，必能激发学生的兴趣与再认知的想法，此时，画龙点睛循循善诱式的引导学生去进行相应的数学阅读不失是培养学生自主探索与追寻数学王国的一种好的方法。
总之，高等代数教学对学生数学思维的能力培养具有重要的作用，作为高等代数教育工作者，我们必须探索在现代教育理念下的教学方法改革、教学内容革新与教学规律变化，在教学过程中要有意识地创设问题情境，引导学生善于发现问题和提出问题，并用所学知识解决问题，培养学生良好的问题意识与创新能力，只有这样才能确立课堂教学中教师为主导、学生为主体的地位，使大学数学基础课程教学课堂真正成为学生主动参与探索、发现问题、提出问题、解决问题、获得数学知识、培养良好数学品质、提高数学素质、培养数学创新能力的场所。
参考文献：
［1］北京大学数学系几何与代数教研室.高等代数（第二版）［M］.北京：高等教育出生版社，1988.3.
［2］周汝光.在高等代数教学中全面培养学生的数学修养［J］.徐州师范大学学报，1999，17，（1）：16-17.
［3］徐利治.关于高等数学教育与教学改革的看法及建议［J］.数学教育学报，2000，9，（2）：1-2.
［4］王玉行.高等代数教学对学生形成和发展数学品质的意义及教学策略［J］.数学教育学报，2007，16，（3）：92-94.
［5］刘银萍，王宪昌.高等数学创新性思维教学的策略优化［J］.大学数学，2006，22，（3）：35-39.